1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.4 数列求和 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S2 10， S5 55，则 an 100 an 98 ( ) A 8n 6 B 4n 1 C 8n 3 D 4n 3 答案 A 解析 设等差数列 an的公差为 d，则 Sn na1 n n2 d，由 S2 10， S5 55，可得 ? 2a1 2 d 10，5a1 2 d 55，得? a1 3，d 4， 所以 an a1 (n 1)d 4n 1，则 an 100 an 98 2an 1 8n 6.故选 A. 2已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，
2、且满足 S33 S22 1，则数列 an的公差是 ( ) A 1 B 2 C 4 D 6 答案 B 解析 由 S33 S22 1 得 a1 a2 a33 a1 a22 a1 d 2a1 d2 d2 1，所以 d 2.故选 B. 3若两个等差数列 an和 bn的前 n 项和分别是 Sn， Tn，已知 SnTn 7nn 3，则 a5b5 ( ) A.23 B.278 C 7 D.214 答案 D 解析 a5b5 2a52b5 a1 a9b1 b9a1 a92b1 b92 S9T9 799 3 214.故选 D. 4已知函数 f(n)? n2，当 n为正奇数时， n2，当 n为正偶数时， 且 an
3、f(n) f(n 1)，则 a1 a2 a3 a100等于 ( ) A 0 B 100 C 100 D 102 答案 B 解析 由题意，得 a1 a2 a100 12 22 22 32 32 42 42 52 992 1002=【 ;精品教育资源文库 】 = 1002 1012 (1 2) (3 2) (99 100) (101 100) 100.故选 B. 5已知数列 an满足 an 1 12 an a2n，且 a1 12，则该数列的前 2018 项的和等于 ( ) A 1512 B 1513 C 1513.5 D 2018 答案 C 解析 因为 a1 12，又 an 1 12 an a2n
4、， 所以 a2 1，从而 a3 12， a4 1， 即得 an? 12， n 2k k N* ，1， n 2k k N* ，故数列的前 2018 项的和 S2018 1009 ? ?1 12 1513.5.故选 C. 6在数列 an中，已知对任意 n N*， a1 a2 a3 an 3n 1，则 a21 a22 a23 a2n等于 ( ) A (3n 1)2 B.12(9n 1) C 9n 1 D.14(3n 1) 答案 B 解析 因为 a1 a2 an 3n 1，所以 a1 a2 an 1 3n 1 1(n2) 则 n2 时，an 23 n 1. 当 n 1 时， a1 3 1 2，适合上式
5、，所以 an 23 n 1(n N*)则数列 a2n是首项为 4，公比为 9 的等比数列故选 B. 7设直线 nx (n 1)y 2(n N*)与两坐标轴围成的三角形面积为 Sn，则 S1 S2 S2017的值为 ( ) A.20142015 B.20152016 C.20162017 D.20172018 答案 D 解析 直线与 x轴交于 ? ?2n ， 0 ，与 y轴交于 ? ?0， 2n 1 ， Sn 12 2n 2n 1 1n n 1n 1n 1. 原式 ? ?1 12 ? ?12 13 ? ?12017 12018 1 12018 20172018.故选 D. 8已知 an为等比数列
6、， Sn是它的前 n 项和若 a3a5 14a1，且 a4与 a7的等差中项为 98，则 S5等于 ( ) A 35 B 33 C 31 D 29 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设等比数列 an的公比是 q，所以 a3a5 a21q6 14a1，得 a1q6 14，即 a7 14.又 a4 a7 2 98，解得 a4 2，所以 q3 a7a4 18，所以 q 12， a1 16，故 S5 a1 q51 q 16? ?1 1321 1231.故选 C. 9已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，则下列说法中一定成立的是 ( ) A若 a30，则 a20170，则 a2018
7、0，则 S20170 D若 a40，则 S20180 答案 C 解析 等比数列 an的公比 q0. 对于 A，若 a30，则 a1q20，所以 a10，所以 a2017 a1q20160，所以 A 不成立；对于 B，若 a40，则 a1q30，所以 a1q0，所以 a2018 a1q20170，所以 B 不成立；对于 C，若 a30，则 a1 a3q20，所以当 q 1 时， S20170，当 q1 时， S2017 a1 q20171 q 0(1 q 与 1 q2017同号 )，所以 C 一定成立，易知 D 不一定成立故选 C. 10 (2017 江西九校联考 )已知数列 an是等比数列，数
8、列 bn是等差数列，若 a1 a6 a11 3 3， b1 b6 b11 7 ，则 tan b3 b91 a4 a8的值是 ( ) A 1 B. 22 C 22 D 3 答案 D 解析 an是等比数列， bn是等差数列， 且 a1 a6 a11 3 3， b1 b6 b11 7 ， a36( 3)3,3b6 7 ， a6 3， b6 73 ， tan b3 b91 a4 a8 tan 2b61 a26 tan2 731 3 2tan? ? 73 tan? ? 2 3 tan 3 3.故选 D. 二、填空题 11 Sn 1 11 111 _. 答案 10n 1 9n 1081 =【 ;精品教育资
9、源文库 】 = 12数列 an满足： a1 43，且 an 1 n an3an n(n N*)，则 1a1 2a2 3a3 2018a2018_. 答案 201723 134 2018 解析 由题意可知 n 1an 1 34 14 nan?n 1an 1 1 14? ?nan 1 ，又 1a1 1 14，所以数列 ? ?nan 1是以 14为首项，以 14为公比的等比数列，所以 nan 1 14n， 所以 1a1 2a2 3a3 nan n14?1 14n1 14 n 13 13 14n， 则 1a1 2a2 3a3 2018a2018 2018 13 13 142018 201723 134
10、 2018. 13设 f(x) 12x 2，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 f(5) f( 4) f(0) f(5) f(6)的值为 _ 答案 3 2 解析 6 ( 5) 1， f( 5)， f( 4)， ， f(5)， f(6)共有 11 1 12 项 由 f( 5)， f(6)； f( 4)， f(5)； ； f(0)， f(1)共有 6 对，且该数列为等差数列 又 f(0) f(1) 11 2 12 2 11 2 12 2 2 12 2 12 22 ， f( 5) f( 4) f(6) 6 22 3 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 14已知数列 an的各项
11、均为正整数，其前 n 项和为 Sn，若 an 1? an 12 ， an是奇数，3an 1， an是偶数且 S3 10，则 S2016 _. 答案 6720 解析 当 a1为奇数时， a2 a1 12 ，此时若 a2为奇数，则 a3 a2 12 a1 12 12 a1 34 ， S3 a1 a1 12 a1 34 7a1 54 10，解得 a1 5，此时数列 an为 5,3,2,5,3,2， . 当 a1为奇数时， a2 a1 12 ，此时若 a2为偶数，则 a3 3a2 1 a12 1 3a1 12 ， S3 a1 a1 12 3a1 12 3a1 1 10，解得 a1 3，此时数列 an为
12、 3,2,5,3,2,5， .当 a1为偶数时， a2 3a1 1，此时 a2为奇数，则 a3 a2 12 a1 12 3a12 ， S3 a13a1 1 3a12 112a1 1 10，解得 a1 2，此时数列 an为 2,5,3,2,5,3， . 上述三种情况中，数列 an均为周期数列 6723 2016， S2016 672S3 6720. B 级 三、解答题 15已知 Sn是数列 an的前 n 项和，且满足 Sn 2an n 4. (1)证明： Sn n 2为等比数列； (2)求数列 Sn的前 n 项和 Tn. 解 (1)证明：由题意知 Sn 2(Sn Sn 1) n 4(n2) ，即
13、 Sn 2Sn 1 n 4， 所以 Sn n 2 2Sn 1 (n 1) 2， 又易知 a1 3，所以 S1 1 2 4， 所以 Sn n 2是首项为 4，公比为 2 的等比数列 (2)由 (1)知 Sn n 2 2n 1， 所以 Sn 2n 1 n 2， 于是 Tn (22 23 2n 1) (1 2 n) 2n 2n1 2 n n2 2n2n 3 n2 3n 82 . 16已知各项均为正数的数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 a2n 1 2Sn n 4， a2 1， a3，a7恰为等比数列 bn的前 3 项 (1)求数列 an， bn的通项公式； (2)若 cn log2bnbn 1a
14、nan 1，求数列 cn的前 n 项和 Tn. 解 (1)因为 a2n 1 2Sn n 4，所以 a2n 2Sn 1 n 1 4(n2) ，两式相减得 a2n 1 a2n=【 ;精品教育资源文库 】 = 2an 1，所以 a2n 1 a2n 2an 1 (an 1)2， 所以 an 1 an 1. 又 a23 (a2 1)a7，所以 (a2 1)2 (a2 1)(a2 5)，解得 a2 3，又 a22 2a1 1 4，所以a1 2，所以 an是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列，所以 an n 1.故 b1 2， b2 4， b3 8，所以 bn 2n. (2)由 (1)得， cn n2n
15、 1n n ， 故 Tn c1 c2 cn ? ?12 24 n2n ? 123 134 ?1n n . 设 Fn 12 24 n2n，则 12Fn 122 223 n2n 1，作差得 12Fn 12 122 12n n2n 1， 所以 Fn 2 n 22n . 设 Gn 123 134 1n n 12 13 13 14 1n 1 1n 2 12 1n 2，所以 Tn 2 n 22n ? ?12 1n 2 32 n 22n 1n 2. 17 (2017 山东高考 )已知 an是各项均为正数的等比数列，且 a1 a2 6， a1a2 a3. (1)求数列 an的通项公式； (2)bn为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n 1 bnbn 1，求数列 ? ?bnan的前 n项和 Tn. 解 (1)设 an的公比为 q， 由题意知 a1(1 q) 6， a21q a1q2， 又 an0，由以上两式联立方程组解得 a1 2， q 2， 所以 an 2n. (2)由题意知 S2n 1 n b1 b2n 12 (2n 1)
