1、组合与组合数公式组合与组合数公式问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名去参名去参加一项活动，有多少种不同的选法？加一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 有顺序有顺序无顺序无顺序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并
2、成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合组合定义组合定义:排列定义排列定义: : 一般地说，从一般地说，从n n个不同元素中，取出个不同元素中，取出m (mn) m (mn) 个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n n 个不个不同元素中取出同元素中取出 m m 个元素的一个个元素的一个排列排列. .思考思考: :排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？ 共同点共同点:都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点:对于所取出
3、的元素，排列要对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序按照一定的顺序排成一列排成一列”，而组合却是，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组不管怎样的顺序并成一组”排列排列与元素的顺序有关，而与元素的顺序有关，而组合组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关 想一想想一想:ab与与ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢两个相同的组合呢?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的个元素的子集有多少
4、个子集有多少个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种分法共有多少种分法?组合问题组合问题(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次共需握手多少次?组合问题组合问题(5)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个安排游览个安排游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问
5、题组合问题(6)从从4个风景点中选出个风景点中选出2个个,并确定这并确定这2个风景点的游览个风景点的游览顺序顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题如如:从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是所有组合分别是: ab , ac , bc 如如:已知已知4个元素个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个写出每次取出两个元素的所有组合元素的所有组合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3个个)6个个练习练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
6、中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军请赛，通过单循环决出冠亚军（1 1）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（2 2）列出所有冠亚军的可能情况）列出所有冠亚军的可能情况。（1 1） 中国中国美国美国 中国中国古巴古巴 中国中国俄罗斯俄罗斯 美国美国古巴古巴 美国美国俄罗斯俄罗斯 古巴古巴俄罗斯俄罗斯（2）冠冠军军中中中中中中美美美美美美古古古古古古俄俄俄俄俄俄亚亚军军美美古古俄俄中中古古俄俄中中美美俄俄中中美美古古组合数组合数:从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组）个元素的所有组合的个数，叫做从合的个数，叫做从n个不同元素中取出个
7、不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示mnC323C34C如如:思考思考:如何计算如何计算:624C写出从写出从a,b,c,d a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。aabc ， abd ， acd ， bcd .bcddbccd写出从写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列四个元素中任取三个元素的所有排列.c d b d b c c da ca db d a d a bb c a c a bb c da c da b da b cbacd abc bac cab dab abd bad
8、cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb所有的排列为：组合排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc cdb dcb可分两步考虑：求P34PPC333434 34A求可分两步考虑：34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn
9、 nnnmCAm 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 mmmnmnCAA!()!mnnCm nm例例1 1计算：计算： 47C 710C32(3) , nnnCA已知求例例2求证：求证：11mmnnmCCnm 例例6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？解解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有
10、 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出 11人组成上场小组，共有种选法；第2步，从选出的 11 人中选出 1 名守门员，共有种选法所以教练员做这件事情的方法数有=136136（种）.1117C111C1111711CC1117C例例7（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？例例8在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 .(1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
