1、第一章第一章 函数函数 极限与连续极限与连续1.1 1.1 集合集合一、概念一、概念具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的集合里的每一个事物称为集合的集合里的每一个事物称为集合的元素元素.总体，称为总体，称为集合集合. .2320.xx例1 方程的根例1 方程的根有限集合有限集合,;xAxA 若某个元素 属于集合则记作若某个元素 属于集合则记作,.xAxA 若某个元素 不属于集合则记作若某个元素 不属于集合则记作.N例4全体自然数. 常记为例4全体自然数. 常记为例2全体实数.例2全体实数.R常记为常记为.R 例3全体正实数. 常记为例3全体正实数.
2、常记为无限集合无限集合 24.RN 例如：，例如：，二、集合的表示法二、集合的表示法1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号括起来.并用花括号括起来. , , ,1,2 .Aa b c dB例如：，例如：， 2.P aa描述法：设为某个与 有关的条件或描述法：设为某个与 有关的条件或 AP aa法则， 为满足的一切 构成的集合，法则， 为满足的一切 构成的集合， .Aa P a 则记为则记为 21,Ax xnnN例如例如 2320Bx xx 1,2 . 表示集合与集合之间关系的图形称为表示集合与集合之间关系的图形称为文氏图.文氏图.三、全集与空
3、集三、全集与空集由所研究的所有对象构成的集合称为由所研究的所有对象构成的集合称为全集全集，.U记为记为,. 不含任何元素的集合称不含任何元素的集合称空集 记作空集 记作为为 210,x xxR例如:例如:，AB如果集合 的任一元素都是集合 的元素如果集合 的任一元素都是集合 的元素AB称称 是是则则的子集.的子集.四、子集四、子集. ,.ABBA记作或记作或ABABBA若 与 互为子集，即，且，则称若 与 互为子集，即，且，则称集合集合,.ABABBA与 相等 记作或与 相等 记作或.AA 空集为任意集合 的子集，即空集为任意集合 的子集，即五、集合的运算五、集合的运算 ;ABx xAxB 且
4、且交集:交集:AB ;ABx xAxB 或或并集:并集: 51,2,4,62,4,7 .AB例设，例设， 1,2,3,4,6,7 ,AB 则则 2,4 .AB 6120 .AxxBx x例设，例设， 1ABx x 则，则， 02 .ABxx 7125 .Ax xBxx例设，例设， 1,25 ,ABx xx 则或则或.AB AB .ABx xAxB且且差集:差集:AB 81,2,4,62,4,7 .AB例设，例设， 1,6 ,AB则则 7 .BA .Ax xUxA 且且补集：补集：AA .AAUAA 显然，显然，,ABxAyB设 与 是两个非空集合所有设 与 是两个非空集合所有 ,x yA二元有
5、序元素组构成的集合，称为 与二元有序元素组构成的集合，称为 与,ABB 笛卡尔乘积 记作笛卡尔乘积 记作的即的即 91,2,3 ,2,3 .AB例设例设 1,2 , 1,3 , 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3AB则则 2,2 , 2,3 , 3,2 , 3,3BB ,.ABx y xA yB六、集合的笛卡尔乘积六、集合的笛卡尔乘积 ,RRx y xR yRxoy 表示平面上表示平面上2,.RRR 所有点的集合常记作所有点的集合常记作N-自然数集自然数集Z-整数集整数集Q-有理数集有理数集R-实数集实数集1.1.2 数集数集一、概念一、概念.元素全部是数的集称为元素全部是数的集称为数
6、集数集合合二、逻辑量词二、逻辑量词：或对所有的或对所有的: 表示存在表示存在: 表示对每一个或对任意的表示对每一个或对任意的nN 例如：，例如：，三、绝对值三、绝对值00 xxxRxxx ，.xR 10,.xxx性质：性质： 2.xxx 23.xx 40,ax xaxaxa若，则若，则 .x xax xax xa 5,.xyxyxyxy 6,0 .xxxyxyyyy三、区间三、区间区间区间: : 是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的全体实数. .,.a bRab 且且x axb称为开区间称为开区间, ,( , ).a b记作记作oxab这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做
7、区间的端点. .x axb称为闭区间称为闭区间, , .a b记作记作x axb称为半开区间称为半开区间, , , ).a b记作记作x axb称为半开区间称为半开区间, ,( , .a b记作记作 ,)ax ax (, )bx xb oxaoxb无限区间无限区间有限区间有限区间ab四、邻域四、邻域: :0,0.x 设 与 是两个实数且设 与 是两个实数且0,x邻邻点点做做域域的的中中心心叫叫. 邻邻域域做做的的半半径径叫叫 0,U x 0 ,U x 记作记作0,x 点点 的的去去心心的的 邻邻域域 00 ,0.U xxxx00,xxxx 数集称为数集称为点 的 邻域点 的 邻域 xx00 x
8、 0 x 00.x xxx1. .3 函数函数D定义：若 是一个非空实数集合，设有一个定义：若 是一个非空实数集合，设有一个fxD 对应规则 ，使每一个，都有一个确定对应规则 ，使每一个，都有一个确定yfD的实数 与之对应，则称为定义在 上的一的实数 与之对应，则称为定义在 上的一yx.个函数，或称变量 是变量 的函数个函数，或称变量 是变量 的函数 yfxxD.记作，记作，xy称为自变量， 称为因变量.称为自变量， 称为因变量. DD f .集合 称为函数的定义域，也可以记作集合 称为函数的定义域，也可以记作 000,xD fxy 当时 与对应的数值称为函数当时 与对应的数值称为函数 000
9、,yfxxxyfx在处的函数值 记作在处的函数值 记作00.x xyy 或或 ,Zfy yfxxD f全体函数值的集合全体函数值的集合.称为函数的值域称为函数的值域 ,;DRZRfx当时为一元函数当时为一元函数2,DRZRf当时为二元函数当时为二元函数,nDRZRfn当时为 元函数当时为 元函数 12,.nyfx xx 记为记为 12,;yfx x 记为记为函数的两个要素：函数的两个要素：两个函数只要两个函数只要 f 和和 相同，则这两个函数相同，则这两个函数 D f ;D f对应规律对应规律 f ; 定义域定义域必相等必相等.例如例如 1,fxx 与与 22sincos,h xxxx ,.表
10、现形式不同 却是两个相同的函数表现形式不同 却是两个相同的函数定义域是自变量所能取的使算式有意义的一定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值切实数值. .2xyxyx与不是相同的函数，因为定义域不同.与不是相同的函数，因为定义域不同.211525xx 解：解：2111arcsin.525xyx 例求函数的定义域例求函数的定义域155xx 4655xx 45x 4, 5D 即即 lg 32.1xyx 例求函数的定义域例求函数的定义域3010 xx 解解311xxx 或或113xx 或或 , 11,3D 即即32253lg.4xxxye 例求函数的定义域例求函数的定义域2514xx 解解25
11、4xx2540 xx14x 1, 4D 即即 241111.fxxxff afxfffxy 例设，求，例设，求， 1f 解解21111 21f aaa 21111fxxx231xx21111fyyy 2111yy 21ffxfxfx 222111xxxx4321xx定义定义:( , )( ),Cx y yf xxD点集称为点集称为如果自变量在定义域内任取一个数值时，如果自变量在定义域内任取一个数值时，22yx 例如：例如：( ).yf x 函数的图形函数的图形对应的函数值总是只有一个，叫做对应的函数值总是只有一个，叫做单值函数单值函数，否则叫做否则叫做多值函数多值函数221,0,( )1,0
12、xxf xxx 例如例如在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, , 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数, ,称为称为分段函数分段函数. . ,D 22025( )241 ,2 ,3 ,1 .xxf xxxDffffx 例设，例设，求 及求 及 0,22,4D 解解 21201211214xxfxxx 2113135xxxx 0,4 1123,f 2224,f 2339f 631 .fxx例用分段函数表示例用分段函数表示解 由绝对值定义知，解 由绝对值定义知，101xx当，即时，当，即时， 11xx 101xx当，即时，当，即时，11xx 311311x
13、xfxxx 2141xxxx ,0F x y 对应规则是用一个方程表示的函数对应规则是用一个方程表示的函数称为称为隐函数.隐函数.2241sin0.xxyxyexy例如：，等例如：，等 ,0,( ),xa bD fMf xM 若有成立若有成立一、函数的有界性一、函数的有界性: : ( ),.f xa b则则称称函函数数在在上上有有界界否否则则称称无无界界abab1. .4 函数的几种简单性质函数的几种简单性质二、函数的单调性二、函数的单调性: : 1212,xxa bD fxx若、当时，若、当时， ( ),;f xa b则则称称函函数数在在区区间间上上是是单单调调增增加加的的12()(),f
14、xf x 恒有恒有ab ( ),f xa b则则称称函函数数在在区区间间上上是是单单调调减减少少的的. .12()(),f xf x 恒有恒有 1212,xxa bD fxx若、当时，若、当时， yfx xyab三、函数的奇偶性三、函数的奇偶性: : ,D fxD f 设关于原点对称若有设关于原点对称若有()( )fxf x ( )f x则称为偶函数.则称为偶函数.偶偶函函数数 ,D fxD 设关于原点对称若有设关于原点对称若有()( )fxf x ( )f x则称为奇函数.则称为奇函数.奇函数奇函数 221cos2132xxxfxxxfxxeefx 例讨论下列函数的奇偶性例讨论下列函数的奇偶
15、性 1fx解解 2cosxx2cosxx fx fx为偶函数为偶函数 2fx 21xx 21xx fx fx为奇函数为奇函数 fx 3 3 2xxee 2xxee 2xxee fx fx为奇函数为奇函数四、函数的周期性四、函数的周期性: : 0yfxafxfxa 设，若，使得设，若，使得 yfx. 恒成立，则称为周期函数恒成立，则称为周期函数a满足这个等式的最小正数 ，称为函数的周期.满足这个等式的最小正数 ，称为函数的周期.1. .5 反函数，复合函数反函数，复合函数一、反函数一、反函数 yfxyZf设，若有一个确定的且满足设，若有一个确定的且满足 yfxxD f的与之对应，其对应规则记作的
16、与之对应，其对应规则记作 11fZfxfy ，这个定义在上的函数称为，这个定义在上的函数称为 yfx. 的反函数，或称它们互为反函数的反函数，或称它们互为反函数 yfx 也称为直接函数.也称为直接函数. 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称. .yx 二、复合函数二、复合函数 ,yf uuxyfx设称是由设称是由,.ux称称为为中中间间变变量量为为自自变变量量sinyx 例如：例如：sin(ln )yx ,.yf uux 复合而成的函数复合而成的函数sin ,;yu ux是由复合而成的函数是由复合而成的函数sin ,ln;yu ux是由复合而成的函数是由复合而
17、成的函数cot2xy ,yu cot ,uv .2xv 21sinxye ,uye 2,uv sin,vw 1.wx 一、基本初等函数一、基本初等函数 log1,0 ,ayxaa三角函数和反三角函数三角函数和反三角函数.二、初等函数二、初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次yC ，xya ，的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数复合步骤所构成，并可用一个式子表示的函数，称为的函数，称为初等函数初等函数.1. .6 初等函数初等函数yx ，双曲函数常用公式双曲函数常用公式();sh xyshxchychxshy();ch xychxchyshxshy221 ;ch xsh x22;sh xshxchx 222.ch xch xsh x 2.2.反双曲函数反双曲函数奇函数奇函数, ,: (,)D (,).在内单调增加在内单调增加sh;yarx 反反双双曲曲正正弦弦shyarx 2ln(1).xx1,).在内单调增加在内单调增加: 1,)D2chln(1 ).yarxxx chyarx 反双曲余弦反双曲余弦chyarx 11ln.21xx : ( 1,1)D 奇函数奇函数, ,( 1,1). 在内单调增加在内单调增加thyarx 反双曲正切反双曲正切yarthx yarthx
