1、第五节 空间几何体的面积与体积1.1.空间几何体的侧面积空间几何体的侧面积（1 1）简单几何体的侧面展开图的形状）简单几何体的侧面展开图的形状名称名称侧面展开图形状侧面展开图形状侧面展开图侧面展开图圆圆 柱柱_矩形矩形名称名称侧面展开图形状侧面展开图形状侧面展开图侧面展开图圆圆 锥锥_圆圆 台台扇环扇环扇形扇形名称名称侧面展开图形状侧面展开图形状侧面展开图侧面展开图直棱柱直棱柱_正正n n棱锥棱锥n n个全等的个全等的_矩形矩形等腰三角形等腰三角形名称名称侧面展开图形状侧面展开图形状侧面展开图侧面展开图正正n n棱台棱台n n个全等的等腰梯形个全等的等腰梯形 （2 2）简单几何体的侧面积）简单
2、几何体的侧面积S S圆柱侧圆柱侧=_=_（r r为底面半径，为底面半径，l为侧面母线长）为侧面母线长）. .S S圆锥侧圆锥侧=_=_（r r为底面半径，为底面半径，l为侧面母线长）为侧面母线长）. .S S圆台侧圆台侧=_=_（r r1 1，r r2 2分别为上、下底面半径，分别为上、下底面半径，l为母线为母线长）长）. .S S直棱柱侧直棱柱侧=_=_（c c为底面周长为底面周长,h,h为高）为高）. .S S正棱锥侧正棱锥侧=_(c=_(c为底面周长，为底面周长，hh为斜高为斜高).).S S正棱台侧正棱台侧=_(c=_(c，c c分别为上、下底面周长分别为上、下底面周长,h,h为斜高）
3、为斜高）. .2r2rlrrl(r(r1 1+r+r2 2) )lchch1ch21c c h2 2.2.柱体、锥体、台体的体积公式柱体、锥体、台体的体积公式几何体名称几何体名称体积体积棱（圆）柱棱（圆）柱V=_V=_（S S为底面面积，为底面面积，h h为高）为高）棱（圆）锥棱（圆）锥V=_V=_（S S为底面面积，为底面面积，h h为高）为高）棱（圆）台棱（圆）台V= _V= _(S(S上上,S,S下下为上、下底面面积，为上、下底面面积，h h为高为高) )ShSh1Sh31SS SSh3上上 下下（）3.3.球的表面积和体积公式球的表面积和体积公式若球的半径为若球的半径为R R，则，则S
4、 S球面球面=_;=_;V V球球=_.=_.4R4R2 234R3判断下面结论是否正确（请在括号中打判断下面结论是否正确（请在括号中打“”“”或或“”）. .（1 1）长方体的体积等于长、宽、高之积）长方体的体积等于长、宽、高之积.( ).( )（2 2）锥体的体积等于底面面积与高之积）锥体的体积等于底面面积与高之积.( ).( )（3 3）球的体积之比等于半径比的平方）球的体积之比等于半径比的平方.( ).( )（4 4）台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差）台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差.( ).( )（5 5）直径为）直径为1 1的球的表面积的球的表面积S=4rS=4r2 2
5、=4.( )=4.( )【解析解析】（1 1）正确）正确. .长方体是一种特殊的直四棱柱，其体积长方体是一种特殊的直四棱柱，其体积V=Sh=abcV=Sh=abc（其中（其中a,b,ca,b,c分别为长方体的长、宽、高）分别为长方体的长、宽、高）. .（2 2）错误）错误. .锥体的体积等于底面面积与高之积的锥体的体积等于底面面积与高之积的（3 3）错误）错误. .因为球的体积因为球的体积 故球的体积之比等于半径故球的体积之比等于半径比的立方比的立方. .（4 4）正确）正确. .由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的在截面与底面之间的几何体
6、，故其体积可转化为两个锥体的的在截面与底面之间的几何体，故其体积可转化为两个锥体的体积之差体积之差. .1.334VR3 ，（5 5）错误）错误. .直径为直径为1 1的球的半径为的球的半径为 故其表面积故其表面积S=4rS=4r2 2= = 答案：答案：（1 1） （2 2） （3 3） （4 4） （5 5）12，214.2（ ）1.1.一个正方体的体积是一个正方体的体积是8 8，则这个正方体的内切球的表面积是，则这个正方体的内切球的表面积是( )( )（A A）8 8 （B B）6 6 （C C）4 4 （D D）【解析解析】选选C.C.正方体的体积是正方体的体积是8 8，正方体的棱长为
7、正方体的棱长为2 2，故内切球的半径故内切球的半径r=1r=1，球的表面积球的表面积S=4rS=4r2 2=4.=4.2.2.正六棱柱的高为正六棱柱的高为6 6，底面边长为，底面边长为4 4，则它的表面积为，则它的表面积为( )( )【解析解析】选选A.A.正六棱柱的表面积为正六棱柱的表面积为6 64 46+ 6+ 4 44sin 604sin 60A 4833B 483 2 3C 24 62D144（ ） （） （ ） （）（ ） （） （ ）1212 144 48 3 4833.（）3.3.直角三角形两直角边直角三角形两直角边AB=3AB=3，AC=4AC=4，以，以ABAB为轴旋转一周所
8、得的为轴旋转一周所得的几何体的体积为几何体的体积为( )( )（A A）12 12 （B B）16 16 （C C）9 9 （D D）2424【解析解析】选选B.B.由题意知，该几何体是底面半径为由题意知，该几何体是底面半径为4 4，高为，高为3 3的圆的圆锥，故其体积锥，故其体积21V43 16 .3 4.4.若某几何体的三视图（单位：若某几何体的三视图（单位：cmcm）如图所示，则此几何体的）如图所示，则此几何体的侧面积为侧面积为_cm_cm2 2. .【解析解析】由三视图可知该几何体是圆锥，其底面圆半径为由三视图可知该几何体是圆锥，其底面圆半径为3 3，母线长母线长l=5,=5,SS侧侧
9、= 2= 23 35 5=15 (cm=15 (cm2 2).).答案：答案：1515125.5.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是_._.【解析解析】由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一由三视图知该几何体为组合体，由一个正四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为个正方体叠加构成，其中正方体的棱长为3 3，正四棱锥的高为，正四棱锥的高为1 1，底面正方形的边长为，底面正方形的边长为3 3，V=VV=V正方体正方体+V+V正四棱锥正四棱锥=3=33 3 9 91=301=30答案：答案：303013 【备选考向备选考向】几
10、何体的折叠与展开几何体的折叠与展开【典例典例】（1 1）如图，在三棱柱）如图，在三棱柱ABC-ABC-ABCABC中，中，ABCABC为等边三角形，为等边三角形，AAAA平面平面ABCABC，AB=3,AA=4AB=3,AA=4，M M为为AAAA的中点，的中点，P P是是BCBC上一点，且由上一点，且由P P沿沿棱柱侧面经过棱棱柱侧面经过棱CCCC到到M M的最短路线的最短路线长为长为 设这条路线与设这条路线与CCCC的交点为的交点为N N，则，则PC=_PC=_，NC=_.NC=_.29，（2 2）如图为一几何体的展开图，其中四边形）如图为一几何体的展开图，其中四边形ABCDABCD是边长
11、为是边长为6 6的的正方形，正方形，SD=PD=6SD=PD=6，CR=SCCR=SC，AQ=APAQ=AP，点，点S S，D D，A A，Q Q及点及点P P，D D，C C，R R分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使分别共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P P，Q Q，R R，S S四点四点重合，则需要重合，则需要_个这样的几何体，可以拼成一个棱长为个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6 6的的正方体正方体. .【思路点拨思路点拨】（1 1）可将该三棱柱的侧面沿棱）可将该三棱柱的侧面沿棱BBBB展开，然后展开，然后利用平面几何的知识解决利用平面几何的知识解决. .（2 2）将平面图形折叠后
12、得到一个四）将平面图形折叠后得到一个四棱锥，然后利用体积相等求解棱锥，然后利用体积相等求解. .【规范解答规范解答】（1 1）将该三棱柱的侧面沿棱）将该三棱柱的侧面沿棱BBBB展开，如图所展开，如图所示：示：设设PC=x,PC=x,则则MPMP2 2=MA=MA2 2+ +（AC+xAC+x）2 2. .MP= MA=2MP= MA=2，AC=3AC=3，x=2,x=2,即即PC=2.PC=2.又又NCAMNCAM，答案：答案：2 229，PCNC2NC4NC.PAAM525，即，45（2 2）由题意知，将该展开图沿虚线折）由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥叠起来以后，得到
13、一个四棱锥P-ABCDP-ABCD，其中其中PDPD平面平面ABCDABCD，因此该四棱锥的体积，因此该四棱锥的体积 而棱长为而棱长为6 6的正方体的体积的正方体的体积V=6V=66 66=6=216216，故需要，故需要 个这样的几何体，才能拼成一个棱长为个这样的几何体，才能拼成一个棱长为6 6的正方体的正方体. .答案：答案：3 31V6 6 6 723 ，216372【互动探究互动探究】保持本例题（保持本例题（1 1）条件不变，则一只蚂蚁从）条件不变，则一只蚂蚁从B B点点出发沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达出发沿三棱柱的三个侧面绕一周，到达BB点的最短路线的长点的最短路线的长为为_._.
14、【解析解析】由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线，故由题意可知，其最短路线为侧面展开图的对角线，故其最短路线的长为其最短路线的长为答案：答案：229497.97【拓展提升拓展提升】1.1.求几何体表面上两点间的最短距离的方法求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离上两点间的最短距离2.2.解决折叠问题的技巧解决折叠问题的技巧（1 1）解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中（折叠前的）解决折叠问题时，要分清折叠前后两图形中（折叠前的平面图形和折叠后的空间图形）元素间的位
15、置关系和数量关系平面图形和折叠后的空间图形）元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化，哪些没有发生变化哪些发生了变化，哪些没有发生变化（2 2）折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置）折叠问题中的前后两个图形，在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和关系和数量关系不发生变化；在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化数量关系发生变化【变式备选变式备选】（1 1）如图，底面半径为）如图，底面半径为1 1，高为，高为2 2的圆柱，在的圆柱，在A A点点有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱由A A点爬到点爬到B B点，
16、问蚂蚁点，问蚂蚁爬行的最短距离是爬行的最短距离是_._.【解析解析】把圆柱的侧面沿把圆柱的侧面沿ABAB剪开，然后展开成如图所示的平面剪开，然后展开成如图所示的平面图形，连接图形，连接ABAB，则，则ABAB即为蚂蚁爬行的最短距离即为蚂蚁爬行的最短距离. .AB=AB=2,AAAB=AB=2,AA为底面圆的周长，则为底面圆的周长，则AA=2AA=21=21=2，即蚂蚁爬行的最短距离为即蚂蚁爬行的最短距离为答案：答案：2222ABABAA422 1 （ ），22 1.22 1（2 2）如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为）如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1 1的正的正方形和方
17、形和4 4个边长为个边长为1 1的正三角形组成，则该多面体的体积是的正三角形组成，则该多面体的体积是_._.【解析解析】由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1 1，侧棱长，侧棱长为为1 1，斜高为，斜高为 连接顶点和底面中心即为高，可得高为连接顶点和底面中心即为高，可得高为 所以体积为所以体积为答案：答案：32，22，122V1 1.326 26考向考向 1 1 空间几何体的表面积空间几何体的表面积【典例典例1 1】（1 1）（）（20122012北京高考）某三棱锥的三视图如图所北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是示，该三棱锥的表面积是(
18、)( )A 28 6 5B30 6 5C 56 12 5D 60 12 5（ ） （ ）（ ） （ ）（2 2）（）（20122012辽宁高考）一个几何体的三视图如图所示，则辽宁高考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为该几何体的表面积为_._.【思路点拨思路点拨】（1 1）由三视图还原直观图，再求表面积）由三视图还原直观图，再求表面积. .（2 2）读懂三视图，该几何体为长方体挖掉一个底面直径为）读懂三视图，该几何体为长方体挖掉一个底面直径为2 2的的圆柱，分别求表面积，注意减掉圆柱的两个底面积圆柱，分别求表面积，注意减掉圆柱的两个底面积. .【规范解答规范解答】（1 1）选）选
19、B.B.直观图如图所示直观图如图所示: :底面是边长底面是边长AC=5AC=5，BC=4BC=4的直角三角形，且过顶点的直角三角形，且过顶点P P向底面作垂向底面作垂线线PHPH，垂足在，垂足在ACAC上，上，AH=2AH=2，HC=3HC=3，PH=4. SPH=4. SABCABC= 4= 45=105=10，12S SPACPAC= 5= 54=10.4=10.因为因为PHPH平面平面ABCABC，所以，所以PHBC.PHBC.又因为又因为BCACBCAC，PHAC=HPHAC=H，所以，所以BCBC平面平面PACPAC，所以，所以BCPC.BCPC.所以所以S SPBCPBC= 4=
20、45=10.5=10.在在PABPAB中，中， PB=AB= PB=AB= 取取PAPA中点中点E E，连接，连接BEBE，则，则BE=6BE=6，所以，所以S SPABPAB= = 因此三棱锥的表面积为因此三棱锥的表面积为1212PA 2 5，41 ，122 5 6 6 5. 10 10 10 6 5 30 6 5.（2 2）长方体的长、宽、高分别为）长方体的长、宽、高分别为4 4，3 3，1 1，表面积为，表面积为4 43 32+32+31 12+42+41 12=382=38；圆柱的底面圆直径为圆柱的底面圆直径为2 2，母线长为，母线长为1 1，侧面积为，侧面积为221 11=21=2；
21、圆柱的两个底面积和为圆柱的两个底面积和为2 21 12 2=2=2，故该几何体的表面积为故该几何体的表面积为38+2-2=38.38+2-2=38.答案：答案：3838【拓展提升拓展提升】1.1.多面体的表面积的求法多面体的表面积的求法求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁，从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联
22、系积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系. .2.2.旋转体的表面积的求法旋转体的表面积的求法圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. .【提醒提醒】解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的解题中要注意表面积与侧面积的区别，对于组合体的表面积还应注意重合部分的处理表面积还应注意重合部分的处理. .【变式训练变式训练】（1 1）一个空间几何体的三视图如图所示，则该）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为几
23、何体的表面积为( )( )A 48B 32 8 17C 48 8 17D 80（ ） （ ）（ ） （ ）【解析解析】选选C.C.由三视图知几何体的直观图如图所示：由三视图知几何体的直观图如图所示：为以四边形为以四边形ABCDABCD为底面的直四棱柱，且为底面的直四棱柱，且 AD=4AD=4，BC=2BC=2，则其侧面积为，则其侧面积为 两底面两底面面积为面积为 故几何体的表面积为故几何体的表面积为AB17，2 4 2 174 24 8 17 （），4 242242（），48 8 17.（2 2）（）（20132013长春模拟）如图是一个空间几何体的三视图，长春模拟）如图是一个空间几何体的三视
24、图，则该几何体的表面积是则该几何体的表面积是_._.【解析解析】由三视图可知原几何体是一个长方体中挖去半球体，由三视图可知原几何体是一个长方体中挖去半球体，故所求表面积为故所求表面积为S=4+8+4-+2=16+.S=4+8+4-+2=16+.答案：答案：16+16+考向考向 2 2 空间几何体的体积空间几何体的体积【典例典例2 2】（1 1）（）（20132013皖南八校联考）已知某几何体的三视皖南八校联考）已知某几何体的三视图如图所示，其中，主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，图如图所示，其中，主视图，左视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体俯
25、视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为的体积为( )( )(2)(2013(2)(2013亳州模拟）三视图如图所示的几何体的体积为亳州模拟）三视图如图所示的几何体的体积为_._.2141AB32362121CD6632（ ） （ ）（ ） （ ）（3 3）（）（20122012天津高考）一个几何体的三视图如图所示天津高考）一个几何体的三视图如图所示（单位：（单位：m m），则该几何体的体积为），则该几何体的体积为_m_m3 3. .【思路点拨思路点拨】（1 1）该几何体是半球与三棱锥的组合体）该几何体是半球与三棱锥的组合体. .（2 2）由三视图可知该几何体为一个四棱锥）
26、由三视图可知该几何体为一个四棱锥. .（3 3）根据三视图得到几何体的直观图，结合相应的数据，利）根据三视图得到几何体的直观图，结合相应的数据，利用柱体的体积公式求解用柱体的体积公式求解. .【规范解答规范解答】（1 1）选）选C.C.由三视图可得由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数部分是半球，所以根据三视图中的数据可得据可得(2)(2)由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的四棱由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，且锥，且答案：答案：1 131 421 121V1 1 1.2323 266 （）13S
27、1 2 1.22 底面（）1 3V2 1.3 2 四棱锥（3 3）组合体的底座是一个长、宽、高分别为）组合体的底座是一个长、宽、高分别为4 4，3 3，2 2的长方的长方体，上面是一个平躺着的高为体，上面是一个平躺着的高为4 4的四棱柱，其两个底面的面积的四棱柱，其两个底面的面积为为 所以所求的体积是所以所求的体积是答案：答案：303032，3V 43 4 2 6 24 30.2 【拓展提升拓展提升】1.1.求几何体体积的类型及思路求几何体体积的类型及思路（1 1）若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用）若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解公式进行求解. .（
28、2 2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. .（3 3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解几何体的直观图，然后根据条件求解2.2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系【变式训练变式训练】（20122012天津高考）一个几何体的三视图如图所天津高考）一个几何体的三视图如图所示（单位：示（单位：m m），则该几何体的体积为），则
29、该几何体的体积为_m_m3 3. .【解析解析】组合体的上面是一个长、宽、高分别为组合体的上面是一个长、宽、高分别为6 6，3 3，1 1的长的长方体，下面是两个半径为方体，下面是两个半径为 的相切的球体，所以所求的体积是的相切的球体，所以所求的体积是答案：答案：18+918+932343V 2VV2( )6 3 1 18 9 .32 球长方体【易错误区易错误区】求球的组合体体积时的易错点求球的组合体体积时的易错点【典例典例】（20122012新课标全国卷）已知三棱锥新课标全国卷）已知三棱锥S-ABCS-ABC的所有顶的所有顶点都在球点都在球O O的球面上，的球面上，ABCABC是边长为是边长
30、为1 1的正三角形，的正三角形，SCSC为球为球O O的的直径，且直径，且SC=2SC=2，则此棱锥的体积为，则此棱锥的体积为( )( )【误区警示误区警示】本题易出现的错误主要是不能根据本题易出现的错误主要是不能根据SCSC为球为球O O的直的直径将三棱锥的体积进行合理转化，从而无法求解或求解错误径将三棱锥的体积进行合理转化，从而无法求解或求解错误. .2322ABCD6632（ ） （ ） （ ） （ ）【规范解答规范解答】选选A.A.由于三棱锥由于三棱锥S-ABCS-ABC与三棱锥与三棱锥O-ABCO-ABC的底面都是的底面都是ABCABC，O O是是SCSC的中点，因此三棱锥的中点，因
31、此三棱锥S-ABCS-ABC的高是三棱锥的高是三棱锥O-ABCO-ABC高高的的2 2倍，所以三棱锥倍，所以三棱锥S-ABCS-ABC的体积也是三棱锥的体积也是三棱锥O-ABCO-ABC体积的体积的2 2倍倍. .在三棱锥在三棱锥O-ABCO-ABC中，其棱长都是中，其棱长都是1 1，如图所示：，如图所示：2ABC22S ABCO ABC33SAB4436OD1()331362V2V2.3436 ，高，【思考点评思考点评】1.1.与球有关的组合体问题的求解与球有关的组合体问题的求解解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心解决与球有关的组合体问题，可通过画过球心的截面来分析的截面来分析. .例如
32、，底面半径为例如，底面半径为r r，高为，高为h h的的圆锥内部有一球圆锥内部有一球O O，且球与圆锥的底面和侧面，且球与圆锥的底面和侧面均相切，过球心均相切，过球心O O作球的截面，如图所示，则作球的截面，如图所示，则球心是等腰三角形球心是等腰三角形ABCABC的内切圆的圆心，的内切圆的圆心，ABAB和和ACAC均是圆锥的母线，均是圆锥的母线，BCBC是圆锥底面的直径，是圆锥底面的直径，D D是圆锥底面的圆心是圆锥底面的圆心. .用同样的方法可得以下结论：用同样的方法可得以下结论：（1 1）长方体的）长方体的8 8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角
33、线是球的直径；是球的直径；球与正方体的球与正方体的6 6个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的球与正方体的1212条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线. .（2 2）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径高，也等于圆柱底面圆的直径. .（3 3）球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的）球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高高. .2.2.空间几何体的切割问题空间几何体的切割问题在求解一些不规
34、则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法时，常常需要用到分割法. .在求一个几何体被分成两部分的体在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积体积减去规则几何体的体积求出其体积. . 1.(20121.(2012广东高考广东高考) )某几何体的三视图如图所示，它的体积为某几何体的三视图如图所示，它的体积为 ( )( )(A)12 (B)45 (C)57 (D)81(A)12 (B)45 (C)
35、57 (D)81【解解析析】选选C.C.由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两个几何体由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两个几何体组组合合而成，直观图如图所示而成，直观图如图所示：圆圆锥的底面锥的底面半半径为径为3 3，高为，高为4 4，圆柱的底面半径为，圆柱的底面半径为3 3，高为，高为5 5，221V VV3435 57 .3 圆锥圆柱2.(20122.(2012湖北高考湖北高考) )已知某几何已知某几何体体的三视图如图所示，则该几的三视图如图所示，则该几何体的体积为何体的体积为( ( )(A) (B)3 (C) (D)6(A) (B)3 (C) (D)6【解析解析】选选B.B.可补上一个与它完
36、全相同的几何体后为圆柱，所可补上一个与它完全相同的几何体后为圆柱，所求几何体体积求几何体体积为为831032116 3 .2 3.(20133.(2013西安模拟）如图（西安模拟）如图（1 1）所示，一只装了水的密封瓶子，）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为其内部可以看成是由半径为1 cm1 cm和半径为和半径为3 cm3 cm的两个圆柱组成的两个圆柱组成的简单几何体的简单几何体. .当这个几何体如图（当这个几何体如图（2 2）水平放置时，液面高度）水平放置时，液面高度为为20 cm,20 cm,当这个几何体如图（当这个几何体如图（3 3）水平放置时，液面高度为）水平放置时，
37、液面高度为28 28 cmcm，则这个简单几何体的总高度为，则这个简单几何体的总高度为( )( )(A)29 cm (B)30 cm (C)32 cm (D)48 cm(A)29 cm (B)30 cm (C)32 cm (D)48 cm【解析解析】选选A.A.设这个几何体的总高度为设这个几何体的总高度为h cmh cm，两次放置没有水，两次放置没有水的部分体积相等，得的部分体积相等，得： 解得解得h=29.h=29.即这个几何体的总高度是即这个几何体的总高度是29 cm29 cm，故选，故选A.A.22h 20)1h 283 , （4.4.（20122012安徽高考）某几何体的三视图如图所示
38、，该几何体安徽高考）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是的表面积是_._.【解析解析】由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱（如图所示）的直四棱柱（如图所示）. .在四边形在四边形ABCDABCD中，作中，作DEABDEAB，垂足为，垂足为E E，则，则DE=4DE=4，AE=3AE=3，则，则AD= AD= 5.5.所以其表面积为：所以其表面积为：答案：答案：9292122 54 2 4 4 5 4 5 4 4 92.2 5.(20125.(2012山东高考山东高考) )如图，正方体如图，正方体ABCD-AABCD-A1
39、 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱长为的棱长为1 1，E,FE,F分别为线段分别为线段AAAA1 1,B,B1 1C C上的点，则三棱锥上的点，则三棱锥D D1 1-EDF-EDF的的体体积为积为_.【解析解析】答案答案：111D EDFF DDEDDE11 11VVSAB1 1 1.33 26 161.1.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为为1 1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面面积积为为( )( )(A)12 (B)(A)12 (B)(C)
40、3 (D)(C)3 (D)4 312 3【解析解析】选选C.C.由主视图和左视图是腰长为由主视图和左视图是腰长为1 1的两个全等的等腰的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1 1的正的正方形，一条侧棱方形，一条侧棱AEAE与底面垂直，与底面垂直，根据球与四棱锥的位置关系根据球与四棱锥的位置关系知，外接球的直径是知，外接球的直径是ACAC，根据直角三角形的勾股定理知，根据直角三角形的勾股定理知AC= AC= 外接球半径为外接球半径为 所以外接球的面积为所以外接球的面积为=3,=3,选选C.C.1 1 13 ，32，234 ()22.2.一个水管弯头的三视图如图所示，根据三视图中的尺寸，可一个水管弯头的三视图如图所示，根据三视图中的尺寸，可得该水管弯头的侧面积为得该水管弯头的侧面积为( )( )（A A）4 4 （B B）8 8 （C C）12 12 （D D）1616【解析解析】选选C.C.由题知，可将该水管弯头转换为一个底面直径为由题知，可将该水管弯头转换为一个底面直径为2 2，高为，高为6 6的圆柱，从而可知该水管弯头的侧面积等于该圆柱的的圆柱，从而可知该水管弯头的侧面积等于该圆柱的侧面积，故侧面积，故S=2rS=2rh=2h=21 16=12.6=12.
