1、1关键词：关键词：随机变量随机变量 概率分布函数概率分布函数 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 随机变量的函数随机变量的函数第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布1 1 随机变量随机变量常见的两类试验结果：常见的两类试验结果：示数的示数的降雨量；降雨量； 候车人数；候车人数； 发生交通事故的次数发生交通事故的次数示性的示性的明天天气（晴，云明天天气（晴，云）；）； 化验结果（阳性，阴性）化验结果（阳性，阴性） 3esxX=X(e)为S上的单值函数中心问题：将试验结果数量化中心问题：将试验结果数量化4BIXI记为事件是一个实数集合若一般的 ,常见的两类随机变量常
2、见的两类随机变量离散型的离散型的连续型的连续型的)(:IeXeIX为事件则6例1.1：掷硬币3次，出现正面的次数记为X.样本点TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHHX的值0 1 1 1 2 2 2 30P X P TTT 1/81P X ,P TTH THT HTT 1P X 01P XP X1/ 2X0 1 2 3p1/8 3/8 3/8 1/88/37 定义：取值至多可数的随机变量为离散离散型的随机变量。型的随机变量。概率分布(分布律)为10,1iiippp1x2xix1p2pipX2 2 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布概率分布律概率分布律写出所有可能
3、取值；写出所有可能取值；写出每个取值相应的概率写出每个取值相应的概率.例例2.12.1：某人骑自行车从学校到火车站，：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过一路上要经过3 3个独立的交通灯，设各个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红灯的概率灯工作独立，且设各灯为红灯的概率为为p，0 0p0,q0)(p+q=1,p0,q0)则称则称X服从参数为服从参数为p的的0-1分布，或两点分布分布，或两点分布.若若X的分布律为：的分布律为：一、一、01分布分布15记为记为 0 1( )(1, )XpBp或1()(1),0,1.kkP Xkppk它的分布律还可以写为它的分布律还可以写为对于一个随机试验
4、，如果它的样本空间只对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即包含两个元素，即 ，我们总能，我们总能在在S S上定义一个服从上定义一个服从（0 01 1）分布）分布的随机的随机变量。变量。 12 ,Se e120,( )1,.eXX ee当e当e来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。 17检查产品的质量是否合格，对新生婴儿检查产品的质量是否合格，对新生婴儿的性别进行登记，检验种子是否发芽以的性别进行登记，检验种子是否发芽以及前面多次讨论过的及前面多次讨论过的“抛硬币抛硬币”试验都试验都可以用可以用（0 01 1）分布）分布的随机变量来描述的随机变量来描述 。一个随机试验
5、一个随机试验,设设A是一随机事件是一随机事件,且且P(A)=p,(0p1).若仅考虑事件若仅考虑事件A发生与否发生与否, 定义一个服从参数为定义一个服从参数为p的的0-1分布的随机变分布的随机变量量:1,A,0,AA.若 发生若 不发生(即 发生)X来描述这个随机试验的结果。来描述这个随机试验的结果。只有两个只有两个可能结果的试验，称为可能结果的试验，称为Bernoulli试验。试验。 19二、二项分布二、二项分布即每次试验结果即每次试验结果互不影响互不影响在相同条件下在相同条件下重复进行重复进行n n重贝努利试验：设试验重贝努利试验：设试验E E只有两个可能的只有两个可能的结果：结果： ,p
6、(A)=p,0p1,p(A)=p,0p1,将将E E独立独立地地重重复复进行进行n n次，则称这一串次，则称这一串的的试验为试验为n n重重贝努利试验贝努利试验。A与An独立重复地抛独立重复地抛n n次硬币，每次只有两个可能的次硬币，每次只有两个可能的结果结果: :正面，反面正面，反面，,A A1 2P出现正面 1 6P A n将一颗骰子抛将一颗骰子抛n次，设次，设A=得到得到1点点，则每次，则每次试验只有两个结果：试验只有两个结果：21如果是不放回抽样呢？如果是不放回抽样呢？,A A 1 2P A 从从5252张牌中张牌中有放回有放回地取地取n n次，设次，设A=A=取到红取到红牌牌 ，则每
7、次只有两个结果：，则每次只有两个结果：22设设A A在在n n重贝努利试验中发生重贝努利试验中发生X X次，则次，则()(1) 01kkn knP XkC ppkn， ， ，()XB np，0 1() 1nnkkn knkpqC p qqp 注：其中并称并称X服从参数为服从参数为p的的二项分布二项分布，记，记3123(0)()(1)P XP A A Ap3123(3)()P XP A A Ap223 21231231233(2)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp113 11231231233(1)()(1)P XP A A AA A AA A AC pp ()(1),0
8、,1,2,kkn knP XkC ppkn一般推导：以n=3为例,设Ai i= 第i次A发生 例例2.32.3：有一大批产品，其验收方案如：有一大批产品，其验收方案如下：先作第一次检验下：先作第一次检验, ,从中任取从中任取1010件，件，经检验无次品接受这批产品，次品数经检验无次品接受这批产品，次品数大于大于2 2拒收；否则作第二次检验，从中拒收；否则作第二次检验，从中任取任取5 5件，仅当件，仅当5 5件中无次品便接受这件中无次品便接受这批产品，设产品的次品率为批产品，设产品的次品率为p p求这批求这批产品能被接受的概率产品能被接受的概率. .25(0)(12Y0)且 P XPX(0)(1
9、2)(0)P XPXP Y109285(1)10 (1)45(1) (1)pppppp()P A(0)( (1)(2)(0)P XP XP XP Y解：设解：设A=A=接受该批产品接受该批产品 。 设设X X为第一次抽得为第一次抽得的次品数，的次品数，Y Y为第为第2 2次抽得的次品数次抽得的次品数. .则则X XB(10,p)B(10,p)，Y YB(5,p)B(5,p)，且，且X=iX=i与与Y=jY=j独立。独立。26,0.51.21211ppkkkkk甲甲和和乙乙比比赛赛, ,甲甲的的实实力力更更强强一一点点. .每每一一局局甲甲赢赢的的概概率率为为 这这里里 设设各各局局胜胜负负相相
10、互互独独立立. .设设 是是一一正正整整数数. .问问：对对甲甲而而言言，局局 胜胜例例2 2. .4 4制制有有利利还还是是局局：胜胜制制有有利利？27( , )nnXnXB n p令令表表示示前前 局局甲甲赢赢的的局局数数, ,则则解解：21kwkk令令 表表示示局局 胜胜制制中中最最终终甲甲赢赢的的概概率率. .21().1.kkwP Xkqp 则则令令121(1)kkwP Xk由由全全概概率率公公式式：212121210() (1|)kkkkiP Xi P XkXi282212120;2;1(1|)1;1;1kkikpikP XkXiqikik=221212121(1) (1) ()(
11、1)kkkkwp P Xkq P XkP Xk 222121(1)()kkkwp P Xkq P Xk 211212121kkkkkkkkkwp Cpqq Cp q121()kkkkkkwCp q p qw211kk对对甲甲而而言言，局局胜胜制制更更有有利利29 例例2.52.5：设随机变量：设随机变量(100, 0.05),XB(10)(10)P XP X求和101010010000(10)()0.05 0.95kkkkkP XP XkC解：101010010000(10)()0.05 0.95kkkkkP XP XkC解：使用使用Excel表单：表单：在任一单元格中输入在任一单元格中输入“
12、=BINOM.DIST(10,100,0.05,TRUE)”，点点“确定确定”后，在单元格中出现后，在单元格中出现“0.988528”.这里这里“TRUE” 可用可用“1”代替代替.计算计算P(X=10)，在任一单元格中输入在任一单元格中输入“=BINOM.DIST(10,100,0.05, FALSE)”，点点“确定确定”后，在单元格中出现后，在单元格中出现“0.016715884”.这里这里“FALSE” 可用可用“0”代替代替.三三. .泊松分布泊松分布(Poisson(Poisson分布分布) )() 0,1,2, 0!，keP Xkkk( )XP若随机变量若随机变量X的概率分布律为的
13、概率分布律为称称X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布，记，记32(1)(2)0.98设设一一个个互互联联网网服服务务器器有有3 3个个调调制制解解调调器器. .每每个个与与服服务务器器连连接接的的用用户户需需要要一一个个调调制制解解调调器器. .设设用用户户个个数数服服从从参参数数为为2 2的的泊泊松松分分布布. .计计算算调调制制解解调调器器不不够够用用的的概概率率？如如果果要要使使得得调调制制解解调调器器够够用用的的概概率率达达到到以以上上, ,至至少少需需要要多多少少个个调调制制例例2 2. .6 6：解解调调器器？33(2)XXP用用 表表示示用用户户个个数数, ,则则解解：.
14、.(1)(), ( )().ipP Xi F iP Xi令令23222(1 2)0.85712!3!e (2) (3)0.98F(3)1(3)0.1429P XF 所所求求概概率率为为42420.09024!pe4(4)(3)0.94730.98FFp0123(3)Fpppp则则52520.03615!pe5(5)(4)0.98340.98FFp所所以以至至少少需需5 5个个调调制制解解调调器器. .34(4.8) XP，求求(1)(1)随机观察随机观察1 1个单位时间，至少有个单位时间，至少有3 3人候车人候车的概率；的概率； (2) (2)随机独立观察随机独立观察5 5个单位时间，恰有个单
15、位时间，恰有4 4个个单位时间至少有单位时间至少有3 3人候车的概率。人候车的概率。例例2.7：设某汽车停靠站单位时间内候车人数：设某汽车停靠站单位时间内候车人数 35 1 (3)1(0)(1)(2)P XP XP XP X 解： 4452 53(5,),(3)0.8580(4)(1)0.7696.YYBppP XP YC pp设 个单位时间内有 个单位时间是“至少有 人候车”，则其中，于是24.84.81(14.8)0.85802!e 10,0.1 , 1, kn kkknnpeC ppnpk二项分布与泊松分布有以下 近似公式：当时其中！37 !1!()!1kn kn kkknnk nknn
16、C pp事实上，(1).(1)11!nkkkn nnknnknkek！(1).(1)1 111knkn nnknennn因为当 充分大和适当的 时，(1).(1)1 111knkn nnknennn因为当 充分大和适当的 时，38 例例2.82.8：某地区一个月内每：某地区一个月内每200200个成年人中个成年人中有有1 1个会患上某种疾病，设各人是否患病相个会患上某种疾病，设各人是否患病相互独立。若该地区一社区有互独立。若该地区一社区有10001000个成年人，个成年人，求某月内该社区至少有求某月内该社区至少有3 3人患病的概率。人患病的概率。1000 (1000, ),1/200 (3)1
17、(0)(1)(2)0.8760XXBppP XP XP XP X 解：设该社区人中有 个人患病，则其中55255,55(3)10.87530!1!2!eeeP X 利用泊松分布进行近似计算，取1000 (1000, ),1/200 (3)1(0)(1)(2)0.8760XXBppP XP XP XP X 解：设该社区人中有 个人患病，则其中1000 (1000,),1/ 200 (3)1(0)(1)(2)0.8760XXBppP XP XP XP X解：设该社区人中有个人患病，则其中40(3)1(2)0.875347981.P XP X 泊松分布使用泊松分布使用Excel表单：表单：在在Exc
18、el的任一单元格输入的任一单元格输入“=POISSON.DIST(2,5,1)”，回车，回车，就在单元格中出现就在单元格中出现“0.124652019”.称称X X服从服从超几何分布超几何分布11212(),1,., ,max(0,),min( , ).kn kabnNC CP Xkkl llClnbla n其中，超几何分布超几何分布若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为42例：一袋中有例：一袋中有a a个白球，个白球，b b个红球，个红球，a ab bN,N,从中不放回地取从中不放回地取n n个球，设每次取到各球的个球，设每次取到各球的概率相等，以概率相等，以X X表示取到的白球
19、数，则表示取到的白球数，则X X服从服从超几何分布。超几何分布。 称称X X服从服从参数p的几何分布几何分布1()(1),1,2,3,.,01.kP Xkppkp几何分布几何分布若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为44 例：从生产线上随机抽产品进行检测，设例：从生产线上随机抽产品进行检测，设产品的次品率为产品的次品率为p p，0p10p1，若查到一只次，若查到一只次品就得停机检修，设停机时已检测到品就得停机检修，设停机时已检测到X X只产只产品，则品，则X X服从参数服从参数p p的的几何分布。几何分布。称称X X服从参数为服从参数为(r,p)(r,p)的的巴斯卡分布巴斯卡分布.
20、 .11()(1),1,2,.,01.rrk rkP XkCppkr rrrp其中 为正整数，巴斯卡分布巴斯卡分布若随机变量若随机变量X的概率分布律为的概率分布律为46 例：独立重复地进行试验，每次试验的结果例：独立重复地进行试验，每次试验的结果为成功或失败，每次试验中成功的概率均为为成功或失败，每次试验中成功的概率均为p p，0p1,0p0为常数，则称为常数，则称X X服从参数为服从参数为的的指数指数分布分布。记为。记为 0( )0 0 xexf xx( )( )XExpXE或定义：设定义：设X的密度函数为的密度函数为731 0( )0 0 xexF xx 0000,0,(|)ttP Xtt
21、 Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P XtX X具有如下的具有如下的无记忆性无记忆性：0000,0,(|)ttP XttXt0, (|)()sP Xs t XsP Xt 指指数数分分布布的的无无 忆忆何何性性任任记记对对：74XsXs 在在的的条条件件下下，仍仍然然服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布X如如果果 表表示示等等待待时时间间, ,那那么么无无记记忆忆性性说说明明只只要要还还没没等等到到，那那么么剩剩余余等等待待时时间间仍仍然然服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布. .X如如果果 表表示示元元件件寿寿命命, ,那那么么无无记记忆忆性
22、性说说明明只只要要还还没没坏坏掉掉，那那么么剩剩余余寿寿命命仍仍然然服服从从参参数数为为 的的指指数数分分布布. . tN ttTT例例4.44.4：某某大大型型设设备备在在任任何何长长度度为为 的的区区间间内内 发发生生故故障障的的次次数数服服从从参参数数为为 的的PoissonPoisson分分布布，记记设设备备无无故故障障运运行行的的时时间间为为 . . 1 1 求求 的的概概率率分分布布函函数数； 2 2 已已知知设设备备无无故故障障运运行行1010个个小小时时， 求求再再无无故故障障运运行行8 8个个小小时时的的概概率率。76 / !, 0,1,2,ktP N tketkk解： 1
23、00当时，TtFt TFtP Tt 0( )1TtFtP N t当时， 8182 18|10810P TP TTeP TP T 101tP N te77定义：设定义：设X的概率密度函数为的概率密度函数为22()21( ) 2xf xex ， 其中其中 为常数，称为常数，称X服从服从参数为参数为 的的正态分布正态分布(GaussGauss分布分布)，记为记为2(,)XN ,0 , 三、三、正态正态分布分布可以验证：可以验证：( )1f x dx+ ( )f x dx2212xttedt令2212tedt7922()22xyIedxdy22200rdredr2I( )1f x dx22 tIedt
24、记max1 ( )12 ( )23 ( )0关于对称xf xxfflimf x22()221( ) 2( ,):， xf xexXN正态概率密度函数正态概率密度函数 22()21( ) 2xf xex，,( ),;f xx当固定改变的大小时图形的形状不变 只是沿着轴作平移变换,( ),.f x当固定改变的大小时图形的对称轴不变 而形状在改变越小图形越高越瘦越大图形越矮越胖称称为位置参数为位置参数( (决定对称轴位置决定对称轴位置) ) 为尺度参数为尺度参数( (决定曲线分散性决定曲线分散性) )2( ,)XN 0 fx1x55nX X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。的取值呈中间多，两头少，
25、对称的特性。n当固定当固定时，时，越大，曲线的峰越低，落越大，曲线的峰越低，落在在附近的概率越小，取值就越分散，即附近的概率越小，取值就越分散，即是反映是反映X X的取值分散性的一个指标。的取值分散性的一个指标。 n在自然现象和社会现象中，大量随机变量在自然现象和社会现象中，大量随机变量服从或近似服从正态分布。服从或近似服从正态分布。正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算texFxtd21)(222)( xXP ? (0 1) 若， ，称 服从标准正态分布ZNZ 221 2xZxe的概率密度：221 ( )2txZxedt的分布函数： 1xx ()x ( )yxx0y( )xx2 ( ,)
26、XN 当时()()bP Xb ()P Xb （作变换：）xt22()212xbedx2212btedt2X( ,),(0,1)事实上，当有 NXN2 ( ,) XN 当时 例4.5：2( ,)XN ()()()() () (1)( 1)2 (1) 10.6826 P XPXXP(2 )2 (2) 10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 99.74%3268.26%2395.44%例例4.64.6 用天平称一实际重量为用天平称一实际重量为 的物体，天平的物体，天平的读数为随机变量的读数为随机变量 ，设，设 时，时，（1 1）求读数与）求读数与 的误差小于的误差小于0.00
27、50.005的概率；的概率；（2 2）求读数至少比）求读数至少比 多多0.00850.0085的概率。的概率。2( , 0.01 )XN aXaaa91 (0.005)P Xa解：(1)2 0.6915 10.3830 查附表=0.0050.005()()0.010.01 2 (0.5) 1 (0.0085)1(0.85)1 0.80230.1977.P Xa (2) (0.0085)1(0.85)1 0.80230.1977.P Xa (2)92(0.0085)P XaExcelExcel注：计算使用表单：在表单的任一单元格输入.(0.0085, 0, 0.01,1)NORM DIST“”,
28、0.802337508.点击“确定”即在单元格中出现例例4.7. 4.7. 一批钢材一批钢材( (线材线材) )长度长度(1)(1)若若=100=100，=2=2，求这批钢材长度小于，求这批钢材长度小于97.8cm97.8cm的概率；的概率；(2)(2)若若=100=100，要使这批钢材的长度至少有，要使这批钢材的长度至少有90%90%落在区间落在区间(97,103)(97,103)内，问内，问至多取何值？至多取何值？2() ( ,)X cmN 94 (97.8)P X 解：(1)10097.8 100()22XP1(1.1) 1 0.86430.1357查附表= 9710390%(2) 需：
29、PX103 10097 1003 ()()2 () 190% 即3()0.95 31.6451.823797.8 100()2 例例4.8：设一天中经过一高速公路某一入口的重：设一天中经过一高速公路某一入口的重型车辆数型车辆数X近似服从近似服从 ，已知有，已知有25的的天数超过天数超过400辆，有辆，有33的天数不到的天数不到350辆，求辆，求2( ,)N ,. 96 (400)0.25,(350)0.33P XP X解：已知400400 (400)1()(),( 0.675)0.25,P X 而350(350)(),( 0.440)0.33,P X 4000.675369.735044.80
30、.440 于是97 例例4.9：一银行服务需要等待，设等待时间一银行服务需要等待，设等待时间X（分钟）的密度函数为（分钟）的密度函数为101,0( )100,0 xexf xx某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先某人进了银行，且打算过会儿去办另一件事，于是先等待，如果超过等待，如果超过15分钟还没有等到服务就离开，设他分钟还没有等到服务就离开，设他实际的等待时间为实际的等待时间为Y，(1)求求Y的分布函数的分布函数;(2)问问Y是离是离散型随机变量吗？连续型随机变量吗？散型随机变量吗？连续型随机变量吗？100,0( )()1,0151,15yyF yP Yyeyy解：(1)1.50,
31、15150YP YeY(2) 的取值范围为，故不是离散型随机变量；又，因此 也不是连续型随机变量。5 5 随机变量函数随机变量函数的的分布分布2(,)XN ，例如，若要测量一个圆的面积，总是测量其半径，半径的测量值可看作随机变量X，若 则Y服从什么分布？问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。Xp0.2-1010.5 0.3例例5.1 5.1 已知已知X具有分布律具有分布律 且设且设Y=X2 2，求，求Y的概率分布。的概率分布。101(0)P Y (0)0.5P X(1)P Y (1)(1)PXX (1)(1)0.5P XP X 即找出即找出(Y=0)(Y=0)的
32、等价事件的等价事件(X=0)(X=0)；(Y=1)(Y=1)的等价事件的等价事件(X=1)(X=1)与与(X=-1)(X=-1)的和事件的和事件解：Y的所有可能取值为0,1例例5.25.2：设随机变量：设随机变量X X具有概率密度具有概率密度, 04( )80, Xxxfx其他求求 的概率密度函数的概率密度函数。2Y = X1032( )YFyP YyPXy 0( )0;YyFy当时， 16 ( )1YyFy当时，( ) ( )XYFxFy，解：分记X,Y的分布函数为104 016 y当时,( )0YFyPXy0816ytydt1, 016( )160, Yyfy其他Y Y在区间在区间(0,1
33、6)(0,16)上均匀分布。上均匀分布。 一般，若已知一般，若已知X X的概率分布，的概率分布，Y=g(X)Y=g(X)，求，求Y Y的的概率分布的过程为：概率分布的过程为：12 ,(),()();jjiYYy yyYyXDP YyP XD1. 若 为离散量，则先写出 的可能取值：再找出的等价 事件得2. ( )() (), ( )()( )YYYYYFyP YyYyXDFyP XDYfy若 为连续量，则先写出 的概率分布函数：，找出的等价事件得；再求出 的概率密度函数；关键是找出等价事件关键是找出等价事件。106,1( )(),( )()( )( ).YYYYYYYF yP YyYyXDF
34、yP XDF yYfy 若若 为为连连续续型型随随机机变变量量则则（）确确定定 的的取取值值范范围围；（2 2) )写写出出 的的分分布布函函数数：，找找出出的的等等价价事事件件得得；（3 3) )对对求求导导得得 的的概概率率密密度度函函数数( ( )( ( ) ( )XXd F h yfh y h ydy注注意意常常用用到到复复合合函函数数求求导导：例例5.3 5.3 设随机变量设随机变量X的分布律如下表的分布律如下表 Y=2X+1, ,Z=X2 2, ,求求Y,Z的概率分布律的概率分布律. .16X-1101313216p108解：解：Y的可能取值为的可能取值为- -1 1, ,1,31
35、,3, ,5,5, Z的可能取值为的可能取值为0,10,1,4,4,( (Y=-=-1 1) )的等价事件为的等价事件为( (X=-1)=-1)( (Z=1)=1)的等价事件为的等价事件为( (X=1)(=1)(X=-1)=-1)故得故得：16Z01p1341216Y-1311313516p2( ),( ),( ).XYZXfxYXZXfyfz例5.4.设随机变量 具有密度函数分别求的概率密度函数110, ,( ),( ),( ).XYZX Y ZFx Fy Fz解：分别记的分布函数为0,( )0.0,( )( )().YYXXyFyyFyP YyP XyFyFy当时当时( )(),0( )1
36、0,0XXYfyfyyfyy（）0,( )0.0,ZzFzz同理，当时当时1()(),0( )220,0.XXZfzfzzfzzz（ ）()()XXPzXzFzFz2( )ZFzP ZzP Xz例例5.5 设设XU(-1, 2)，求，求 的概率密度函数的概率密度函数( ).YYXfy1131/3,12( )0,XxXfx 解： 的密度函数为其它5.4( )(),0( )0,0XXYYXfyfyyfyy由例得的概率密度函数为112,01,01333110,12,12330,0,yyyy其它其它114例例5.6 设设XN(0, 1)，求，求 的概率密度函数的概率密度函数2( ).ZZXfz221(
37、 ),2xXXfxex解： 的密度函数为21Z此时称 服从自由度为 的分布。25.4ZX由例得的概率密度函数为1221,020,0.zzezz1()(),0( )20,0.XXZfzfzzfzzz(), ()( )0() ()( )( )ggg xggh yxyg x其中， 当时，( )( )0 ( )0).(2.5.1) XXfxg xg xYg XY设，或， 则 具有概率密度定理：函数为：( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他的反函数是的取值范围，是这里g),(hYxh(y),yy0y=g(x)y117( )0,g x 证明：不妨设( )0h y 且： g x则为
38、单调增函数, ( )0 ( )1YYyF yyF y显然，当时，；当时，； y当时，( )()YFyP Yy( ()P g Xy( )P Xh y( ( )XFh y ( )0 ( ) 1YYyF yyF y显然，当时，；当时，；( )( ( ) ( )( ( )( )YXXfyfh y h yfh yh y( )0 g x 同理可证：当时，定理为真118例例5.7 设设 求求 的概率密度函数的概率密度函数.( )YYfy2( ,) (0)XNYaXb a ，( )yg xaxb ， ( )0g xa ，( )ybxh ya1( )()YXybfyfaa222()212yabaea解：解：22
39、()11exp22ybaa22(,)YN ab a120222( ,) (,)XNYaXbYN ab a 若，例例5.8 设设 求求 的概率密度函数的概率密度函数(/ 2,/ 2),sin,(. )YXUYXYfy122sin( )(/2,/2)YXyg x解：对应的函数在且有反函数上恒有, 0cos)( xxg21/1)( ,arcsin)(yyhyyhx)(xfX其它,022,1xX的概率密度函数为123sinYX由定理得的密度函数为)(yfY其它,011,1112yy1245.9sin,(0, )( ).YYX XUfy例，求sin001,( )()sin)YYXyFyP YyPXy解：
40、在（ ， ）不单调，所以不能应用定理。对2arcsin yxysin xarcsin yarcsin y12522, 0 1,1( ) 0, Yyyfy其他.Y所以 的概率密度函数为：126 5.10( ) ,0,1XEF xXYF XYU例设，为 的分布函数,记试证即均匀分布 . 1,0,( ), 0,0.xexXEF xx 解：由分布函数2.5.101,11( )expln(1)1(1)Yyfyyy由定理，当时，0,( )1xxyF xe 当时(0,1)单调增，1d1( )(1)Fydyy，11( )ln(1)xFyy 反函数， 0,1 .YU更一般的结果见书中例更一般的结果见书中例2.5.6.课件待续!
