1、2022届天津市各区高三二模数学分类汇编专题十五 平面向量1. 【2022和平二模】如图.在平面四边形中，_；若点为边上的动点，则的最小值为_.2. 【2022南开二模】已知平行四边形中，则_；若，则的最大值为_3. 【2022河西二模】如图直角梯形中，在等腰直角三角形中，则向量在向量上的投影向量的模为_；若，分别为线段，上的动点，且，则的最小值为_4. 【2022河北二模】已知菱形ABCD的边长为2，点E，F分在边BC，CD上，若，则的最小值为_5. 【2022河东二模】在中，点M，N是线段上的两点，则_，的取值范围是_.6. 【2020红桥二模】已知为等边三角形，设点，满足，若，则（ ）A
2、. B. C. D. 7. 【2022滨海新区二模】在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图）.已知正六边形的边长为1，点M满足，则_；若点P是线段EC上的动点（包括端点），则的最小值是_.8. 【2022部分区二模】在中，则_，若是线段上的一个动点，则的最小值为_.9. 【2022耀华中学二模】如图，在中，分别为，的中点，为与的交点，且.若，则_；若，则_.10. 【2022天津一
3、中五月考】如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,|=2,E为BC边(包含端点)上一点,则|的取值范围是_,的最小值为_.专题十五 平面向量（答案及解析）1. 【2022和平二模】如图.在平面四边形中，_；若点为边上的动点，则的最小值为_.【答案】 . 2 . 【分析】利用余弦定理可求，设，利用数量积的运算律可用表示，利用二次函数的性质可求最小值.【详解】连接，因为，故，在中，故.所以，所以，所以，故，而，所以为等边三角形，故且，延长交的延长线于，则设，则，故，其中，故当时，有最小值.故答案为：.2. 【2022南开二模】已知平行四边形中，则_；若，则的最大值为_【答案】 .
4、 . 【分析】由求出，然后由平方后求得，把用表示后求数量积化为的函数可得最大值【详解】由已知，所以，所以，；因为，所以，所以时，取得最大值故答案为：；3. 【2022河西二模】如图直角梯形中，在等腰直角三角形中，则向量在向量上的投影向量的模为_；若，分别为线段，上的动点，且，则的最小值为_【答案】 . . #【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设，进而根据题意得，再根据坐标运算得，进而结合基本不等式求解即可.【详解】解：根据题意，如图，建立平面直角坐标系，因为，所以，所以，所以，向量在向量上的投影向量为，故其模为.因为，分别为线段，上的动点，所以，设， 所以，所
5、以，即，所以，所以，当且仅当，即时等号成立故答案为：；4. 【2022河北二模】已知菱形ABCD的边长为2，点E，F分在边BC，CD上，若，则的最小值为_【答案】【分析】由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合及基本不等式求得的最小值【详解】解：如图，且，由题意可得，则，（当且仅当时等号成立），的最小值为故答案为：5. 【2022河东二模】在中，点M，N是线段上的两点，则_，的取值范围是_.【答案】 . ； . .【分析】由题意，先算出的值，再根据，即可得的值；然后由向量数量积的定义及，可得，对点利用极端分析，算出，的值，即可得到的取值范围【详解】解：由题意，又，由题意，则为
6、外接圆的圆心，则.因为点在线段上，所以假设点与点重合，则，与矛盾，所以假设点与点重合，则，即，假设点与点重合，则，此时，综上，即，故答案为：；【点睛】关键点点睛：根据点在线段上，所以分点与三个特殊点、重合进行极端分析，从而求解.6. 【2020红桥二模】已知为等边三角形，设点，满足，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【分析】用、表示和，再根据平面向量数量积的定义可求出结果.【详解】,所以，得.故选：C.7. 【2022滨海新区二模】在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走
7、向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF（如图）.已知正六边形的边长为1，点M满足，则_；若点P是线段EC上的动点（包括端点），则的最小值是_.【答案】 . #0.5 . #-0.75【分析】根据题意，正六边形各边长为1，利用向量数量积即可求解；点是线段上的动点，故设，将用题目中已知向量表示，利用向量的线性运算及向量数量积进行求解.【详解】解：由题可知,.由题可知，点是线段上的动点，故设，又,故，故,又，故当时，取最小值为.8. 【2022部分区二模】在中，则_，若是线段上的一个动点，则的最小值为_.【答案】 . . 【分析】由，根据数量
8、积的运算律和数量积定义可求得，知为等边三角形，可得；设，由向量线性运算可将所求数量积化为，从而将所求数量积化为关于的二次函数的形式，利用二次函数最值的求法可求得结果.【详解】由，知：为中点，为靠近的三等分点；，解得：，；又，为等边三角形，；设，则当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题考查平面几何中的向量数量积最值的求解，解题关键是能够利用平面向量的线性运算将所求向量转化为夹角与模长已知的向量的数量积，从而将所求数量积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数最值求法可得结果.9. 【2022耀华中学二模】如图，在中，分别为，的中点，为与的交点，且.若，则_；若，则_.【答案】
9、. . 【分析】利用平面向量基本定理求解出及，进而利用平面向量的数量积运算法则进行计算.【详解】连接DF，因为，分别为，的中点，所以是ABC的中位线，所以，则，所以，所以；，故故答案为：，10. 【2022天津一中五月考】如图,菱形ABCD的边长为3,对角线AC与BD相交于O点,|=2,E为BC边(包含端点)上一点,则|的取值范围是_,的最小值为_.【答案】 . . .【分析】时，长度最短，与重合时，长度最长然后以)以O为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示直角坐标系，设出点坐标，把向量数量积用坐标表示后可求得最小值【详解】根据菱形性质可得OC,则BO.(1)作AFBC,则AF,此时AE最短,当E与C重合时,AE最长,故,即|;(2)以O为原点,BD所在直线为x轴建系如图:则A(0,)B(,0),C(0,),D(,0),所以BC:y,设E(m,)则,其中m对称轴为m,故当m时最小,最小值为.故答案为：；【点睛】本题考查向量的模和向量的数量积，向量模的范围可由几何图得出，而数量积的最值通过建立坐标系，用坐标运算把数量积表示一个函数，由函数知识求解这样只要计算即可
