1、数学史选讲要求数学史选讲要求1.了解古埃及人、古巴比伦人在数学上取得的成果及对数了解古埃及人、古巴比伦人在数学上取得的成果及对数学发展的贡献。学发展的贡献。2.了解了解九章算术九章算术的主要内容，了解其成就和历史意义的主要内容，了解其成就和历史意义3.了解毕达哥拉斯和阿基米德的数学贡献了解毕达哥拉斯和阿基米德的数学贡献4.了解欧几里的数学贡献，了解了解欧几里的数学贡献，了解原本原本的内容及其对后的内容及其对后世数学发展所起的作用世数学发展所起的作用5.了解微积分产生的历史背景，了解牛顿和莱布尼兹在微了解微积分产生的历史背景，了解牛顿和莱布尼兹在微积分方面的工作积分方面的工作6.了解公理化思想以
2、及构成公理体系的基本要求了解公理化思想以及构成公理体系的基本要求目标目标认认 识识 价值价值 开开 阔阔 视视 野野 拓拓 展展 见见 识识 提提 高高 兴兴 趣趣 有关研究表明，近百年来，在数学方面，浙江温州籍教授至少有200人。研究者认为，在同一个城市走出如此众多的数学家和数学研究者，这在中国乃至世界数学史上都是极为罕见的。 温州市温籍数学家群体成因分析课题负责人之一、温州大学数学与信息科学学院副院长杨万铨说，温州是名符其实的“数学家之乡”，不仅数学教授众多，而且其中曾担任过著名大学数学系主任或数学研究所所长职务的多达30多人。温州何以成温州何以成“数学家之乡数学家之乡” 据介绍，在温籍数
3、学家当中，中国现代数学的奠基人之一苏步青及其弟子谷超豪是代表性人物。两人创立并发展了著名的中国微分几何学派。 此外，温州籍的著名数学家还有：被誉为中国现代数学祖师的姜立夫；姜立夫之子，中国科学院院士，曾任北京大学数学学院院长的姜伯驹；新当选的中国科学院院士李邦河；在台湾的徐贤修、项辅辰、杨忠道；曾任东南亚数学会理事长的李秉彝；曾在美国普林斯顿大学和勃克莱加州大学任数学教授的项武忠、项武义兄弟；曾任北京师范大学校长的陆善镇、华东师范大学副校长李锐夫；曾任杭州大学数学系主任的白正国、厦门大学数学系主任的方德植；现任中国计算数学学会副理事长的王兴华等。 中国决策科学研究会会长胡毓达教授说，之所以形成
4、一个庞大的温州籍数学家群体，这与温州的“务实”与“勤恳”的文化传统有着直接的关系。温州人在历史上就以“吃苦耐劳”著称，这种群体性格特征在现代温州商人身上体现尤为明显。而数学家们自然也秉承了这一精神。 温州籍著名数学家温州籍著名数学家v姜立夫姜立夫（18901978），浙江平阳人。），浙江平阳人。1918年获哈佛大学博士学位。年获哈佛大学博士学位。1919年南开大学成立，次年南开大学成立，次年，姜立夫到南开大学任教，是南开大学数学系唯一年，姜立夫到南开大学任教，是南开大学数学系唯一的台柱。他逐年根据学生情况轮流开设各门主要课程，的台柱。他逐年根据学生情况轮流开设各门主要课程，由于他的博学多才，使
5、南开大学能保证较高的教学质由于他的博学多才，使南开大学能保证较高的教学质量，培养了一批我国数学界的卓越人才，如刘晋年、量，培养了一批我国数学界的卓越人才，如刘晋年、江泽涵、陈省身、孙本旺、吴大任等。抗日战争期间，江泽涵、陈省身、孙本旺、吴大任等。抗日战争期间，他任教于西南联大，抗战胜利后，被委任为当时的中他任教于西南联大，抗战胜利后，被委任为当时的中央研究院数学研究所所长。央研究院数学研究所所长。1949年，姜立夫被迫将年，姜立夫被迫将数学研究所的图书运往台湾，不久，他摆脱羁绊毅然数学研究所的图书运往台湾，不久，他摆脱羁绊毅然回到祖国大陆，并一直任教于中山大学。回到祖国大陆，并一直任教于中山大
6、学。 温州籍著名数学家温州籍著名数学家v苏步青苏步青（19022003），浙江平阳人。），浙江平阳人。1927年毕业于日本东北帝国大学数学系，后入该年毕业于日本东北帝国大学数学系，后入该校研究院，获理学博士学位。放弃在日本任教授的校研究院，获理学博士学位。放弃在日本任教授的机会回国后，受聘于浙江大学数学系。机会回国后，受聘于浙江大学数学系。1952年到年到复旦大学任教，历任教务长、副校长、校长等职。复旦大学任教，历任教务长、副校长、校长等职。1983年起任复旦大学名誉校长。年起任复旦大学名誉校长。1955年当选为年当选为中国科学院数学物理学部委员，兼任学术委员会常中国科学院数学物理学部委员，兼
7、任学术委员会常委，专长微分几何，创立了国内外公认的微分几何委，专长微分几何，创立了国内外公认的微分几何学派。苏步青在科学业绩上成绩斐然，在培养人才学派。苏步青在科学业绩上成绩斐然，在培养人才和数学教育方面的贡献同样令人称道。他的许多学和数学教育方面的贡献同样令人称道。他的许多学生，如谷超豪、胡和生、张素成、白正国等都是国生，如谷超豪、胡和生、张素成、白正国等都是国内外知名的学者。内外知名的学者。数学数学是什么？是什么？1 1v 19世纪时由恩格斯给出的定义世纪时由恩格斯给出的定义 数学是研究现实世界的数量关系和空间形数学是研究现实世界的数量关系和空间形式（简称：数与形）的科学式（简称：数与形）
8、的科学 按照恩格斯所说，按照恩格斯所说， 数与形是数学的两大基本柱石之一。整个数与形是数学的两大基本柱石之一。整个数学都是由此提炼、演变与发展起来的。数学都是由此提炼、演变与发展起来的。v20世纪初的定义世纪初的定义 数学是研究模式与秩序的科学数学是研究模式与秩序的科学 数学研究的基本对象是各种各样的集合数学研究的基本对象是各种各样的集合以及在它们上面赋予的各种结构。以及在它们上面赋予的各种结构。数学的数学的时期时期2 2按时间先后顺序划分为以下五个时期：按时间先后顺序划分为以下五个时期： 1数学萌芽期（公元前数学萌芽期（公元前600年以前）；年以前）； 2初等数学时期（公元前初等数学时期（公
9、元前600年至年至17世纪中叶）；世纪中叶）； 3变量数学时期（变量数学时期（17世纪中叶至世纪中叶至19世纪世纪20年代）；年代）； 4近代数学时期（近代数学时期（19世纪世纪20年代至第二次世界大战）；年代至第二次世界大战）； 5现代数学时期（现代数学时期（20世纪世纪40年代以来）。年代以来）。 牛顿牛顿:16431727莱布尼兹莱布尼兹:16461716欧拉欧拉:17071783数学形成时期数学形成时期公元前公元前6世纪世纪初等数学时期初等数学时期16世纪世纪19世纪世纪变量数学时期变量数学时期现代数学时期现代数学时期现在现在数学萌芽期（公元前600年以前）古埃及、古巴比伦和古印度、古
10、代中国时古埃及、古巴比伦和古印度、古代中国时期建立的期建立的算术算术；初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）古希腊时期建立的欧氏古希腊时期建立的欧氏几何学几何学；欧洲文艺复兴时期发展起来的欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程代数方程等。等。初等数学又叫初等数学又叫常数数学常数数学。变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）起点：解析几何；标志：微积分（数学分析）；特点：数形结合，引入了变量，可以研究运动。近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）主要特征：分析的严密化;代数的抽象化;几何的非欧化。现代数学时期（20世纪40年代以来） 起点：1900年Hilbert提出的23个未解
11、决的数学问题； 特点：学科分支增多，交叉增强(如：代数拓扑、微分拓扑、代数几何等）； 基础：Cantor的集合论。 了解古埃及人古巴比伦人在数了解古埃及人古巴比伦人在数学上取得的成果及对数学发展学上取得的成果及对数学发展的贡献的贡献3 3 历史学家往往把兴起于历史学家往往把兴起于 、 、 和和 等地等地域的古代文明称为域的古代文明称为“河谷文明河谷文明”。 古埃及、古巴比伦、古代印度、古代中国古埃及、古巴比伦、古代印度、古代中国一、古埃及的数学一、古埃及的数学闻名世界的闻名世界的“金字塔金字塔”在哪个国家？在哪个国家？12345用象形文怎样表示？用象形文怎样表示？2 2、纸草书、纸草书 纸草书
12、是研究古埃及数学的主要来源 v莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏于伦敦大英博物馆又称阿姆士纸草书，阿姆士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经流传了两个世纪的著作含84个数学问题v莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于莫斯科博物馆产生于公元前1850年前后，比莱因德纸草书产生得早，但重要性要稍逊于莱因德纸草书，含有25个数学问题埃及几何埃及几何v埃及是几何学的发源地。埃及几何产生于尼罗河泛滥后的土地测量，是一种实用几何那些从事土地测量的人有一个专名，叫做“
13、拉绳者”，可以说，这些拉绳者就是当时的几何学家。二、巴比伦的数学二、巴比伦的数学v楔形文字中的记数法：巴比伦人把苏美尔人创造的楔形文字发展成一套记数方法，是10进和60进的混合物，也就是60进制位值制记数法。v 古巴比伦人不但能计算各种复杂的算术问题，而且给出了乘法表，并能求解一元二次方程；更加令人不可思议的是，巴比伦人甚至知道如何求指数方程。（教材P6P7 ）v 长于计算，编制了许多数表：乘法表、倒数表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊的指数（对数）表。v 勾股数：纽约哥伦比亚大学的珍本图书馆藏着一块年代为公元前1900前1600年的泥板，称为普林顿332号数学泥板v 的计算（
14、教材P7）2222cba总的说来,古埃及和古巴比伦所给出的仅仅是“如此去做”，基本上没有涉及到“为什么要这样做”,数学的进一步飞跃还要等待古希腊来完成。4 4了解毕达哥拉斯和阿基米了解毕达哥拉斯和阿基米德的数学贡献德的数学贡献 公元前公元前560前前480年年 精于哲学、数学、天文精于哲学、数学、天文 学、音乐理论学、音乐理论1毕达哥拉斯毕达哥拉斯学派学派 希腊论证数学的另一位祖师希腊论证数学的另一位祖师 毕达哥拉斯学派创始人毕达哥拉斯学派创始人 信奉信奉“万物皆数万物皆数”(一一)希腊论证数学的祖师希腊论证数学的祖师毕达哥拉斯毕达哥拉斯2勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理（毕达哥拉斯定理）2
15、22bac赵爽的“弦图”2002.8 国际数国际数学家大会会徽学家大会会徽v 1 1+3 1+3+6 1+3+6+10 3多边形数多边形数4不可公度不可公度万物皆数万物皆数可公度可公度第一次数学危机第一次数学危机不可公度不可公度希帕苏斯发现阿基米德证明“阿基米德原理”：物体在液体中减轻的重量，等于排去液体的重量 故事：皇冠真假鉴别 浴池洗澡 （二）数学之神（二）数学之神阿基米德阿基米德链接到笛卡尔发现坐标系链接到笛卡尔发现坐标系5 5了解欧几里得的数学贡献，了解欧几里得的数学贡献，了解了解原本原本的内容及其对的内容及其对后世数学发展所起的作用。后世数学发展所起的作用。 v欧几里得（Euclid
16、 of Alexandria; 约公元前 330 公元前 275）v欧几里得的几何原本是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。第五公设（平行公设）v 第五公设：若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。 v 在欧氏几何的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊，它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其它公设和定理推出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的应用，一直到卷命题29才不得不使用它。第二次数学危机第二次数学危机高斯、罗巴切夫斯基与波尔约
17、（具体内容见课本P58）谁被看作非欧几何的创始人？非欧几何的发展与确认v 德国数学家黎曼（B.Riemann,1826-1866）于1854年发展了罗巴切夫斯基等人的思想而建立了一种更广泛的几何学-黎曼几何。 (同一平面上的任何两条直线一定相交) 三角形内角和小于180度19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。v 至此，非欧几何才真正获得了广泛的理解。6 6了解了解九章算术九章算术的主要的主要内容，了解其成就和历史内容，了解其成就和历史意义意义“术术”即解即解法法简介简介v成
18、书时间成书时间:公元公元1世纪世纪v地位地位:在西方数学传入之前一直是中国古代数学学在西方数学传入之前一直是中国古代数学学习者的首选教材习者的首选教材v作者作者:不详不详(汉朝数学家集体智慧的结晶汉朝数学家集体智慧的结晶)v贡献贡献:著作本身蕴涵的数学思想著作本身蕴涵的数学思想;后人对该书所作后人对该书所作的注释中蕴涵的数学思想的注释中蕴涵的数学思想(魏晋的刘徽魏晋的刘徽和和唐朝的李唐朝的李淳风淳风)盈不足术盈不足术v 今有今有(人人)共买物，共买物，(每每)人出八人出八(钱钱)，盈，盈(余余)三钱；人出七三钱；人出七(钱钱)，不足四，不足四(钱钱)，问人数、物价各几何，问人数、物价各几何”，
19、“答曰：七人，答曰：七人，物价物价53(钱钱)。”“”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。令维乘下。令维乘(即交错相乘即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一实如法而一置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为置所出率，以少减多，余，以约法、实。实为物价，法为人数物价，法为人数”。 两鼠穿墙两鼠穿墙v今有垣墙五尺今有垣墙五尺,两鼠对穿两鼠对穿,大鼠日一尺大鼠日一尺,小鼠也日一小鼠也日一尺尺,大鼠日自倍大鼠日自倍,小鼠日自半小鼠日自半,问何日相逢问何日相逢,各穿几何？各穿几何？假设两只老鼠打洞2天,则仍差5
20、寸,不能把墙打穿;假设打洞3天,就会多出3尺7寸半.5)2121211 ()2221 (12121xx 三国时的刘徽提出的三国时的刘徽提出的 的方法的方法.他把圆周分他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、成三等分、六等分、十二等分、二十四等分、 这样继续这样继续分割下去分割下去,所得多边形的周长就无限接近于圆的周长所得多边形的周长就无限接近于圆的周长. 割之弥细，割之弥细，所失弥少，割所失弥少，割之又割，以至之又割，以至于不可割，则于不可割，则与圆合体而无与圆合体而无所失矣所失矣. .深远影响深远影响v 我国古代数学巨著我国古代数学巨著九章算术九章算术流传至今已达两千余年之流传至今
21、已达两千余年之久，不仅指导着我国数学的发展，而且早已流传到世界各久，不仅指导着我国数学的发展，而且早已流传到世界各地，翻译成日、英、俄、德等多种文字，对世界数学的发地，翻译成日、英、俄、德等多种文字，对世界数学的发展也有不可估量的巨大贡献和影响。把展也有不可估量的巨大贡献和影响。把九章算术九章算术与西与西方最早的一本数学名著欧几里得的方最早的一本数学名著欧几里得的几何原本几何原本相对照，相对照，就可以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成东、西就可以发现从形式到内容都各有特色和所长，形成东、西方数学的不同风格。方数学的不同风格。、几何原本几何原本以形式逻辑方法把以形式逻辑方法把全部内容贯穿起来
22、，而全部内容贯穿起来，而九章算术九章算术则按问题的性质和解则按问题的性质和解法把全部内容分类编排。、法把全部内容分类编排。、几何原本几何原本中极少提及应中极少提及应用问题，而用问题，而九章算术九章算术则是解应用问题为主，、则是解应用问题为主，、几几何原本何原本以几何为主，略有一点算术内容，而以几何为主，略有一点算术内容，而九章算术九章算术则包含了算术、代数、几何等我国当时数学的全部内容。则包含了算术、代数、几何等我国当时数学的全部内容。其中尤其是代数无可争辩地是中国所创。在其中尤其是代数无可争辩地是中国所创。在16世纪以前世纪以前基本上是中国一手包办了的。因此，完全可以说基本上是中国一手包办了
23、的。因此，完全可以说九章算九章算术术与与几何原本几何原本是世界数学史上东西辉映的两本不朽是世界数学史上东西辉映的两本不朽的传世名著。也是现代数学的两大主要源泉。的传世名著。也是现代数学的两大主要源泉。 7 7了解微积分产生的历史背了解微积分产生的历史背景，了解牛顿和莱布尼茨景，了解牛顿和莱布尼茨在微积分方面的工作在微积分方面的工作 2yxx 计计算算抛抛物物线线与与坐坐标标轴轴 轴轴Oxy12yx S 0 0 1x在在间间所所围围成成的的面面积积。Oxy2x2yx hh2y1x*12Sy hy h1yOxy3x2yx h3yhh1x2x*123Sy hy hy h1y2yOxynx2yx hn
24、y*121nnSy hy hyhy h ixiy 如何求此面积的精确值？如何求此面积的精确值？ 第一类问题：瞬时速度问题第一类问题：瞬时速度问题 已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。离。 困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样
25、，用运动的时间去除移动的距离，因为平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。 第一类问题第一类问题 求曲线的切线。求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点
26、处的运动方向问题等。在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 第二类问题：切线问题第二类问题：切线问题 第二类问题第二类问题 困难在于：曲线的困难在于：曲线的“切线切线”的定义本身就是一个的定义本身就是一个没有解决的问题。没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。 第三类问题：函数的最值问题第三类问题：函数的最值问题 求函数的最大最小值问题。求函数的最大最小值问题。
27、 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 角角发射炮弹时，射程最大。发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。研究行星运动也涉及最大最小值问题。45 困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。 第三类问题第三类问题 第四类问题：面积、体积、曲线长、重心和第四类问题：面积、体积、曲线长、重心和引力的计算引力的计算 求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物
28、体作用于的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。另一个物体上的引力。 困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。 穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。被根本修改了。 第四类问题第四类问题 微积分不仅使用了函数概
29、念，还引入微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了用来处理数值所需要的积分。这样，除了用来处理数值所需要的基础外，还需要逻辑方面的基础。基础外，还需要逻辑方面的基础。函数概念函数概念类別对函数的理解历史上的代表数学家1运运 算算格雷戈里格雷戈里（1667）2解析式解析式伯努利（伯努利（1696、1718）；）；欧拉（1748）；拉格朗日；拉格朗日（1797）；布）；布尔尔（1854）3曲曲线（图线（图像）像）欧拉（1748）4变量变量的的依赖关系依赖关系莱莱布尼茨（布尼茨（1714）；）；欧拉（1755）；拉克洛瓦
30、（；拉克洛瓦（1797）；）；柯西（柯西（1821、1823）；）；罗罗巴契夫斯基（巴契夫斯基（1834）；狄利克）；狄利克雷（雷（1837）；斯托克斯（）；斯托克斯（1847）5变变量的量的对应关系对应关系孔多塞（孔多塞（1778）；傅立）；傅立叶叶（1822）；）；罗罗巴契夫斯基巴契夫斯基（1834）；狄利克雷（）；狄利克雷（1837）；黎曼（）；黎曼（1851）；）；汉汉克克尔尔（1870）；哈代（）；哈代（1908）；古）；古尔萨尔萨（1923）6映映 射射戴德金（戴德金（1887）7集合的集合的对应关系对应关系坦坦纳里纳里（1904）；卡拉泰奧多）；卡拉泰奧多里里（1917）；）；维
31、维布布伦伦（20世世紀）；布紀）；布尔尔巴基（巴基（1939）8序偶集序偶集皮亚诺皮亚诺（1911）；）；豪豪斯多夫（斯多夫（1914）；布）；布尔尔巴基（巴基（1939） 微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。微分与积分是分析中的两种基本的极限过程。这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经这两种过程的一些特殊的情况，甚至在古代就已经有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在有人考虑过（在阿基米德工作中达到高峰），而在十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重十六世纪和十七世纪，更是越来越受到人们的重视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开始视。然而，微积分的系统发展是在十七世纪才开
32、始的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先的，通常认为是牛顿和莱布尼茨两位伟大的科学先驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去驱的创造。这一系统发展的关键在于认识到：过去一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是一直分别研究的微分和积分这两个过程，实际上是彼此互逆的联系着。彼此互逆的联系着。 牛顿（牛顿（16421727年），年），英国数学家、英国数学家、物理学家、天文学家、自然哲学家。物理学家、天文学家、自然哲学家。生于英生于英格兰格兰林肯郡伍尔索普林肯郡伍尔索普的一个小村庄里。他的的一个小村庄里。他的母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他母亲在那里管理着丈夫遗留下来的农庄，他父亲
33、是在他出生前两个月去世的。父亲是在他出生前两个月去世的。 少年时期，牛顿在一个低标准的地方学校接少年时期，牛顿在一个低标准的地方学校接受教育，而且是一个除了对机械有兴趣以外，没受教育，而且是一个除了对机械有兴趣以外，没有特殊才华的青年人。有特殊才华的青年人。 1661年他进入了剑桥大学的三一学院，安静年他进入了剑桥大学的三一学院，安静而没有阻力地学习着自然哲学。而没有阻力地学习着自然哲学。1665年牛顿刚结年牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为伦敦地区鼠疫流行束他的大学课程，学校就因为伦敦地区鼠疫流行而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了而关闭。他离开剑桥，回到家乡，在那里开始了他在机械、数
34、学和光学上的伟大工作，于他在机械、数学和光学上的伟大工作，于1665-1665-16661666年间做出流数术、万有引力和光的分析三大年间做出流数术、万有引力和光的分析三大发明，年仅发明，年仅2323岁。岁。 1667年牛顿回到剑桥，获得硕士学位，成为三年牛顿回到剑桥，获得硕士学位，成为三一学院的研究员。一学院的研究员。1669年牛顿接替他的数学老师巴年牛顿接替他的数学老师巴罗的职位，担任罗的职位，担任卢卡斯数学教授。他不是一个成功卢卡斯数学教授。他不是一个成功的教师，听他课的学生很少。的教师，听他课的学生很少。 他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注他提出的创造性的材料也没有受到同事们的注
35、意，只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大，并意，只有巴罗及天文学家哈雷认识到他的伟大，并给他以鼓励。牛顿涉猎的学科很多，知识面很广。给他以鼓励。牛顿涉猎的学科很多，知识面很广。他从事过光学、天体力学、数学、化学、流体静力他从事过光学、天体力学、数学、化学、流体静力学、流体动力学、物理学方面的研究工作，还自己学、流体动力学、物理学方面的研究工作，还自己动手制作实验装置，甚至自己制作了两台反射望远动手制作实验装置，甚至自己制作了两台反射望远镜（制作出做架子用的合金、浇铸框架、做底座、镜（制作出做架子用的合金、浇铸框架、做底座、磨光镜头等。）磨光镜头等。） 他在数学上以创建微积分而著称，其流数法他在
36、数学上以创建微积分而著称，其流数法（即物质的变化率）始于（即物质的变化率）始于16651665年，系统叙述于流年，系统叙述于流数法和无穷级数（数法和无穷级数（16711671年完成，年完成，17361736年出版），年出版），首先发表在自然哲学之数学原理首先发表在自然哲学之数学原理 （16871687）中。）中。其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他其中借助运动学中描述的连续量及其变化率阐述他的流数理论，并创用字母上加一点的符号表示流动的流数理论，并创用字母上加一点的符号表示流动变化率（即导数符号）。变化率（即导数符号）。 此外他还论述了有理指数的二项定理（此外他还论述了有理指数的二项定
37、理（16641664年）以及数论、解析几何、曲线分类、变分法等中年）以及数论、解析几何、曲线分类、变分法等中的有关问题。的有关问题。 他在物理学上发现了万有引力定律（他在物理学上发现了万有引力定律（1666-16841666-1684年），并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。年），并据此指出行星运行成椭圆轨道的原因。16661666年用三棱镜实验光的色散现象，年用三棱镜实验光的色散现象，16681668年发明并年发明并亲手制作了第一架反射望远镜。亲手制作了第一架反射望远镜。 晚年的牛顿变得消沉，精神几乎崩溃。他放晚年的牛顿变得消沉，精神几乎崩溃。他放弃研究工作，于弃研究工作，于16951695
38、年接受任命，担任大英造币年接受任命，担任大英造币厂监察。厂监察。17051705年，封为爵士，享年年，封为爵士，享年8585岁。牛顿对岁。牛顿对于他一生的成就，一直是十分谦虚的。于他一生的成就，一直是十分谦虚的。 莱布尼茨（莱布尼茨（16461716年）是在建立微积分中唯年）是在建立微积分中唯一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩一可以与牛顿并列的科学家。他研究法律，在答辩了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。了关于逻辑的论文后，得到哲学学士学位。1666年年以论文论组合的艺术获得阿尔特道夫大学哲学以论文论组合的艺术获得阿尔特道夫大学哲学博士学位，同时获得该校的教授席位。博士学位，同时获
39、得该校的教授席位。 1671年，他制造了他的计算机。年，他制造了他的计算机。1672年年3月作为月作为梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问梅因兹的选帝侯大使，政治出差导巴黎。这次访问使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学使他同数学家和科学家有了接触，激起了他对数学的兴趣。可以说，的兴趣。可以说，在此之前（在此之前（1672年前）莱布尼茨年前）莱布尼茨基本上不懂数学。基本上不懂数学。 1673年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学年他到伦敦，遇到另一些数学家和科学家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠家，促使他更加深入地钻研数学。虽然莱布尼茨靠做外交官生活，卷入各种政治活动，但他
40、的科学研做外交官生活，卷入各种政治活动，但他的科学研究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是究工作领域是广泛的，他的业余生活的活动范围是庞大的。庞大的。 莱布尼茨从莱布尼茨从1684年开始发表论文，但他的许多成年开始发表论文，但他的许多成果以及他的思想的发展，实际上都包含在他从果以及他的思想的发展，实际上都包含在他从1673年年起写的，但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔起写的，但从未发表过的成百的笔记本中。从这些笔记本中人们可以看到，他从一个课题跳到另一个课记本中人们可以看到，他从一个课题跳到另一个课题，并随着他的思想的发展而改变他所用的记号。有题，并随着他的思想的发展而改变他所用的记
41、号。有些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和些是它在研究格雷戈里、费马、帕斯卡、巴罗的书和文章时，或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分文章时，或是试图将他们的思想纳入自己处理微积分的方式时所出现的简单思想。的方式时所出现的简单思想。 1714年莱布尼茨写了微分学的历史和起源，年莱布尼茨写了微分学的历史和起源，在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记在这本书中，他给出了一些关于自己思想发展的记载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃载，由于他出书的目的是为了澄清当时加于他的剽窃罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源罪名，所以他可能不自觉地歪曲了关于他的思想来源的记载。
42、不管他的笔记本多么混乱，都揭示了一个最的记载。不管他的笔记本多么混乱，都揭示了一个最伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。伟大的才智，怎样为了达到理解和创造而奋斗。 特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微特别值得一提的是：莱布尼茨很早就意识到，微分与积分（看作是和）必定是相反的过程；分与积分（看作是和）必定是相反的过程；1676年年6月月23日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求日的手稿中，他意识到求切线的最好方法是求 dy/dx ，其中其中dy，dx 是变量的差，是变量的差，dy/dx 是差的商。是差的商。莱布尼茨的工作，虽然富于启发性而且意义深远，但莱布尼茨的工作，虽然富于启发性
43、而且意义深远，但它是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸好贝努它是十分零乱不全的，以致几乎不能理解。幸好贝努利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工利兄弟将他的文章大大加工，并做了大量的发展工作。作。1716年，他无声无息地死去。年，他无声无息地死去。 微积分是能应用于许多类函数的一种新的微积分是能应用于许多类函数的一种新的 普遍的方法，这一发现必须归功于牛顿和莱布普遍的方法，这一发现必须归功于牛顿和莱布尼茨俩人。经过他们的工作，微积分不再是古尼茨俩人。经过他们的工作，微积分不再是古希腊几何的附庸和延展，而是一门独立的科希腊几何的附庸和延展，而是一门独立的科学，用来处理较以前更为广泛的问题
44、。学，用来处理较以前更为广泛的问题。 任何一件新事物出现时，一般不可能是十任何一件新事物出现时，一般不可能是十分完美的。如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函分完美的。如果牛顿和莱布尼茨想到过连续函数不一定有导数数不一定有导数而这却是一般情形而这却是一般情形那那么微分学就决不会被创造出来。么微分学就决不会被创造出来。 毕卡毕卡 创建微积分优先权的争论创建微积分优先权的争论 牛顿从牛顿从1665年到年到1687年把结果通知了他的朋年把结果通知了他的朋友，特别是把他的短文分析学送给了巴罗，但友，特别是把他的短文分析学送给了巴罗，但他于他于1687年以前，并没有正式公开发表过微积分方年以前，并没有正式公开发
45、表过微积分方面的任何工作。面的任何工作。 创建微积分优先权的争论创建微积分优先权的争论 虽然莱布尼茨于虽然莱布尼茨于1672年访问巴黎，年访问巴黎，1673年访问年访问伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。然而，他伦敦时，和一些知道牛顿工作的人通信。然而，他直到直到1684年才正式公开发表微积分的著作。于是就年才正式公开发表微积分的著作。于是就发生了莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题。莱发生了莱布尼茨是否知道牛顿工作详情的问题。莱布尼茨被指责为剽窃者。布尼茨被指责为剽窃者。 在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿在这两个人死了很久以后，调查证明：虽然牛顿的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是
46、莱布尼茨的大部分工作是在莱布尼茨之前做的，但是莱布尼茨是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很是微积分思想的独立发明者。两个人都受到巴罗的很多启发。多启发。微积分的历史意义v提供了定量处理与运动、变化等有关的多种现实问题的强有力方法。v解析几何与微积分的建立，标志着数学由初等数学（常量数学）时期向变量数学时期的重要转变。v以极限方法为主要特征的微积分方法蕴含着十分基本和重要的数学思想。v微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数学领域，其后数学分析大厦逐步建立。v微积分的建立，使得数学的基本格局发生了变化，在这之前，数学主要有代数（包括算术）与几何两大领域，而微积分的建立，形成了代数、几何与分
47、析三足鼎立的局面。8 8了解公理化思想以及构成公理体系的基本要求v欧几里得（Euclid of Alexandria; 约公元前 330 公元前 275）v欧几里得的几何原本是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明了的、不容怀疑的事实基础之上，容易明辨是非。比如，几何学的正确性归结于诸如“等量加等量，总量仍相等”等公理体系的正确性。公理化方法也是数学逻辑严密性的一种表现。在人类的每一个认识领域，当经验知识积累到相当数量时，就需要进行综合、整理，使之条理化、系列化，从而形成新的概念理论以更新系统，以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。从理性认识的初级水平发
48、展到高级水平，又表现为抽象程度更高的公理化体系。定定义义公公设设、公理、公理命題定定义义命題定定义义命題命題命題v希尔伯特（David Hilbert; 1862 1943） 18991899年年发发表著名的表著名的几几何基何基础础一一书书。 引入了引入了 20 20 条条公理和公理和 6 6 个个不加不加解释解释的定的定义义，建立起新的建立起新的几几何公理何公理体系体系。v6 个不加解释的定义包括： 点点、线线、面、面、通通过过、在、在 之之间间、相等、相等 20 条条公理分成公理分成 5 組：組： 关联关联公理公理（I. 1 8）、）、順序公理順序公理（II. 1 4）、）、合同公理合同公理（III. 1 5）、）、平行公理平行公理（IV.）、）、联系联系公理公理（V. 1 2） 希希尔尔伯特伯特同同时时提出提出选择选择公理公理体系体系的原則：的原則： 相容性相容性、独独立性立性、完完备备性性
