1、第19讲矩形、菱形、正方形考法1考法2考法3考法4矩形的性质和判定矩形的性质和判定明晰矩形与一般平行四边形的区别和联系是解答此类问题的突破口.例1(2017湖北鄂州)如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于点E.(1)求证:AFE CDE;(2)若AB=4,BC=8,求图中阴影部分的面积.考法1考法2考法3考法4(1)证明:在矩形ABCD中,AB=CD,D=B=90,又将矩形ABCD沿对角线AC翻折,AB=AF=CD,F=D=90,AEF=DEC,AFE CDE.(2)解:设EF=ED=x,则AE=8-x,在直角三角形AEF中,由勾股定理得,(8-x)2=x2+42解
2、得x=3.S阴影=SADC-SEDC.考法1考法2考法3考法4方法点拨(1)利用AAS证全等;(2)根据勾股定理列方程求EF,计算面积.考法1考法2考法3考法4例2(2018山东青岛)已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,BCD=120,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.分析:(1)只要证明AB=CD,AF=CD即可解决问题;(2)结论:四边形ACDF是矩形.根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可;考法1考法2考法3考法4(1)证明:四边形ABCD
3、是平行四边形,ABCD,AB=CD,AFC=DCG,GA=GD,AGF=CGD,AGF DGC,AF=CD,AB=AF.(2)解:结论:四边形ACDF是矩形.理由:AF=CD,AFCD,四边形ACDF是平行四边形,四边形ABCD是平行四边形,BAD=BCD=120,FAG=60,AB=AG=AF,AFG是等边三角形,AG=GF,AGF DGC,FG=CG,AG=GD,AD=CF,四边形ACDF是矩形.考法1考法2考法3考法4方法点拨此题主要考查了矩形的性质以及判定,要证明两直线平行和两线段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上,通过证明四边形是平行
4、四边形达到上述目的.考法1考法2考法3考法4菱形的性质菱形的性质1.明晰菱形与一般平行四边形的区别和联系.2.涉及对角线时要考虑勾股定理.考法1考法2考法3考法4例3(2018湖北随州)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形OABC的边长为2,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,AOC=60,若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75,得到四边形OABC,则点B的对应点B的坐标为.考法1考法2考法3考法4解析:作BHx轴于H点,连接OB,OB,如图,四边形OABC为菱形,OB平分AOC,AOB=30,菱形OABC绕原点O顺时针旋转75至第四象限OABC的位置,BOB=75,OB=OB=2 ,AOB=B
5、OB-AOB=45,考法1考法2考法3考法4方法点拨本题考查了数形结合思想和坐标与图形变化-旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30,45,60,90,180.考法1考法2考法3考法4菱形的判定菱形的判定证明菱形的常用思路:“平行四边形+一组邻边相等”或“平行四边形+对角线互相垂直”.例4(2018江苏扬州)如图,在平行四边形ABCD中,DB=DA,点F是AB的中点,连接DF并延长,交CB的延长线于点E,连接AE.(1)求证:四边形AEBD是菱形;(2)若DC= ,tan DCB=3,求菱形AEBD的面积.分析:(1)由AFD
6、BFE,推出AD=BE,可知四边形AEBD是平行四边形,再根据BD=AD可得结论;(2)解直角三角形求出EF的长即可解决问题.考法1考法2考法3考法4(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADCE,DAF=EBF,AFD=EFB,AF=FB,AFD BFE,AD=EB,ADEB,四边形AEBD是平行四边形,BD=AD,四边形AEBD是菱形.考法1考法2考法3考法4(2)解:四边形ABCD是平行四边形, ABE=DCB,tan ABE=tan DCB=3,四边形AEBD是菱形,ABDE,AF=FB,EF=DF,方法点拨本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知
7、识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.考法1考法2考法3考法4正方形的性质及判定正方形的性质及判定1.明晰正方形具备平行四边形、矩形、菱形的所有性质;2.证明正方形的一般思路:矩形+一组邻边相等,矩形+对角线互相垂直,菱形+对角线相等,菱形+一个内角是90;3.正方形的中心对称性与轴对称性.考法1考法2考法3考法4例5(2017广西来宾)如图,在正方形ABCD中,H为CD的中点,延长AH至点F,使AH=3FH,过F作FGCD,垂足为G,过F作BC的垂线交BC的延长线于点E.(1)求证:ADHFGH;(2)求证:四边形CEFG是正方形.证明:(1)四边形ABCD是正方形,
8、ADH=90,AD=DC,FGCD,ADH=FGH=90,AHD=FHG,ADHFGH.考法1考法2考法3考法4(2)ADHFGH,AH=3FH, FGCD,DCBE,FEBE,四边形CEFG是正方形.1.(2017甘肃兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC= ( B)A.5B.4C.3.5D.3解析:四边形ABCD是矩形,AC=BD,OA=OC,BAD=90,ADB=30,AC=BD=2AB=8,OC= AC=4.故选B.2.(2018甘肃兰州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,BEDF且BE与DF之间的距离是3,则AE的长是( C)3
9、.(2017甘肃兰州)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:ABAD,且AB=AD;AB=BD,且ABBD;OB=OC,且OBOC;AB=AD,且AC=BD,其中正确的序号是.解析:四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,四边形ABCD是菱形,又ABAD,四边形ABCD是正方形,故正确;四边形ABCD是平行四边形,AB=BD,ABBD,平行四边形ABCD不可能是正方形,故错误;四边形ABCD是平行四边形,OB=OC,AC=BD,四边形ABCD是矩形,又OBOC,即对角线互相垂直,平行四边形ABCD是正方形,故正确;四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,四边形ABCD是菱形,又AC=BD,四边形ABCD是矩形,平行四边形ABCD是正方形,故正确;故答案为.4.(2018甘肃)已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:BGF FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.(1)证明:点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点,FHBE,FH= BE=BG,CFH=CBG,BF=CF,BGF FHC.(2)解:当四边形EGFH是正方形时,可得:EFGH且EF=GH,且GHBC,EFBC,ADBC,ABBC,
