1、一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一. 利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 与的根都是整数。解：方程有整数根， =16-16m0，得m1又方程有整数根 得 综上所述，m1x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为x-4x+4=0 没有整数解，舍去。而m0 m=1例2（1996年四川竞赛题）已知方程 有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x，x，则m=(x+x)为负整数. 一定是完全平方数 设（为正整数） 即：m+2+km+2-k,且奇偶性相同 或解得m=10（舍去）或m=5。当m=5时 ，原方程为x-5x+6=0，
2、两根分别为x=2，x=3。 二. 利用求根公式例3（2000年全国联赛）设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解： 由求根公式得即 由于x-1，则有两式相减，得即 由于x，x是整数，故可求得或或分别代入，易得k=，6，3。三. 利用方程根的定义例4.b为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 当b2时,x=1+b,代入第一个方程,得 解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根. b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有
3、_个.解: 当a=1时,x=1 当a1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=0即得 x是整数 1-a=1,2, a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有5个.例6.(1994年福州竞赛题) 当m是什么整数时,关于x的方程的两根都是整数?解：设方程的两整数根分别是x，x，由韦达定理得 由消去，可得则有 或解得： 或由此或0，分别代入，得或五.利用根与系数的关系例7.(1998年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是x，x，且 由根与系数的关系得 由得 将代入得显然 x4，故x可取5，6，7，8。从而易得a=25，18，16。六
4、.构造新方程例8.(1996年全国联赛)方程有两个整数根,求a的值.解：原方程变为 设y=x-8，则得新方程为 设它的两根为y，y，则 x是整数，y，y也是整数，则y，y只能分别为1，-1或-1，1 即y+y=0 a=8。七.构造等式例9.(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程的所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为，则有 令x=1，并将三式相加，注意到x1（i=1，2，6），有 但 a1，b1，c1，又有 3-（a+b+c）0， 3-（a+b+c）=0 故 a=b=c=1八.分析等式例10.(1993年安徽竞赛题) n为正整数，方程有一个整数根，则
5、n=_.解：不妨设已知方程的整数根为，则整理。得因为为整数，所以为整数也一定是整数，要使为整数，必有由此得，即解得n=3或-2（舍去） n=3。九.反客为主例11.(第三届祖冲之杯竞赛题)求出所有正整数a,使方程至少有一个整数根.解：由原方程知x2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程得（因为是正整数）则得解得因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。 分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。十.利用配方法例12. (第三届祖冲之杯竞赛题) 已知方程 有两个不等的负整数根,则整数a的值是_.解：原方程可变为即得：当a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5时，x
6、为负整数。但a=0时，x0； a=-5时,x=-1又a-1 a=-2。 十一.利用奇偶分析例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程有两个质数根,则常数a=_.解：设方程的两个质数根为x，x( xx) 由根与系数的关系得x+x=1999. 显然 x=2,x=1997,于是a=21997=3994.十二.利用反证法例14.不解方程,证明方程无整数根 证明:假设方程有两个整数根,则+=1997,=1997,由第二式知均为奇数,于是+为偶数,但这与第一式相矛盾,所以,不可能都是整数.假设方程只有一个整数根,则+不可能是整数, 也与第一式相矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.综上所述,原方程无整数根.
