1、山东省青岛市城阳区 2017-2018 学年九年级（上）期末数学试卷 一、选择题 1如图，是一个几何体的三视图，则这个三视图，则这个几何体是（ ） A长方体 B圆柱 体 C球体 D圆锥体 2如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC3，则 sinB 的值为（ ） A B C D 3已知反比例函数 y的图象经过点（5，3） ，则 k 的值为（ ） A15 B C2 D 4菱形 ABCD 的周长为 20cm，ABC120，则对角线 BD 等于（ ） A4cm B6cm C5cm D10cm 5 如图， 在ABC 中， 点 D 在 AB 上一点， 下列条件中， 能使ABC 与BDC 相似的是 （
2、 ） ABACD BACBADC CAC2ADAB DBC2BDAB 6一个密闭不透明的盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球 的个数，小刚向其中放入 10 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回 盒子， 不断重复， 共摸球 200 次， 其中 40 次摸到黑球， 则可以估计盒中大约有白球 （ ） A30 个 B35 个 C40 个 D50 个 7若 k0，则函数 y和 ykx+3 在同一直角坐标系上的图象大致是（ ） A B C D 8若二次函数 yax22x1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为（ ） Aa1 Ba1 且 a0 Ca1 Da1
3、且 a0 二、填空题 9已知，则 10计算：cos60+tan60 11 高为 8 米的旗杆在水平地面上的影子长为 6 米， 同一时刻测得附近一个建筑物的影子长 30 米，则此建筑物的高度为 米 12如图，在平面直角坐标系中，点 A 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上，过点 A 作 ABy 轴交 x 轴于点 B，点 C 在 y 轴上，连结 AC、BC若ABC 的面积是 8，则 k 13如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD该矩形草坪 BC 边的长是 米 14如图，矩形 ABCD 中，AB2，E 为对角线 B
4、D 上一点，且 BE3DE，CEBD 于 E， 则 BC 15已知 A（0，3）和 B（2，3）在抛物线 yx2+bx+c 上，则二次函数 yx2+bx+c 的对称 轴为直线 16已知反比例函数 y的图象，当 x 取 1，2，3，n 时，对应在反比例图象上的点 分别为 M1，M2，M3，Mn，则 三、作图题 17如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为 A（2，1） ，B（1，4） ，C （3，2） ，以原点 O 为位似中心，ABC 与A1B1C1位似比为 1：2，在 y 轴的左侧， 请画出ABC 放大后的图形A1B1C1 四、解答题 18计算 （1）x2+6x20（配方法） （2）
5、已知关于 x 的方程 2x2+（k2）x+10 有两个相等的实数根，求 k 的值 19 小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏 游戏规则如下： 在一个不透明的纸箱里装有红、 黄、蓝三种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有 2 个，黄球有 1 个，蓝球 有 1 个游戏者先从纸箱里随机摸出一个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再随机摸 出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则游戏者可获得一份纪念品请你利用树状图或 列表法求游戏者获得纪念品的概率 20在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y（天）与每天完成 工程量 x 米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分 （1）请根据题意
6、，求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 30 米，问该工程队需要用多 少天才能完成此项任务？ （3） 如果为了防汛工作的紧急需要， 必须在 10 天内完成任务， 那么每天至少要完成多少米？ 21某商店经销一种销售成本为每件 40 元的商品，根据市场分析，当销售定价为 52 元时， 每月可售出 180 件，定价每增加 1 元，销售量就将减少 10 件；定价每减少 1 元，销售量 就将增加 10 件若商店想在销售成本不高于 7200 元的情况下，使该商品的月销售利润 达到 2000 元，则销售价应定为每件多少元？ 22 小华为了测量楼房A
7、B的高度， 他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m， 到达坡顶D处 已 知斜坡的 坡角为 15小华的身高 ED 是 1.6m，他站在坡顶看楼顶 A 处的仰角为 45， 求楼房 AB 的高度 （计算结果精确到 1m） （参考数据：sin15，cos15，tan15） 23如图，在ABCD 中，ACCD （1）延长 DC 到 E，使 CECD，连接 BE，求证：四边形 ABEC 是矩形； （2）若点 F，G 分别是 BC，AD 的中点，连接 AF，CG，试判断四边形 AFCG 是什么特殊 的四边形？并证明你的结论 24如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置 OA，O 恰好在水面
8、中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路 径落下，且在过 OA 的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（m） 与水平距离 x（m）之间的关系式可以用 yx2+bx+c 表示，且抛物线经过点 B（，2） ， C（2，） 请根据以上信息，解答下列问题； （1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置 OA 的高度； （2）喷出的水流距水面的最大高度是多少米？ （3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 25 （8 分）ABC 是一张等腰直角三角形纸板，C90，ACBC2， （1）要在这张纸板中剪出一个尽可能
9、大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1） ，比较甲、 乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理由 （2）图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得正方形面积 为 s1；按照甲种剪法，在余下的 ADE 和BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记 这两个正方形面积和为 s2（如图 2） ，则 s2 ；再在余下的四个三角形中，用同 样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形 面积和为 s3，继续操作下去，则第 10 次剪取时，s10 ； （3）求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和 26如图，在矩形 ABC
10、D 中，AB6，BC8动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同 时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点时停止运动点 P 也同时停止点 P， Q 运动速度均为每秒 1 个单位长度，连接 PQ，设运动时间为 t（t0）秒 （1）当点 Q 从 B 点向 A 点运动时（未到达 A 点） ， 当 t 时 PQBC 求APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （2）伴随着 P，Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为 l ： 当 l 经过点 A 时，射线 QP 交 AD 于点 E，求此时的 t 的值和 AE 的长； 当 l 经过点 B
11、时，求 t 的值 参考答案 一、选择题 1如图，是一个几何体的三视图，则这个三视图，则这个几何体是（ ） A长方体 B圆柱体 C球体 D圆锥体 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形， 再根据几何体的特点即可得出答案 【解答】解：圆柱体的主视图和左视图均为矩形，俯视图是圆， 故选：B 【点评】此题考查了由三视图判断几何体，关键是对三视图能熟练掌握和灵活运用，体现了 对空间想象能力的考查 2如图，在 RtABC 中，C90，AC4，BC3，则 sinB 的值为（ ） A B C D 【分析】利用勾股定理求出 AB 的长度，然后根据 sinB代入数据进行计算
12、即可得解 【解答】解：CRt，AC4，BC3， AB5， sinB 故选：D 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜 边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 3已知反比例函数 y的图象经过点（5，3） ，则 k 的值为（ ） A15 B C2 D 【分析】将点的坐标代入反比例函数解析式中可求 k 的值 【解答】解：反比例函数 y的图象经过点（5，3） ， k5315 故选：A 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征， 掌握图象上的点的坐标满足解析式是 本题的关键 4菱形 ABCD 的周长为 20cm，ABC120，则对角线 BD 等于（ ）
13、A4cm B6cm C5cm D10cm 【分析】由菱形的性质可得，ABAD5cm，A60，则ABD 是等边三角形，则对角 线 BD 的长为 5cm 【解答】解：菱形的周长为 20cm， ABBCCDAD5cm， ABC120， A60， ABD 是等边三角形， BDAB5cm 故选：C 【点评】此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定关键是掌握菱形的四条边相等 5 如图， 在ABC 中， 点 D 在 AB 上一点， 下列条件中， 能使ABC 与BDC 相似的是 （ ） ABACD BACBADC CAC2ADAB DBC2BDAB 【分析】根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似，即可判断 【
14、解答】解：选项 A、B、C 的条件无法判断ABC 与BDC 相似 正确答案是 D理由如下： BC2BDBA， ，BB， ABCCBD（两边成比例夹角相等的两个三角形相似） 故选：D 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属 于基础题，中考常考题型 6一个密闭不透明的盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球 的个数，小刚向其中放入 10 个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回 盒子， 不断重复， 共摸球 200 次， 其中 40 次摸到黑球， 则可以估计盒中大约有白球 （ ） A30 个 B35 个 C40 个 D50 个
15、 【分析】可根据“黑球数量黑白球总数黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球 总数黑球个数+白球个数 “，“黑球所占比例随机摸到的黑球次数总共摸球的次数” 【解答】解：设盒子里有白球 x 个， 根据得： 解得：x40 故选：C 【点评】本题主要考查利用频率估计概率，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的 条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解，注意分式方程要验根 7若 k0，则函数 y和 ykx+3 在同一直角坐标系上的图象大致是（ ） A B C D 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点，k0，所以分 k0 和 k0 两种情况讨论当 两函数系数 k 取相同符号值，两函数图象共存于同
16、一坐标系内的即为正确答案 【解答】解：分两种情况讨论： 当 k0 时，ykx+3 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y的图象在第一、 三象限； 当 k0 时，ykx+3 与 y 轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y的图象在第二、 四象限 故选：A 【点评】 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质， 关键是由 k 的取值 确定函数所在的象限 8若二次函数 yax22x1 的图象和 x 轴有交点，则 a 的取值范围为（ ） Aa1 Ba1 且 a0 Ca1 Da1 且 a0 【分析】直接利用根的判别式进行计算， “图象和 x 轴有交点”说明0，a0，即可得出 结果 【解
17、答】解：二次函数 yax22x1 的图象和 x 轴有交点， b24ac4+4a0，a0， a1，且 a0； 故选：D 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、判别式的应用；熟练掌握根的判别式的运用是解 决问题的关键，本题的易错点是漏掉 a0 二、填空题 9已知，则 【分析】根据题意，设 x3k，y4k，代入即求得的值 【解答】解：设 x3k，y4k， 【点评】 已知几个量的比值时， 设一个未知数， 把题目中的几个量用所设的未知数表示出来， 实现消元 10计 算：cos60+tan60 2 【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案 【解答】解：cos60+tan60+2 故答案为：2 【
18、点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键 11 高为 8 米的旗杆在水平地面上的影子长为 6 米， 同一时刻测得附近一个建筑物的影子长 30 米，则此建 筑物的高度为 40 米 【分析】设此建筑物的高度为 h，再根据同一时刻物高与影长成正比即可得出 h 的值 【解答】解：设此建筑物的高度为 h， 同一时刻物高与影长成正比， ，解得 h40m 故答案为：40m 【点评】 本题考查的是相似三角形的应用， 熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关 键 12如图，在平面直角坐标系中，点 A 在反比例函数 y（k0，x0）的图象上，过点 A 作 ABy 轴交 x 轴于点 B，点 C 在
19、 y 轴上，连结 AC、BC若ABC 的面积是 8，则 k 16 【分析】连接 AO，利用同底等高三角形面积相等求出 AOB 面积，利用反比例函数 k 的几何 意义求出 k 的值即可 【解答】解：接 AO，由同底等高得到 SAOBSABC8， |k|8，即|k|16， 反比例函数在第二象限过点 A， k16， 故答案为：16 【点评】此题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征， 熟练掌握反比例函数系数 k 的几何意义是解本题的关键 13如图所示，某幼儿园有一道长为 16 米的墙，计划用 32 米长的围栏靠墙围成一个面积为 120 平方米的矩形草坪 ABCD该矩形
20、草坪 BC 边的长是 12 米 【分析】可设矩形草坪 BC 边的长为 x 米，则 AB 的长是，根据长方形的面积公式列 出一元二次方程求解 【解答】解：设 BC 边的长为 x 米，则 ABCD米， 根据题意得：x120， 解得：x112，x220， 2016， x220 不合题意，舍去， 故答案为：12 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意， 舍去不合题意的解注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键 14如图，矩形 ABCD 中，AB2，E 为对角线 BD 上一点，且 BE3DE，CEBD 于 E， 则 BC 2 【分析】根据矩形的性质可得 OAOB
21、OCOD，由 BE3DE 可得 OEDE， 根据线段 垂直平分线的性质可得 OCDC2，根据勾股定理可求 BC 的长 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形 AOBOCODO，ABCD2， BE3DE BD4DE，OD2DE， OEDE，且 CEDB， CODC2， AOCO2， AC4 在 RtABC 中，BC2 故答案为 2 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质 是本题的关键 15已知 A（0，3）和 B（2，3）在抛物线 yx2+bx+c 上，则二次函数 yx2+bx+c 的对称 轴为直线 x1 【分析】根据抛物线对称性求解可得 【解答】解：A（
22、0，3）和 B（2，3）在抛物线 yx2+bx+c 上， 点 A 和点 B 是抛物线上关于对称轴对称的两点， 对称轴为直线 x1， 故答案为：x1 【点评】此题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称性 16已知反比例函数 y的图象，当 x 取 1，2，3，n 时，对应在反比例图象上的点 分别为 M1， M2， M3， Mn， 则 【分析】先确定 M1（1，1） ，M2（2，） ，M3（3，） ，Mn（n， ） ，再根据三角形 面积公式得到 SP1M1M21（1） ，SP2M2M3 1（） ，SPn1Mn 1Mn 1（） ，然后把它们相加即可 【解答】解：M1（1，1） ，
23、M2（2，） ，M3（3， ） ，Mn（n，） ， SP1M1M2 1（1） ，SP2M2M31（） ，SPn1Mn1Mn1 （） ， 1（1）+1（）+ +1（） （1+） 故答案为 【点评】本题考查了反比例函数 y（k0）中比例系数 k 的几何意义：过反比例函数图 象上任意一点分别作 x 轴、y 轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k| 三、作图题 17如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别为 A（2，1） ，B（1，4） ，C （3，2） ，以原点 O 为位似中心，ABC 与A1B1C1位似比为 1：2，在 y 轴的左侧， 请画出ABC 放大后的图形A1B1C1 【分
24、析】利用位似比为 1：2，进而将各对应点坐标扩大为原来的 2 倍，进而得出答案 【解答】解：如图所示，A1B1C1即为所求 【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题关键 四、解答题 18计算 （1）x2+6x20（配方法） （2）已知关于 x 的方程 2x2+（k2）x+10 有两个相等的实数根，求 k 的值 【分析】 （1）根据配方法的步骤计算可得； （2）由方程有两个相等的实数根知0，据此列出关于 k 的方程，解之可得 【解答】解： （1）x2+6x20， x2+6x2， 则 x2+6x+92+9，即（x+3）211， 解得 x+3， x3， 即 x13+ ，x23
25、 ； （2）方程有两个相等的实数根， 0，即（k2）24210， 整理，得：k24k40， 解得：k12+2，k222 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程与一元二次方程判别式的知识此题比较简单， 注意掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得0 19 小明为班级联欢会设计了一个摸球游戏 游戏规则如下： 在一个不透明的纸箱里装有红、 黄、蓝三 种颜色的小球，它们除颜色外完全相同，其中红球有 2 个，黄球有 1 个，蓝球 有 1 个游戏者先从纸箱里随机摸出一个球，记录颜色后放回，将小球摇匀，再随机摸 出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则游戏者可获得一份纪念品请你利用树状图或 列表法求游戏者获得
26、纪念品的概率 【分析】 画树状图展示所有 16 种等可能的结果数， 再找出两次摸到的球颜色相同的结果数， 然后根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中两次摸到的球颜色相同的结果数为 6， 所以游戏者获得纪念品的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n， 再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概 率 20在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数 y（天）与每天完成 工程量 x 米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分 （1）请根据题意，求
27、y 与 x 之间的函数表达式； （2）若该工程队有 2 台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠 30 米，问该工程队需要用多 少天才能完成此项任务？ （3） 如果为了防汛工作的紧急需要， 必须在 10 天内完成任务， 那么每天至少要完成多少米？ 【分析】 （1）将 点（24，50）代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间； （3）工作量除以工作时间即可得到工作的效率 【解答】解： （1）设 y 点（24，50）在其图象上， 所求函数表达式为 y； （2）由图象，知共需开挖水渠 24501200（m） ； 2
28、 台挖掘机需要 1200（230）20 天； （3）120010120（m） 故每天至少要完成 120m 【点评】 本题考查了反比例函数的应用， 解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型 21某商店经销一种销售成本为每件 40 元的商品，根据市场分析，当销售定价为 52 元时， 每月可售出 180 件，定价每增加 1 元，销售量就将减少 10 件；定价每减少 1 元，销售量 就将增加 10 件若商店想在销售成本不高于 7200 元的情况下，使该商品的月销售利润 达到 2000 元，则销售价应定为每件多少元？ 【分析】设销售价应定为每件 x 元，根据利润2000，列出方程即可解决问题 【解答
29、】解：设销售价应定为每件 x 元，根据题意，得 （x40）18010（x52）2000 整理得 x2110x+30000 解这个方程得 x150，x260 当 x50 时，销售成本为 4018010（5052）8000（元） 80007200，x50 不合题意，应舍去 当 x60 时，销售成本为 4018010（6052）4000（元） 答：销售价应定为每件 60 元 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，列出方程解决问 题 22 小华为了测量楼房AB的高度， 他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m， 到达坡顶D处 已 知斜坡的坡角为 15小华的身高 ED 是 1.6
30、m，他站在坡顶看楼顶 A 处的仰角为 45， 求楼房 AB 的高度 （计算结果精确到 1m） （参考数据：sin15，cos15，tan15） 【分析】作 DHAB 于 H，根据余弦的定义求出 BC，根据正弦的定义求出 CD，结合题意 计算即可 【解答】解：作 DHAB 于 H， DBC15，BD20， BCBDcosDBC2019.2，CDBDsinDBC205， 由题意得，四边形 ECBF 和四边形 CDHB 是矩形， EFBC19.2，BHCD5， AEF45， AFEF19.2， ABAF+FH+HB19.2+1.6+525.826m， 答：楼房 AB 的高度约为 26m 【点评】 本
31、题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题， 掌握仰角俯角 的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 23如图，在ABCD 中，ACCD （1）延长 DC 到 E，使 CECD，连接 BE，求证：四边形 ABEC 是矩形； （2）若点 F，G 分别是 BC，AD 的中点，连接 AF，CG，试判断四边形 AFCG 是什么特殊 的四边形？并证明你的结论 【分析】 （1）根据平行四边形的性质得出 ABCD，ABCD，求出 CEAB，CEAB，根 据平行四边形的判定得出四边形 ABEC 是平行四边形，根据矩形的判定得出即可 （2）根据平行四边形的性质得出 ADCB，ADCB，求出 AGC
32、F，根据平行四边形的判 定得出四边形 AFCG 是平行四边形，求出 AGCG，根据菱形的判定得出即可 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， CDCE， CEAB，CEAB， 四边形 ABEC 是平行四边形， ACCD， ACE90， 四边形 ABEC 是矩形； （2）四边形 AFCG 是菱形， 证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ADCB， 点 F、G 分别是 BC、AD 的中点， AGDGAD，BFCFBC， AGCF， 四边形 AFCG 是平行四边形， ACD90，G 为 AD 的中点， AGCG， 四边形 AFCG 是菱形 【点评】本
33、题考查了直角三角形的性质，矩形的判定，平行四边形的判定和性质，菱形的判 定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键 24如图，一个圆形喷水池的中央垂直于水面安装了一个柱形喷水装置 OA，O 恰好在水面 中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路 径落下，且在过 OA 的任一平面上，按如图所示建立直角坐标系，水流喷出的高度 y（m） 与水平距离 x（m）之间的关系式可以用 yx2+bx+c 表示，且抛物线经过点 B（，2） ， C（2，） 请根据以上信息，解答下列问题； （1）求抛物线的函数关系式，并确定喷水装置 OA 的高度； （2）喷出的水流距水面
34、的最大高度是多少米？ （3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【分析】 （1）根据抛物线 yx2+bx+c 表示，且经过点 B（，2） ，C（2，） ，可以求得 抛物线的解析式，然后令 x0，求得 y 的值，即可得到 OA 的值； （2）将（1）中的函数解析式化为顶点式，即可求得喷出的水流距水面的最大高度； （3）根据题意和图象，求出抛物线与 x 轴的交点，即可得到水池半径的最小值 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 表示，且经过点 B（，2） ，C（2，） ， ， 解得， 抛物线 yx2+2x+， 当 x0 时，y， 即抛物线的函数关系式是
35、yx2+2x+，喷水装置 OA 的高度是米； （2）yx2+2x+（x1）2+， 当 x1 时，y 取得最大值，此时 y， 答：喷出的水流距水面的最大高度是米； （3）令x2+2x+0， 解得，x10.5，x22.5， 答：水池的半径至少要 2.5 米，才能使喷出的水流不至于落在池外 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式， 利用二次函数的性质解答 25 （8 分）ABC 是一张等腰直角三角形纸板，C90，ACBC2， （1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图 1） ，比较甲、 乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积大？请说明理
36、由 （2）图 1 中甲种剪法称为第 1 次剪取，记所得正方形面积为 s1；按照甲种剪法，在余下的 ADE 和BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第 2 次剪取，并记 这两个正方形面积和为 s2（如图 2） ，则 s2 ；再在余下的四个三角形中，用同样 方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第 3 次剪取，并记这四个正方形面 积和为 s3，继续操作下去，则第 10 次剪取时，s10 ； （3）求第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和 【分析】 （1）分别求出甲、乙两种剪法所得的正方形面积，进行比较即可； （2）按图 1 中甲种剪法，可知后一个三角形的面积是前一
37、个三角形的面积的，依此可知 结果； （3）探索规律可知：，依此规律可得第 10 次剪取后，余下的所有小三角形的面 积之和 【解答】解： （1）解法 1：如图甲，由题意，得 AEDEEC，即 EC1，S 正方形CFDE12 1 如图乙，设 MNx，则由题意，得 AMMQPNNBMNx， ， 解得 又 甲种剪法所得的正方形面积更大 说明：图甲可另解为：由题意得点 D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，S 正方形OFDE1 解法 2：如图甲，由题意得 AEDEEC，即 EC1， 如图乙，设 MNx，则由题意得 AMMQQPPNNBMNx， 则， 解得， 又，即 ECMN 甲种剪法所得的正方形
38、面积更大 （2）， （3）解法 1：探索规律可知： 剩余三角形面积和为 2（S1+S2+S10）2（1+） 解法 2：由题意可知， 第一次剪取后剩余三角形面积和为 2S11S1 第二次剪取后剩余三角形面积和为， 第三次剪取后剩余三角形面积和为， 第十次剪取后剩余三角形面积和为 【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪 法，所得的正方形面积是解题的关键 26如图，在矩形 ABCD 中，AB6，BC8动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同 时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点时停止运动点 P 也同时停止点 P， Q
39、 运动速度均为每秒 1 个单位长度，连接 PQ，设运动时间为 t（t0）秒 （1）当点 Q 从 B 点向 A 点运动时（未到达 A 点） ， 当 t 秒 时 PQBC 求APQ 的面积 S 关于 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围； （2）伴随着 P，Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为 l： 当 l 经过点 A 时，射线 QP 交 AD 于点 E，求此时的 t 的值和 AE 的长； 当 l 经过点 B 时，求 t 的值 【分析】 （1）由题意得：BQAPt，根据平行线分线段成比例定理得：，列关 于 t 的方程，解出即可； 作高线 PE，根据三角形面积公式可得：S 关于 t 的函数
40、关系式，并根据 AB 的长和点 Q 的速度确定 t 的取值范围； （2）如图 2，延长 CD 交 QP 于 M，根据线段垂直平分线的性质可得：AQAP，即 6 tt，可得 t 的值，证明AQPCMP，列比例式可得 CM 的长，证明AQEDME， 可得结论； 如图 3，作辅助线，构建等腰三角形，根据平行线分线段成比例定理可得结论 【解答】解： （1）由题意得：BQAPt， 四边形 ABCD 是矩形， ABC90， AB6，BC8， AC10，AQ6t， PQBC， ， ， t ， 则当 t秒时，PQBC， 故答案为：秒； 如图 1，过 P 作 PEAB 于 E， sinBAC， ，PEt， SA
41、PQS AQPE（6t）t +t（0t6） ； （2）如图 2，延长 CD 交 QP 于 M， 线段 PQ 的垂直平分线为 l 经过点 A， AQAP，即 6tt， t3， AQAP3，CP1037， AQCD， AQPCMP， ， ，CM7， DM761， AQDM， AQEDME， ， AE+DE8， AE6； 如图 3 ，连接 PB，过 P 作 PGAB 于 G，则 PGBC， 线段 PQ 的垂直平分线 l 经过点 B， PBBQtAP， AGBG， APPCAC5， t5 【点评】 本题是四边形综合题目， 考查了矩形性质， 等腰三角形性质， 线段垂直平分线性质， 勾股定理，相似三角形的性质和判定的应用等知识，主要考查学生分析问题和解决问题 的能力，题目比较典型，但是有一定的难度
