2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题*学科、专业名称：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、统计学研究方向：考试科目名称：810高等代数（B卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 1、（10分）证明：如果为阶矩阵，且, 那么 .其中为自然数，为单位矩阵。2、（10分）设都是线性空间的子空间，且，证明：如果的维数和的维数相等，那么.3、（10分）求-矩阵 的不变因子。4、（10分）设.求矩阵，使得，其中为3阶单位矩阵。5、（10分）计算行列式.考试科目：高等代数（B卷） 共 2 页，第 1 页6、（10分）设，其中的秩为，为的转置。证明： 是对称矩阵，且.7、（10分）证明：如果多项式, 其中为自然数，那么的根只能是零或单位根。8、（15分）（1）陈述向量组线性无关的定义。 （2）判断向量组, , 是否线性相关。9、（25分）设实对称矩阵.求正交矩阵和对角矩阵, 使得.10、（40分）请谈谈你对线性变换中特征值和特征向量的理解。 考试科目：高等代数（B卷） 共 2 页，第 2 页
