1、微积分初步微积分初步导数可应用于求各种变化率，如求变速直线运动的速度、加速度、切线的斜率，经济的边际等问题。介绍微分的概念及应用。介绍积分的概念及应用。1ppt课件1、导数的定义：、导数的定义： 一般地，函数一般地，函数y=f（x）在）在x=x0处的瞬时变化率是：处的瞬时变化率是：我们称它为函数我们称它为函数y=f(x)在在x=x0处的导数（处的导数（derivative），），记作记作 或或 ，即，即000000000()()()()limlimlim.()xxxf xxf xf xxf xfxxxxx 0()fx0|x xy0000()()()lim.xf xxf xfxx 2、 根据导数
2、的定义，求函数根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的的导数的三个步骤：三个步骤： 2.算比值：算比值： xxfxxfxy)()( 1.求增量：求增量： 3.取极限取极限： xxfxxfxyyxx)()(limlim00)()(xfxxfy导数的计算导数的计算2ppt课件解解：（1）求增量）求增量：0)()(ccxfxxfy0 xy（2） 算比值：算比值： （3）取极限：）取极限：这就是说，常数的导数等于零这就是说，常数的导数等于零1 、求函数、求函数 ( c 是常数是常数)的导数。的导数。cy 下面我们求几个常用函数的导数。下面我们求几个常用函数的导数。0lim0 xyyx2 、求函数
3、、求函数 的导数。的导数。yx00limlim11.xxyyx 解解：()( )1,yf xxf xxxxxxx 3ppt课件在同一平面直角坐标系中，画出函数在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图的图象，从图象上看，它们的导数分别表示什么？象，从图象上看，它们的导数分别表示什么？( )f xkx函数的导函数为：yxO( )()fxkxk4ppt课件3、 函数函数 的导数的导数 ,)(2xxfy 解：解：222()( )()2()2yf xxf xxxxxxxxxxxxx ，00( )limlim(2)2 .xxyf xxxxx 4、 函数函数 的导数的导数 1( )
4、,yf xx11()( )1()yf xxf xxxxxxxx xx， 解：解：20011( )limlim.()xxyf xxx xxx 5ppt课件一般地，可以证明幂函数一般地，可以证明幂函数 ( 是任意实数）的导数公式为是任意实数）的导数公式为xy1()xnx221(1)yxx2332()2yxxx12(2)yx xxxxy2121)(121216ppt课件常数的导数等于零常数的导数等于零1 、求函数、求函数 ( c 是常数是常数)的导数。的导数。cy 下面我们求几个常用函数的导数。下面我们求几个常用函数的导数。0lim0 xyyx2 、求函数、求函数 的导数。的导数。yx00limli
5、m11.xxyyx ( )f xkx函数的导函数为： ( )().fxkxk3 函数函数 的导数的导数 ,)(2xxfy00( )limlim(2)2 .xxyf xxxxx 一般地，可以证明幂函数一般地，可以证明幂函数 ( 是任意实数）是任意实数）的导数公式为的导数公式为xy(x ) = x -14 函数函数 的导数的导数 1( ),yf xx20011( )limlim.()xxyf xxx xxx 7ppt课件基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式1( ),( )f xcfx、若则0;*2( )(),( )nf xxnNfx、若则1;nnx3( )sin ,( )f xxfx、若则
6、4( )cos ,( )f xxfx、若则5( ),( )xf xafx、若则6( ),( )xf xefx、若则7( )log,( )af xxfx、若则8( )ln ,( )f xxfx、若则cos ; xsin ; xln (0);xaa a ;xe1(0,1);lnaaxa且1.x8ppt课件可以帮助我们解决两个函数加、可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题。减、乘、除的求导问题。1 ( )( )( )( );f xg xfxgx、导数运算法则导数运算法则2 ( )( )( ) ( )( )( );f xg xfx g xf x gx、2( )( ) ( )( )( )3 (
7、 ( )0).( ) ( )f xfx g xf x gxg xg xg x、9ppt课件 2、熟记熟记运算法则运算法则 （1） （C)=0（2）1)(xx( 3)xxcos)(sin（4） xxsin)(cosaxxaln1)(log（7） xx1)(ln（8） （5） ()lnxxaaa（6） ()xxee21. ( )2.()3.()4.( )A uAuuvuvuvu vuvuu vuvvv1、熟记以下导数公式：、熟记以下导数公式：10ppt课件利用函数的导数来研究函数的极值问题利用函数的导数来研究函数的极值问题: 一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(
8、x0)是是极大极大(小小)值的方法是值的方法是: (1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那那么么,f(x0)是极大值是极大值;, 0)(, 0)( xfxf (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那那么么,f(x0)是极小值是极小值., 0)(, 0)( xfxf说明说明 求函数极值的方法与步骤求函数极值的方法与步骤：)(xf 令0)( xf分区间讨论)( xf 将极值点代入f(x)算出极值。求。，求一阶驻点。的正负号，确定单调区间进而确定极值点。11ppt课件函数的极值函数的极值: :请注意几点请注意几点 (1)极值是一个局部概念极值是一个局部概念.由定义
9、由定义,极值只是某个点极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是也就是说极值与最值是两个不同的概念说极值与最值是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个或定义域内极大值或极小值可以不止一个.12ppt课件 (4)函数的极值点一定出现在区间的内部函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端区间的端点不能成为极值点点不能成为极值点.而使函数取得最大
10、值、最小值的点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部可能在区间的内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个即一个函数的极大值未必大于极小值函数的极大值未必大于极小值,如下图所示如下图所示,x1是极大是极大值点值点,x4是极小值点是极小值点,而而f(x4)f(x1).o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bx xy y)(4xf)(1xf13ppt课件在函数取得极值处在函数取得极值处,如果如果曲线有切线的话曲线有切线的话,则切线则切线是水平的是水平的,从而有从而有 .但反过来不
11、一定但反过来不一定.如函数如函数y=x3,在在x=0处处,曲线的切曲线的切线是水平的线是水平的,但这点的函但这点的函数值既不比它附近的点的数值既不比它附近的点的函数值大函数值大,也不比它附近也不比它附近的点的函数值小的点的函数值小.0)(0 xf14ppt课件二阶导数的应用曲线凹凸区间的判定曲线凹凸区间的判定直观看曲线“往上弯”为凹凹，每点切线在曲线下方；曲线“往下弯”为凸凸，每点切线在曲线上方。xy0 xy0abbay=f(x)y=f(x)a图b图1212a图曲线是凹的,切线的倾斜角 为锐角，且由小变大，tan 是递增的，则表明0)( xf有tan)( xf 递增，反之亦然。这就得到0)(
12、xf有f(x)凹；(b）图同理有0)( xf，f(x)凸。曲线上凹凸的分界点叫做曲线的拐点拐点。凸。的地方，凹；的地方，)(0)()(0)(xfxfxfxf 进一步观察曲线凹凸性与切线的关系进一步观察曲线凹凸性与切线的关系15ppt课件例例1：求下列函数的导数并画出函数的大致图像：求下列函数的导数并画出函数的大致图像：1(1)1xxeyecos(2)sinxxyxx(3)sin ;0, yxx x（4）试证当x0时，有xxxx)1ln(116ppt课件17ppt课件微分：导数的代数应用如果说用导数判定确定函数的单调性、极值、曲线的凹凸性、拐点，是导数在几何上的应用，那么这里“微分微分”则主要是
13、导数在代数上代数上的应用。因为“微分”的主要问题是函数的近似计算如何求一个函数的改变量？微分的概念及思想微分的概念及思想设函数y=f(x)的导数存在，即，由极限的概念令，称它为函数f(x)的微分微分。并记y)(lim0 xfxyxxxfyxfxy)()(，得xxfdy)(xdx dxxfdy)( 18ppt课件例1 求函数的微分解解需要注意需要注意：(1)微分的意义微分的意义由于，说明可以用微分求函数的改变量，即这里越小近似程度越好。dxxdxxdxxfdy236)21 ()(312yxydxxfdy)(dyy x19ppt课件如下图所示：MT是y=f(x)在M点的切线微分，当较小时，可用直线
14、MT来近似曲线MP（或说用三角形MTN近似曲边三角形MPN）。可见，“以直代曲以直代曲”是微分的一个基本思想。是微分的一个基本思想。于是，可顾名思义，把“微分”看作动词，意思为“无限细分”，而把“微分”看作名词，意思为“微小的一部分”。dyxxfNTyNPxf)(,tan)(ydyx(2)微分的思想微分的思想20ppt课件(3) 微分的计算微分的计算由于，因此，“求微分就是求导数求微分就是求导数”（并且在存在的情况下，可微与可导等价）。，可微与可导等价）。于是，由导数公式与法则可直接得到微分的公式与法则，如下表微分基本公式（略）微分基本公式（略）微分四则运算法则微分四则运算法则设u、v是x的可
15、导函数，则dxydy2)()()(vudvvduvududvvduuvddvduvud21ppt课件例2 在下面的括号中以适当的函数填空： 分析例1求微分是通过求，这里对照，则是其逆运算，已知求原来的函数。方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类方法在于熟练掌握导数公式：首先找到类似的求导公式，然后猜察反推和多次试算似的求导公式，然后猜察反推和多次试算。解说明说明：由微分的逆运算求原函数是接下来积分讲的内容，通过求原函数可求不定积分。xdxddxeddxxdxdxdxsin)() 4()() 3 ()() 2()(12）（dyy 求dxydy即dxydyy xdxxddxeeddxxxdxdxxd
16、xxsin)cos() 4()21() 3()32() 2()21(122232）（22ppt课件微分的近似计算微分的近似计算由得到近似公式：xxfxfxxfdyy)()()(0，即xxfxfxxf)()()(000例3 证明近似公式：证明类似地，可以证明当较小时有下面近似公式很小时）（当 xxex1得由公式，取令xxfxfxxfxxxexfx)()()(,0)(0000.1)0()0()0(00 xxeexffxfexx111(2) sin(3) tan(4) ln(1)nxxxxnxxxx（ ）23ppt课件,0时当xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxx
17、n1常用等价无穷小 :)1ln(x,x1xe,x24ppt课件 设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程. 211 2.yx 已已知知曲曲线线方方程程，求求过过点点， 的的切切线线方方程程 sv ts t 已已知知变变速速直直线线运运动动方方程程, ,求求瞬瞬时时速速度度. . sv tst 已已知知瞬瞬时时速速度度, ,求求变变速速直直线线运运动动方方程程. .积积分分学学问问题题：微微分分学学问问题题：25ppt课件微分学:( )( ? )F x 积分学:( ? )( )f x 互逆问题26ppt课件二、 基本积分表不定积分的概念和性质不定积分的概
18、念和性质一、原函数与不定积分的概念三、 不定积分的性质27ppt课件 cos x 1(0),xx ，一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念sincos.xx是是的的一一个个原原函函数数sinxln x定义1（原函数）如果在区间I内,即,xI 都有)()(xfxF 或dxxfxdF)()( )(xF)(xf那么函数就称为dxxf)(或I在区间内原函数.)(xF的导函数为( ),f x可导函数是 在区间 内xlnx1), 0( 的一个原函数.28ppt课件原函数存在定理：即 连续函数一定有原函数.问题：(1) 原函数是否唯一？例 sincosxx xCxcossin （C为任意常数）
19、(2) 若不唯一它们之间有什么联系？)(xfI如果函数在区间内连续，I( ),F x那么在区间内存在可导函数使Ix 都有( )( ).Fxf x 29ppt课件关于原函数的说明：（1）若 ，则对于任意常数C，)()(xfxF （2）若 和 都是 的原函数，)( xF)(xG)( xf则CxGxF )()(（C为任意常数）证（2） )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（C为任意常数）有有无无穷穷多多个个它它们们之之间间相相差差常常数数CxF )()(xf都是的原函数.30ppt课件CxFdxxf )()(被积表达式任意常数积分号被积函数定义2（不定积分）积分
20、变量 在区间I 内，函数 的带有任意常数项的原函数，称为 在区间I内的不定积分,)(xf)(xf记为 dxxf)(原函数31ppt课件例1 求.5dxx 解,656xx .665Cxdxx 解例2 求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx32ppt课件例3 设曲线通过点(1,2), 且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍, 求此曲线方程.解设曲线方程为),(xfy 根据题意知,2xdxdy ,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为. 12 xy)(xfx2即是的一个原函数.33ppt课件由不定积分的定义，可知
21、 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算“.微分运算与求不定积分的运算的关系34ppt课件 xx 11.11Cxdxx 启示能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、二、 基本积分表基本积分表35ppt课件基本积分表(1)kdxkx C (k是常数););1(1)2(1 Cxdxx(3)ln;dxxCx 说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxd
22、x36ppt课件 dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx 37ppt课件 xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 38ppt课件例4 求积分.2dxxx 解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式Cxdxx 11 (3cos )xex dx 3 cosxe dxxdx
23、sinxexC 39ppt课件 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证( )( )f x dxg x dx ( )( )f x dxg x dx).()(xgxf 等式成立.（可推广到有限多个函数之和的情况）三、三、 不定积分的性质不定积分的性质线性性质 dxxkf)()2(.)( dxxfk(0k 为常数）40ppt课件解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为. 6costan xxy)(xfy )(,(xfx2secsin ,xx (0,5),例 已知一曲线在点处的切线斜率为且此曲线与y轴的交
24、点为求此曲线的方程.41ppt课件5.基本积分表(1)4.不定积分的性质（线性性） 1.原函数的概念：)()(xfxF 2.不定积分的概念： CxFdxxf)()(3.求微分与求积分的互逆关系小结小结6.利用积分公式求积分42ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系43ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系44ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，
25、矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系45ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系46ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系47ppt课件48ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系49ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩
26、形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系50ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系51ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系52ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系53ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯
27、形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系54ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系55ppt课件观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系56ppt课件求由连续曲线求由连续曲线y f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取近似求和取近似求和:任取任取x xi xi 1, xi，第，第i个小曲边梯形的面积用个小曲边梯形的面积用高为高为f(x xi)而宽为而宽为 x的小矩形面积的小
28、矩形面积f(x xi) x近似之。近似之。 (3)取极限取极限:，所求曲边所求曲边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xix1lim( )niniSfxx1( )niiSfxx (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间: 每个小区间宽度每个小区间宽度xban 11211,iina xx xxxxb57ppt课件一、定积分的定义一、定积分的定义 11( )( )nniiiibafxfnxx 小矩形面积和
29、S=如果当n时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作 ba (x)dx，即f (x)dx f (x i)xi。 从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极限得到解决.1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即58ppt课件定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x 叫做积分变量，叫做积分变量， a 叫做积分下限
30、，叫做积分下限， b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即Oabxy)(xfy 59ppt课件 baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限60ppt课件 Sbaf (x)dx； 按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为 sbav(t)dt。 定积分的定义：Oab
31、( )vv ttv1( )lim( )ninibaf x dxfnxba即61ppt课件112001( )3Sf x dxx dx根据定积分的定义右边图形的面积为1x yOf(x)=x213S 1SD2SD2( )2v ttO Ov t t12ggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt根据定积分的定义左边图形的面积为62ppt课件baf(x)dx f (t)dt f(u)du。 说明：说明： (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关，它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即而与积分变
32、量的记法无关，即（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3)6363pptppt课件课件(2)定积分的几何意义：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。 当 f(x)0 时，积分dxxfba)(在几何上表示由 y=f (x)、 特别地，当 ab 时，有baf (x)dx0。 64ppt课件 当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x
33、 轴的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲边梯形面积的负值。 定积分的几何意义：积分baf (x)dx 在几何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S65ppt课件三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 性质性质1. 1. dx)x(g)x(fba babadx)x(gdx)x(f性质性质2. 2. badx)x(kf badx)x(fk66ppt课件三三: : 定积分的基本性质定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性质性质3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (x)67ppt课件130.x d x求例例1.14 edxx求求key. 12ln2 key2.0sin.tdt求key1 / 4.68ppt课件
