1、选修选修4545不等式选讲不等式选讲选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点知识梳理-2-知识梳理双基自测234151.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|,当且仅当时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|,当且仅当时,等号成立.|a|+|b| ab0 |a-b|+|b-c| (a-b)(b-c)0 选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点知识梳理-3-知识梳理双基自测234152.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法|x|a-axaxa
2、或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c;|ax+b|c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.-cax+bc ax+bc或ax+b-c 选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点知识梳理-4-知识梳理双基自测234152ab 选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点知识梳理-5-知识梳理双基自测234154.柯西不等式
3、(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在实数k,使=k时,等号成立.选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点知识梳理-6-知识梳理双基自测234155.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法等.选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)对|a-b|a|+|b|当且仅当ab0时等号成立.()(2)|a+b|
4、+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm.() 答案 答案关闭(1)(2)(3)(4)(5)选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点知识梳理-8-知识梳理双基自测23415A.2a3B.1a2C.1a3D.1a1时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-14-考点1考点2考点3考点4考点5解题心
5、得绝对值不等式的常见解法有:(1)解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)进行求解.(2)含有多个绝对值符号的不等式,一般可用零点分段法分类讨论求解.(3)对于形如|x-a|+|x-b|m或|x-a|+|x-b|a的解集,可以作出函数f(x)的图象,利用数形结合法求解.选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-15-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练1已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(1)在图中画出y=f(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集.选修选修4 4选修选修45不等式选
6、讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-16-考点1考点2考点3考点4考点5选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-17-考点1考点2考点3考点4考点5选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-18-考点1考点2考点3考点4考点5(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.思考求解含参数的绝对值不等式问题的常用基本方法是什么?选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-24-考点1考点2考点3考点
7、4考点5选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-25-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得求解含参数的绝对值不等式问题,常用的基本方法是根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决.选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-26-考点1考点2考点3考点4考点5选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-27-考点1考点2考点3考点4考点5选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-28-考点1考点2考点3考点4考点5(1)求M;(2)证明:当a,
8、bM时,|a+b|1+ab|.思考证明不等式常用的方法有哪些?选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-29-考点1考点2考点3考点4考点5选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-30-考点1考点2考点3考点4考点5(2)由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|1+ab|.选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-31-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得证明不等式常用的方法:(1)比较法证明不
9、等式,比较法又包含作差比较法和作商比较法.(2)用分析法证明不等式,使用分析法证明的关键是寻找推理的每一步的充分条件.(3)用综合法证明不等式,在用综合法证明不等式时,常用到不等式的性质和基本不等式等.选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-32-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练4(2016山西太原三模)已知函数f(x)=|x-1|.(1)解不等式f(x-1)+f(x+3)6;(1)解 f(x)=|x-1|,f(x-1)+f(x+3)6等价于|x-2|+|x+2|6.当x2时,不等式等价于x-2+x+26,即2x6,解得x3;当-2x0,因为|a|
10、1,|b|1,所以a21,b21,即a2-10,b2-10成立,从而原不等式成立.选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-34-考点1考点2考点3考点4考点5例5已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;思考如何利用柯西不等式证明不等式或求最值?解 (1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-axb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.选修选修4 4选
11、修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-35-考点1考点2考点3考点4考点5选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-36-考点1考点2考点3考点4考点5解题心得1.用柯西不等式证明时,一般需要对不等式变形,使之与柯西不等式有相似的结构,然后根据柯西不等式的结构特征,利用柯西不等式进行证明.选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-37-考点1考点2考点3考点4考点5对点训练对点训练5已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4.(1)求实数a,b的值;选修选修4 4选修选修45不等式选讲不等式选讲知识梳理核心考点核心考点-38-考点1考点2考点3考点4考点5
