1、宁波大学宁波大学 2016 年攻读硕士学位研究生年攻读硕士学位研究生入入 学学 考考 试试 试试 题题(B 卷卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目考试科目:高等代数高等代数科目代码科目代码：871适用专业适用专业:基础数学基础数学、应用数学、应用数学第 1 页 共 2 页一、(10 分) 设1p 是素数, 用多项式理论证明p是无理数.二、(10 分) 计算行列式2464273271014543443342721621的值.三、(15 分) 设123, 线性元关, 证明:122331, 也线性无关.四、 (15 分)取何值时， 线性方程组12312312322124551xxxxxxxxx 无解
2、, 有唯一解, 或有无穷多解? 在有无穷多解时, 求方程组的通解.五、(10 分) 设1(2,1,2,2, 4),2(1,1, 1,0,2),3(0,1,2,1, 1),4( 1, 1, 1, 1,1),5(1,2,1,1,1), 试确定向量组12345, 的秩和一个极大线性无关组. 并用这个极大无关组表示其它(不在极大无关组的)向量.六、(15 分) 求矩阵2100320057181316A的逆矩阵.七、(10 分) 用非退化线性替换化二次型22211222332244fxx xxx xx为标准型(写出线性替换).八、(5 分) 证明: 如果A是正定矩阵，那么1A也是正定矩阵.宁波大学宁波大
3、学 2016 年攻读硕士学位研究生年攻读硕士学位研究生入入 学学 考考 试试 试试 题题(B 卷卷)(答案必须写在答题纸上)考试科目考试科目:高等代数高等代数科目代码科目代码：871适用专业适用专业:基础数学基础数学、应用数学、应用数学第 2 页 共 2 页九、 (15 分) 设 V 为复数域上的线性空间, 已知线性变换 在一组基123, 下的矩阵为001010 .100A1) 求 的特征值与特征向量;2) 是否可在适当的基下的矩阵为对角阵? 若可以,写出相应的基变换的过渡矩阵 T;3) 求 A1000.十、(10 分) 设 nP x表示数域P上次数小于n的多项式及零多项式作成的线性空间（1）证明：211,() ,()nxa xaxa是 nP x的一组基；（2）求上述的一组基到基211, ,nx xx的过渡矩阵十一、 (15 分) 设矩阵126103 ,114A 求 A 的特征多项式、 行列式因子、 不变因子、初等因子及若当标准形十二、(10 分) 设 A, B 都是实对称矩阵证明：存在正交矩阵 T, 使1TAT=B 的充分必要条件是 A, B 的特征多项式的根全部相同.十三、(10 分) 设A是一个固定的n级矩阵，证明：（1）,n nWX AXXA XP是n nP的一个子空间；（2）当A为主对角元两两互异的对角矩阵时，写出W的维数及一组基
