1、2013年中考数学专题复习第四讲：因式分解【基础知识回顾】一、因式分解的定义：1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。（ ）（ ）2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积【赵老师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。】二、因式分解常用方法：1、提公因式法： 公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。 提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。【赵老师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为
2、 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】2、运用公式法：将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。平方差公式：a2-b2= , 完全平方公式：a22ab+b2= 。【赵老师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，找准里面a与b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2- x+就不符合该公式。】一、 公式分解的一般步骤1、 一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先 2、 二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用 法来分解。3、 三查：分解因式必须进行到每一个因
3、式都解因为止。 【赵老师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】【重点考点例析】 考点一：因式分解的概念例1 （2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）Am2+n Bm2-m+1 Cm2-n Dm2-2m+1思路分析：根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确故选D点评：本题主要考查了因式分解的
4、意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键对应训练1（2012凉山州）下列多项式能分解因式的是（）Ax2+y2 B-x2-y2 C-x2+2xy-y2 Dx2-xy+y21C 考点二：因式分解例2 （2012天门）分解因式：3a2b+6ab2= 思路分析：首先观察可得此题的公因式为：3ab，然后提取公因式即可求得答案解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）故答案为：3ab（a+2b）点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低
5、的例3 （2012广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2= 思路分析：先提取公因式3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解解：3m3-18m2n+27mn2=3m（m2-6mn+9n2）=3m（m-3n）2故答案为：3m（m-3n）2点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止对应训练2（2012温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（）Aa（a-4） B（a+2）（a-2） Ca（a+2）（a-2） D（a-2）2-42A3（2012恩施州）a4b-6a3b+9a2
6、b分解因式得正确结果为（）Aa2b（a2-6a+9） Ba2b（a-3）（a+3） Cb（a2-3）2 Da2b（a-3）23D考点三：因式分解的应用例4 8（2012随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab20，则()5= 考点：因式分解的应用；分式的化简求值分析：根据1-ab20的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值解答：解：a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所
7、以a-b2+20，因此a+b2=0，即b2=-a，()5=()5=-()5=()5=（-2）5=-32故答案为-32点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab20的运用对应训练4（2012苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab= 46【聚焦山东中考】1（2012济宁）下列式子变形是因式分解的是（）Ax2-5x+6=x（x-5）+6 Bx2-5x+6=（x-2）（x-3）C（x-2）（x-3）=x2-5x+6 Dx2-5x+6=（x+2）（x+3） 1B2（2012临沂）分解因式：a-6ab+9ab2= 2a（1-3b）23（2012潍坊）分解因式：x3-4x
8、2-12x= 考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法分析：首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底解答：解：x3-4x2-12x=x（x2-4x-12）=x（x+2）（x-6）故答案为：x（x+2）（x-6）点评：此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底4（2012威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3= 考点：提公因式法与公式法的综合运用分析：先提取公因式3y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解解答：解：3x2y+12xy2+12y3，=3y（x2+4x
9、y+4y2），=3y（x+2y）2故答案为：3y（x+2y）2点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【备考真题过关】一、选择题1（2012无锡）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（）A（x-1）（x-2） Bx2 C（x+1）2 D（x-2）21D2（2012呼和浩特）下列各因式分解正确的是（）A-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） Bx2+2x-1=（x-1）2C4x2-4x+1=（2x-1）2 Dx2-4x=x（x+2）（x-2） 2C3（2012台湾）下列四个选
10、项中，哪一个为多项式8x2-10x+2的因式？（）A2x-2 B2x+2 C4x+1 D4x+23A4（2012西宁）下列分解因式正确的是（）A3x2-6x=x（3x-6） B-a2+b2=（b+a）（b-a）C4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D4x2-2xy+y2=（2x-y）2考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法专题：计算题分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、3x2-6x=3x（x-2），故本选项错误；B、-a2+b2=（b+a）（b-a），故本
11、选项正确；C、4x2-y2=（2x+y）（2x-y），故本选项错误；D、4x2-2xy+y2不能分解因式，故本选项错误故选B点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键5（2012温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（）Aa（a-4） B（a+2）（a-2）Ca（a+2）（a-2） D（a-2）2-4考点：因式分解-提公因式法分析：直接提取公因式a即可解答：解：a2-4a=a（a-4），故选：A点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同
12、的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的二、填空题6（2012湘潭）因式分解：m2-mn= 6m（m-n）7（2012桂林）分解因式：4x2-2x= 72x（2x-1）8（2012沈阳）分解因式：m2-6m+9= 8（x-3）29（2012黔西南州）分解因式：a4-16a2= 9a2（a+4）（a-4）10（2012北海）因式分解：-m2+n2= 10（n+m）（n-m）11（2012北京）分解因式：mn2+6mn+9m= 11m（n+3）2 12（2012益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： 12解：答案不唯一，如x2-3=x2-（）2
13、=（x+）（x-）故可填 x2-313（2012宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2= 133（m-n）214（2012绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= 14ab（a-b）215（2012宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为 15解：P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立，9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，13xy-26x=0，13x（y-2）=0，x0，y-2=0，y=2；故答案为：216（2012广东）分解因式：2x2-10x= 考点：因式分
14、解-提公因式法分析：首先确定公因式是2x，然后提公因式即可解答：解：原式=2x（x-5）故答案是：2x（x-5）点评：本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关键17（2012黄石）分解因式：x2+x-2= 考点：因式分解-十字相乘法等专题：探究型分析：因为（-1）2=-2，2-1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可解答：解：（-1）2=-2，2-1=1，x2+x-2=（x-1）（x+2）故答案为：（x-1）（x+2）点评：本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程18（2012黑河）因式分解：27x2-3y2= 考点：提公因式法
15、与公式法的综合运用分析：首先提公因式3，然后利用平方差公式分解解答：解：原式=3（9x2-y2）=3（3x+y）（3x-y）故答案是：3（3x+y）（3x-y）点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止19（2012六盘水）分解因式：2x2+4x+2= 考点：提公因式法与公式法的综合运用分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解完全平方公式：a22ab+b2=（ab）2解答：解：2x2+4x+2=2（x2+2x+1）=2（x+1）2故答案为：2（x+1）2点评：本题考查了提公因
16、式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底20（2012南充）分解因式：x2-4x-12= 考点：因式分解-十字相乘法等专题：计算题分析：因为-62=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可解答：解：x2-4x-12=（x-6）（x+2）故答案为（x-6）（x+2）点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程21（2012哈尔滨）把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是 考点：提公因式法与公式法的综合运用分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解因式解答：解：a3-2a
17、2+a=a（a2-2a+1）=a（a-1）2故答案为：a（a-1）2点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式22（2012广州）分解因式：a3-8a= 考点：提公因式法与公式法的综合运用专题：常规题型分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解解答：解：a3-8a，=a（a2-8），=a（a+2）（a-2）故答案为：a（a+2）（a-2）点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止23（2012广西）分解因式：2xy-4x
18、2= 考点：因式分解-提公因式法分析：利用提取公因式法分解即可，公因式的确定方法是：公因式的系数是各项的系数的最大公约数，字母是各项中共同含有的字母，并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数解答：解：原式=2x（y-2x）故答案是：2x（y-2x）点评：本题考查了利用提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键24（2012大庆）分解因式：ab-ac+bc-b2= 考点：因式分解-分组分解法分析：首先把前两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提公因式，然后再利用提公因式法即可解答：解：ab-ac+bc-b2=（ab-ac）+（bc-b2）=a（b-c）-b（b-c）=（b-c）（a
19、-b）故答案是：（b-c）（a-b）点评：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系三、解答题25（2012扬州）（1）计算：-（-1）2+（-2012）0（2）因式分解：m3n-9mn考点：提公因式法与公式法的综合运用；实数的运算；零指数幂专题：常规题型分析：（1）根据算术平方根的定义，乘方的定义，以及任何非0数的0次幂等于1解答；（2）先提取公因式mn，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解解答：解：（1）-（-1）2+（-2012）0=3-1+1=3；（2）m3n-9mn=mn（m2-9）=mn（m+3）（m-3）点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止
