1、希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号1某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( A )Aa% B(1+a)% C. D.2甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里,0am，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( A )A甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少B甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多C甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同D甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨
2、水多少关系不定3.已知数x=100,则( A )Ax是完全平方数B(x50)是完全平方数C(x25)是完全平方数D(x+50)是完全平方数4观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则的大小关系是( C ) A.; B.; C. ; D. .5x=9，y=4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A2组B6组C12组D16组二、填空题（每题1分，共5分）1方程|1990x1990|=1990的根是_2对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+bycxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算
3、又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m0），则m的数值是_3新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开_次4当m=_时，二元二次六项式6x2+mxy4y2x+17y15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积5三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）_某个自然数的平方三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果每题5分，共15分）1两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前
4、进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=S1=S2,求S 3.求方程的正整数解.初中数学竞赛辅导2设a，b，c为实数，且a+a=0，ab=ab，c-c=0，求代数式b-ab-c-ba-c的值 3若
5、m0，n0，mn，且xmx-n=mn， 求x的取值范围 4设(3x-1)7=a7x7a6x6+a1x1a0，试求a0+a2a4a6的值 6解方程2x+1+x-3=6 8解不等式x3-x-12 10x，y，z均是非负实数，且满足： x3y2z=3，3x3y+z=4， 求u=3x-2y4z的最大值与最小值 11求x4-2x3x2+2x-1除以x2+x1的商式和余式 13如图189所示AOB是一条直线，OC，OE分别是AOD和DOB的平分线，COD=55求DOE的补角 14如图190所示BE平分ABC，CBF=CFB=55，EDF=70求证：BCAE 15如图191所示在ABC中，EFAB，CDAB
6、，CDG=BEF求证：AGD=ACB 17如图193所示在ABC中，E为AC的中点，D在BC上，且BDDC=12，AD与BE交于F求BDF与四边形FDCE的面积之比 18如图194所示四边形ABCD两组对边延长相交于K及L，对角线ACKL，BD延长线交KL于F求证：KF=FL 19任意改变某三位数数码顺序所得之数与原数之和能否为999？说明理由 20设有一张8行、8列的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色下面对涂了色的方格纸施行“操作”，每次操作是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？ 23房间里凳子和椅子若干个，每个凳子有
7、3条腿，每把椅子有4条腿，当它们全被人坐上后，共有43条腿(包括每个人的两条腿)，问房间里有几个人？ 24求不定方程49x-56y+14z=35的整数解 25男、女各8人跳集体舞 (1)如果男女分站两列； (2)如果男女分站两列，不考虑先后次序，只考虑男女如何结成舞伴 问各有多少种不同情况？ 26由1，2，3，4，5这5个数字组成的没有重复数字的五位数中，有多少个大于34152？ 27甲火车长92米，乙火车长84米，若相向而行，相遇后经过1.5秒(s)两车错过，若同向而行相遇后经6秒两车错过，求甲乙两火车的速度 28甲乙两生产小队共同种菜，种了4天后，由甲队单独完成剩下的，又用2天完成若甲单独
8、完成比乙单独完成全部任务快3天求甲乙单独完成各用多少天？ 29一船向相距240海里的某港出发，到达目的地前48海里处，速度每小时减少10海里，到达后所用的全部时间与原速度每小时减少4海里航行全程所用的时间相等，求原来的速度1630某工厂甲乙两个车间，去年计划完成税利750万元，结果甲车间超额15完成计划，乙车间超额10完成计划，两车间共同完成税利845万元，求去年这两个车间分别完成税利多少万元？ 31已知甲乙两种商品的原价之和为150元因市场变化，甲商品降价10，乙商品提价20，调价后甲乙两种商品的单价之和比原单价之和降低了1，求甲乙两种商品原单价各是多少？ 32小红去年暑假在商店买了2把儿童
9、牙刷和3支牙膏，正好把带去的钱用完已知每支牙膏比每把牙刷多1元，今年暑假她又带同样的钱去该商店买同样的牙刷和牙膏，因为今年的牙刷每把涨到1.68元，牙膏每支涨价30，小红只好买2把牙刷和2支牙膏，结果找回4角钱试问去年暑假每把牙刷多少钱？每支牙膏多少钱？ 33某商场如果将进货单价为8元的商品，按每件12元卖出，每天可售出400件，据经验，若每件少卖1元，则每天可多卖出200件，问每件应减价多少元才可获得最好的效益？ 34从A镇到B镇的距离是28千米，今有甲骑自行车用04千米/分钟的速度，从A镇出发驶向B镇，25分钟以后，乙骑自行车，用06千米/分钟的速度追甲，试问多少分钟后追上甲？ 35现有三
10、种合金：第一种含铜60，含锰40；第二种含锰10，含镍90；第三种含铜20，含锰50，含镍30现各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45的新合金，重量为1千克 (1)试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量； (2)求新合金中含第二种合金的重量范围； (3)求新合金中含锰的重量范围 =-a，所以a0，又因为ab=ab，所以b0，因为c=c，所以c0所以ab0，c-b0，a-c0所以 原式=-b(ab)-(c-b)-(a-c)=b 3因为m0，n0，所以m=-m，n=n所以mn可变为mn0当x+m0时，x+m=xm；当x-n0时，x-n=n-x故当-mxn时， xmx-n=xm-xn=
11、mn 4分别令x=1，x=-1，代入已知等式中，得 a0+a2a4a6=-8128 10由已知可解出y和z 因为y，z为非负实数，所以有u=3x-2y+4z 11. 所以商式为x2-3x+3，余式为2x-412小柱的路线是由三条线段组成的折线(如图197所示) 我们用“对称”的办法将小柱的这条折线的路线转化成两点之间的一段“连线”(它是线段)设甲村关于北山坡(将山坡看成一条直线)的对称点是甲；乙村关于南山坡的对称点是乙，连接甲乙，设甲乙所连得的线段分别与北山坡和南山坡的交点是A，B，则从甲AB乙的路线的选择是最好的选择(即路线最短）显然，路线甲AB乙的长度恰好等于线段甲乙的长度而从甲村到乙村的
12、其他任何路线，利用上面的对称方法，都可以化成一条连接甲与乙之间的折线它们的长度都大于线段甲乙所以，从甲AB乙的路程最短 13如图198所示因为OC，OE分别是AOD，DOB的角平分线，又 AOD+DOB=AOB=180， 所以 COE=90 因为 COD=55， 所以DOE=90-55=35 因此，DOE的补角为 180-35145 14如图199所示因为BE平分ABC，所以 CBF=ABF， 又因为 CBF=CFB， 所以 ABF=CFB 从而 ABCD(内错角相等，两直线平行) 由CBF=55及BE平分ABC，所以 ABC=255=110 由上证知ABCD，所以 EDF=A=70， 由，知
13、 BCAE(同侧内角互补，两直线平行) 15如图1-100所示EFAB，CDAB，所以 EFB=CDB=90， 所以EFCD(同位角相等，两直线平行)所以 BEF=BCD(两直线平行，同位角相等)又由已知 CDG=BEF 由， BCD=CDG 所以 BCDG(内错角相等，两直线平行) 所以 AGD=ACB(两直线平行，同位角相等) 16在BCD中， DBCC=90(因为BDC=90)， 又在ABC中，B=C，所以 ABC=A2C=180， 所以 由， 17如图1101，设DC的中点为G，连接GE在ADC中，G，E分别是CD，CA的中点所以，GEAD，即在BEG中，DFGE从而F是BE中点连结F
14、G所以 又 SEFDSBFG-SEFDG=4SBFD-SEFDG， 所以 SEFGD=3SBFD 设SBFD=x，则SEFDG=3x又在BCE中，G是BC边上的三等分点，所以 SCEG=SBCEE， 从而 所以 SEFDC=3x2x5x， 所以 SBFDSEFDC=15 18如图1102所示 由已知ACKL，所以SACK=SACL，所以 即 KF=FL b1=9，a+a1=9，于是a+b+ca1b1+c1=99+9，即2(a十bc)=27，矛盾！ 20答案是否定的设横行或竖列上包含k个黑色方格及8-k个白色方格，其中0k8当改变方格的颜色时，得到8-k个黑色方格及k个白色方格因此，操作一次后，
15、黑色方格的数目“增加了”(8-k)-k=8-2k个，即增加了一个偶数于是无论如何操作，方格纸上黑色方格数目的奇偶性不变所以，从原有的32个黑色方格(偶数个)，经过操作，最后总是偶数个黑色方格，不会得到恰有一个黑色方格的方格纸 21大于3的质数p只能具有6k1，6k5的形式若p=6k1(k1)，则p+2=3(2k1)不是质数，所以， p=6k5(k0)于是，p1=6k6，所以，6(p1) 22由题设条件知n=75k=352k欲使n尽可能地小，可设n=235(1，2)，且有 (+1)(+1)(1)=75 于是1，+1，1都是奇数，均为偶数故取=2这时 (+1)(+1)=25 所以 故(，)=(0，
16、24)，或(，)=(4，4)，即n=2032452 23设凳子有x只，椅子有y只，由题意得 3x4y+2(x+y)43， 即 5x+6y43 所以x=5，y=3是唯一的非负整数解从而房间里有8个人 24原方程可化为 7x-8y+2z5 令7x-8y=t，t2z=5易见x=7t，y=6t是7x-8y=t的一组整数解所以它的全部整数解是 而t=1，z=2是t2z=5的一组整数解它的全部整数解是 把t的表达式代到x，y的表达式中，得到原方程的全部整数解是 25(1)第一个位置有8种选择方法，第二个位置只有7种选择方法，由乘法原理，男、女各有 8765432140320 种不同排列又两列间有一相对位置
17、关系，所以共有2403202种不同情况 (2)逐个考虑结对问题 与男甲结对有8种可能情况，与男乙结对有7种不同情况，且两列可对换，所以共有 287654321=80640 种不同情况 26万位是5的有4321=24(个) 万位是4的有 4321=24(个) 万位是3，千位只能是5或4，千位是5的有321=6个，千位是4的有如下4个： 34215，34251，34512，34521 所以，总共有 24+246+458 个数大于34152 27两车错过所走过的距离为两车长之总和，即 9284=176(米) 设甲火车速度为x米/秒，乙火车速度为y米/秒两车相向而行时的速度为x+y；两车同向而行时的速
18、度为x-y，依题意有 解之得 解之得x=9(天)，x3=12(天) 解之得x=16(海里/小时) 经检验，x=16海里/小时为所求之原速 30设甲乙两车间去年计划完成税利分别为x万元和y万元依题意得 解之得 故甲车间超额完成税利 乙车间超额完成税利 所以甲共完成税利400+60=460(万元)，乙共完成税利350+35=385(万元) 31设甲乙两种商品的原单价分别为x元和y元，依题意可得 由有 0.9x+1.2y=148.5， 由得x=150-y，代入有 0. 9(150-y)1.2y148. 5， 解之得y=45(元)，因而，x=105(元) 32设去年每把牙刷x元，依题意得 21.682
19、(x+1)(1+30)=2x3(x+1)-0.4， 即 21.6821.3+21.3x5x2.6， 即 2.4x=21.68， 所以 x=1.4(元) 若y为去年每支牙膏价格，则y=1.41=2.4(元) 33原来可获利润4400=1600元设每件减价x元，则每件仍可获利(4-x)元，其中0x4由于减价后，每天可卖出(400+200x)件，若设每天获利y元，则 y(4-x)(400+200x) 200(4-x)(2+x) =200(82x-x2) =-200(x2-2x+1)200+1600 =-200(x-1)2+1800 所以当x=1时，y最大=1800(元)即每件减价1元时，获利最大，为
20、1800元，此时比原来多卖出200件，因此多获利200元 34设乙用x分钟追上甲，则甲到被追上的地点应走了(25+x)分钟，所以甲乙两人走的路程分别是04(25+x)千米和06x千米因为两人走的路程相等，所以 0.4(25+x)=0.6x， 解之得x=50分钟于是 左边=0.4(2550)=30(千米)， 右边= 0.650=30(千米)， 即乙用50分钟走了30千米才能追上甲但A，B两镇之间只有28千米因此，到B镇为止，乙追不上甲 35(1)设新合金中，含第一种合金x克(g)，第二种合金y克，第三种合金z克，则依题意有 (2)当x=0时，大500克 (3)新合金中，含锰重量为： x40y10+z50=400-0.3x， y=250，此时，y为最小；当z=0时，y=500为最大，即250y500，所以在新合金中第二种合金重量y的范围是：最小250克，最而0x500，所以新合金中锰的重量范围是：最小250克，最大400克
