1、 2.2一元二次不等式的应用一元二次不等式的应用1.会求解方程根的存在性问题和恒成立问题会求解方程根的存在性问题和恒成立问题2.会解一元三次不等式及可化为一元二次会解一元三次不等式及可化为一元二次(或三次或三次)不等式的不等式的分式不等式分式不等式3.能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解能从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决决.1.对解分式不等式及恒成立问题的考查是本节的热点对解分式不等式及恒成立问题的考查是本节的热点2.本节内容常与方程、函数、图像结合命题本节内容常与方程、函数、图像结合命题3.三种题型均可能出现三种题型均可能出现.1不等式不等式4x24x10的解集是
2、的解集是 2若若ax2bxc0(a0)的解集是的解集是 ，则，则a，b，c满足的条满足的条件是件是 .3二次函数二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值如表：的部分对应值如表：则 不 等 式则 不 等 式 a x2 b x c 0 的 解 集 是的 解 集 是 a0，b24ac032101234y60466406(，2)(4，)4函数函数yf(x)的图像的图像(如图如图)，不等式，不等式f(x)0的解集为的解集为 (1,0)(1,2)f(x)g(x)0 f(x)g(x)0 f(x)g(x)0且g(x)0 f(x)g(x)0 f(x)0 2数轴标根法解不等式的步骤是数轴标根法解不等式的步骤是(
3、1)等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积等价变形后的不等式一边是零，一边是各因式的积(未未知系数一定为正数知系数一定为正数)(2)把各因式的根标在数轴上把各因式的根标在数轴上(3)用曲线用曲线 穿根穿根(奇次根穿透，偶次奇次根穿透，偶次根不穿透根不穿透)(4)看图像写出解集看图像写出解集“从上往下同时从右向左”答案：A 答案：C3产品的总成本产品的总成本y(万元万元)与产量与产量x(台台)之间的函数关系式是之间的函数关系式是y3 00020 x0.1x2(0 x240)若每台产品的售价为若每台产品的售价为25万万元，则生产者不亏本元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本销售收入不小于总
4、成本)时的最低产量是时的最低产量是_解析：解析：由题意得由题意得25x3 00020 x0.1x2，化简得化简得x250 x30 0000，(x200)(x150)0 x200(舍舍去去)或或x150(台台)答案：答案：150台台4若方程若方程mx22(m1)xm0有两个不等的正实数解，有两个不等的正实数解，则则m的取值范围是的取值范围是_答案：答案：m0所以原不等式的解所以原不等式的解集集为为x|1x1或或x3，即即1,1)3，)(1)可以化为不等式组求解，也可以先求出相应方程的可以化为不等式组求解，也可以先求出相应方程的根，用数轴标根法求解；根，用数轴标根法求解；(2)先将不等式变形，化为
5、等价整式不等式先将不等式变形，化为等价整式不等式(组组)再求解再求解 方法二：方法二：将原不等式化为将原不等式化为(x1)(x1)(x2)(x4)0.对应方程各根依次为对应方程各根依次为1,1,2,4，由数轴由数轴标标根法根法(如下图所示如下图所示)得原不等式的解得原不等式的解集集为为x|x1或或1x2或或x4题后感悟题后感悟(1)数轴标根法数轴标根法(穿针引线法穿针引线法)： 指导思想：分析对应函数的图像指导思想：分析对应函数的图像 函数图像的画法：函数图像的画法：.整理：化为整理：化为(xx1)(xx2)(xxn)0(或或0)的形式的形式 .标根：把标根：把f(x)(xx1)(xx2)(x
6、xn)0的的n个根个根xi(i1,2，n)标在数轴上标在数轴上 .穿线：从右至左，从上而下依次穿过穿线：从右至左，从上而下依次穿过(奇穿偶不穿奇穿偶不穿) 解集求法：解集求法：大于大于(小于小于)零的不等式的解，对应着曲线在零的不等式的解，对应着曲线在x轴上方轴上方(下方下方)部分的点的横坐标部分的点的横坐标x的取值集合的取值集合(2)解分式不等式注意的问题：解分式不等式注意的问题： 解分式不等式一定要等价变形为标准形式，就是右边为解分式不等式一定要等价变形为标准形式，就是右边为零，左边为分式再等价转化为不等式组或高次不等式来求解零，左边为分式再等价转化为不等式组或高次不等式来求解 若分式不等
7、式含等号，等价转化为整式不等式时，其分若分式不等式含等号，等价转化为整式不等式时，其分母不为零最易丢掉，这一点一定要注意母不为零最易丢掉，这一点一定要注意 当分式不等式分母正负不确定时不可通过不等式两边同当分式不等式分母正负不确定时不可通过不等式两边同乘以分母的方法转化为整式不等式乘以分母的方法转化为整式不等式 原不等式解原不等式解集集为为x|x5或或5x2 设函数设函数f(x)mx2mx1.(1)若对于一切实数若对于一切实数x，f(x)0恒成立，求恒成立，求m的取值范围；的取值范围；(2)对于对于x1,3，f(x)m5恒成立，求恒成立，求m的取值范围的取值范围策略点睛策略点睛2.已知不等式已
8、知不等式x2mx4xm4.(1)若对一切实数若对一切实数x不等式恒成立，求实数不等式恒成立，求实数m的取值范围；的取值范围；(2)若对于若对于0m4的所有实数的所有实数m，不等式恒成立，求实数，不等式恒成立，求实数x的的取值范围取值范围解析：解析：(1)不等式变形为不等式变形为x2(m4)x4m0，设设f(x)x2(m4)x4m，对一切实数，对一切实数x不等式恒成立，不等式恒成立，等价于函数等价于函数f(x)的函数值恒为正值，或的函数值恒为正值，或者说者说函数函数f(x)的图的图像像在在x轴的上方轴的上方 (m4)24(4m)m24m0.解得解得0m4.(2)将将x看看成成参参数，数，m看看成
9、自变量，成自变量，不等式转化为不等式转化为m(x1)x24x40，令令g(m)m(x1)x24x4，则则g(m)0对对0m4恒成立恒成立 汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离刹车距离”刹车距离是分析交通事故的一个重要因素在一个限速刹车距离是分析交通事故的一个重要因素在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了事发后现场勘查测得甲车的刹车距离刹车，但还是相碰了事发
10、后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过略超过12 m，乙车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种，又知甲、乙两种车型的刹车距离车型的刹车距离s(m)与车速与车速x(km/h)之间分别有如下关系：之间分别有如下关系：s甲甲0.1x0.01x2，s乙乙0.05x0.005x2.试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据出判断的依据解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关于于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围
11、，即汽的范围，即汽车刹车前的车速范围车刹车前的车速范围解题过程解题过程由题意，对于甲车，有由题意，对于甲车，有0.1x0.01x212，即即x210 x1 2000.解得解得x30或或x40(舍舍去去)这表这表明明甲车的车甲车的车速速超过超过30 km/h，但根据题意，但根据题意刹刹车车距离略距离略超超过过12 m，由此，由此估估计甲车不计甲车不会会超过超过限速限速40 km/h.对于乙车，有对于乙车，有0.05x0.005x210，即即x210 x2 0000.解得解得x40或或x50(舍舍去去)这表这表明明乙车的车乙车的车速速超过超过40 km/h，超过，超过规规定定限速限速题后感悟题后感
12、悟(1)实际应用问题是新课标下考查的重点，突实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型解题时要，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型解题时要弄清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解弄清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解(2)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：解不等式应用题，一般可按如下四步进行： 阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；关系； 引进数学符号，用不等式
13、表示不等关系引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关或表示成函数关系系)； 解不等式解不等式(或求函数最值或求函数最值)； 回扣实际问题回扣实际问题3.国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产元，不加收附加税时，每年大约产销销100万瓶，若政府征收附加税，每销售万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税元要征税R元元(叫叫做税率做税率R%)，则每年的销售将减少，则每年的销售将减少10R万瓶，要使每年在此项万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于经营中
14、所收附加税金不少于112万元，问万元，问R应怎样确定？应怎样确定？解析：解析：设产设产销销量为每年量为每年x万瓶万瓶，则，则销售销售收收入入为每年为每年70 x万万元元，从从中中征征收的收的税金税金为为70 xR%万元万元，其中，其中x10010R.由题意，得由题意，得70(10010R)R%112，整整理，得理，得R210R160. 360，方程，方程R210R160的两个实数根为的两个实数根为x12，x28.然后然后画画出二次函数出二次函数yR210R16的图的图像像，由图，由图像像得不等得不等式的解式的解集集为为R|2R8答：答：当当2R8时，每年在此时，每年在此项经营项经营中所收中所收
15、附加税金附加税金不少不少于于112万元万元1分式不等式与高次不等式的求解分式不等式与高次不等式的求解解不等式就是依据不等式性质和同解变形原理，求解原不解不等式就是依据不等式性质和同解变形原理，求解原不等式的同解不等式等式的同解不等式(1)解高次不等式的基本思路是通过因式分解，把不等式的解高次不等式的基本思路是通过因式分解，把不等式的一边化成若干个一次、二次因式的积，另一边为零的形式，一边化成若干个一次、二次因式的积，另一边为零的形式，然后用数轴标根法去求解然后用数轴标根法去求解其步骤是其步骤是(以以f(x)0为例为例)将将f(x)的最高次项的系数化为正数；的最高次项的系数化为正数；将将f(x)
16、分解为若干个一次因式的积；分解为若干个一次因式的积；将将f(x)0的根标在序轴的根标在序轴(简化的数轴简化的数轴)上，从右上方依次上，从右上方依次通过每一点画曲线，从右至左的各个区间上通过每一点画曲线，从右至左的各个区间上f(x)依次取依次取“”、“”、“”；根据曲线显现出的根据曲线显现出的f(x)符号的变化规律，写出不等式的解符号的变化规律，写出不等式的解集集(由所有取正号的区间组成由所有取正号的区间组成)(2)分式不等式解法的基本思想是将其等价地转化为整式不分式不等式解法的基本思想是将其等价地转化为整式不等式等式(组组)求解，应注意带等号的分式不等式转化时不要忽略分求解，应注意带等号的分式
17、不等式转化时不要忽略分母不为零，其步骤为：母不为零，其步骤为：(2)分式不等式解法的基本思想是将其等价地转化为整式分式不等式解法的基本思想是将其等价地转化为整式不等式不等式(组组)求解，应注意带等号的分式不等式转化时不要忽求解，应注意带等号的分式不等式转化时不要忽略分母不为零，其步骤为：略分母不为零，其步骤为：结论结论3：若：若f(x)m对于对于xD恒成立，则恒成立，则f(x)minm；若；若f(x)m对于对于xD恒成立，则恒成立，则f(x)maxm.常用方法是参数分离，数常用方法是参数分离，数形结合，参数便于分离的优先选择参数分离法形结合，参数便于分离的优先选择参数分离法【错因【错因】两边约去因式两边约去因式2x1时，未对其符号进行讨论时，未对其符号进行讨论，从而不能确定不等号的方向是否发生改变，从而不能确定不等号的方向是否发生改变2若不等式若不等式(a2)x22(a2)x40对对xR恒成立，求恒成立，求实数实数a的取值范围的取值范围【错因【错因】当当a20时，原不等式不是一元二次不等式时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，不能应用根的判别式
