1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.3 二项式定理 基础送分 提速狂刷练 一、选择题 1 (2018 广东测试 )? ?x2 12x 6的展开式中，常数项是 ( ) A 54 B.54 C 1516 D.1516 答案 D 解析 Tr 1 Cr6(x2)6 r? ? 12x r ? ? 12 rCr6x12 3r，令 12 3r 0，解得 r 4. 常数项为 ? ? 124C461516.故选 D. 2 (2018 福建厦门联考 )在 ? ?1 x 1x2018 10的展开式中， x2的系数为 ( ) A 10 B 30 C 45 D 120 答案 C 解析 因为 ? ?1 x 1x201
2、8 10 ? ? x 1x2018 10 (1 x)10 C110(1 x)9 1x2018 C1010? ?1x201810，所以 x2只 出现在 (1 x)10的展开式中，所以含 x2的项为 C210x2，系数为 C210 45.故选 C. 3已知 (1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 答案 D 解析 由二项式定理得 (1 x)5 的展开式的通项为 Tr 1 Cr5 xr，所以当 r 2 时， (1ax)(1 x)5的展开式中相应 x2的系数为 C25，当 r 1 时，相应 x2的系数为 C15 a，所以 C25 C15 a
3、5， a 1，故选 D. 4 (2018 河南百校联盟模拟 )(3 2x x4)(2x 1)6 的展开式中，含 x3 项的系数为 ( ) A 600 B 360 C 600 D 360 答案 C 解析 由二项展开式的通项公式可知，展开式中含 x3 项的系数为 3C 3623( 1)3 2C 2622( 1)4 600.故选 C. 5若 ? ?x ax ? ?2x 1x 5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式的常数项为 ( ) A 40 B 20 C 20 D 40 答案 D 解析 令 x 1，得 (1 a)(2 1)5 2， a 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ?2x 1x 5
4、的通项为 Tr 1 Cr5(2 x)5 r ? ? 1x r ( 1)r2 5 rC r5 x5 2r. 令 5 2r 1，得 r 2.令 5 2r 1，得 r 3. 展开式的常数项为 ( 1)22 3C 25 ( 1)32 2C 35 80 40 40.故选 D. 6在?x2 13xn的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则展开 式中的常数项是 ( ) A 7 B 7 C 28 D 28 答案 B 解析 由题意知 n 8， Tr 1 C r8 ? ?x2 8 r? 13xr ( 1)rC r8 x8 r28 r ( 1)rC r8 ， 由 8 r r3 0，得 r 6. T7 C68 1
5、22 7，即展开式中的常数项为 T7 7.故选 B. 7 (2018 石家庄模拟 )若 ? ?x2 1ax 9(a R)的展开式中 x9的系数是 212 ，则 ?0asinxdx 的值为 ( ) A 1 cos2 B 2 cos1 C cos2 1 D 1 cos2 答案 A 解析 由题意得 Tr 1 Cr9( x2)9 r( 1)r ? ?1ax r ( 1)r Cr9 x18 3r 1ar，令 18 3r9，得 r 3，所以 C39 1a3 212 ，解得 a 2.所以 ?0asinxdx ( cosx)20 cos2 cos0 1 cos2.故选 A. 8设 a Z，且 0 a13，若
6、512018 a 能被 13 整除，则 a ( ) A 0 B 1 C 11 D 12 答案 D 解析 512018 a (52 1)2018 a 522018 C1201852 2017( 1) C2017201852( 1)20171 a， 522018能被 13 整除， 只需 a 1 能被 13 整除即可， a 12.故选 D. 9 (2018 合肥质检 )若 (x 2 m)9 a0 a1(x 1) a2( x 1)2 a9(x 1)9，且 (a0=【 ;精品教育资源文库 】 = a2 a8)2 (a1 a3 a9)2 39，则实数 m 的值为 ( ) A 1 或 3 B 1 或 3 C
7、 1 D 3 答案 A 解析 令 x 0，得到 a0 a1 a2 a9 (2 m)9，令 x 2，得到 a0 a1 a2 a3 a9 m9，所以有 (2 m)9m9 39，即 m2 2m 3，解得 m 1 或 m 3.故选 A. 10 (2017 淮北模拟 )已知在?3 x 123 xn的展开式中 ，第 6 项为常数项，则展开式中所有的有理项共有 ( ) A 5 项 B 4 项 C 3 项 D 2 项 答案 C 解析 Tr 1 Crnxn r3? 123 xr Crn? ? 12 rx ，由第 6 项为常数项 ，得当 r 5 时，n 2r3 0，得 n 10.令10 2r3 k Z，则 10
8、2r 3k，即 r 532k，故 k 应为偶数又0 r10 ，故 k 可取 2,0， 2，即 r 可取 2,5,8.故第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，故选C. 二、填空题 11 (2014 安徽高考 )设 a0 ， n 是大于 1 的自然数， ? ?1 xa n的展开式为 a0 a1x a2x2 anxn.若点 Ai(i， ai)(i 0,1,2)的位置如图所示，则 a _. 答案 3 解析 根据 题意知 a0 1， a1 3， a2 4，结合二项式定理得? C1n 1a 3，C2n 1a2 4，即=【 ;精品教育资源文库 】 = ? n 1 83a，n 3a，解得 a 3. 12
9、若 ? ?ax2 bx 6的展开式中 x3的系数为 20，则 a2 b2的最小值为 _ 答案 2 解析 因为二项式 ? ?ax2 bx 6展开后第 k 项为 Ck 16 ( ax2)7 k? ?bx k 1 Ck 16 a7 kbk 1x15 3k，所以当 k 4 时，可得 x3的系数为 20a3b3，即 20a3b3 20，得 ab 1.故 a2 b22 ab 2，当且仅当a b 1 时等号成立，此时 a2 b2取得最小值 2. 13在 (1 x)6(1 y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m， n)，则 f(3,0) f(2,1)f(1,2) f(0,3) _. 答案 120 解
10、析 (1 x)6展开式的通项公式为 Tr 1 Cr6xr， (1 y)4展开式的通项公式为 Th 1 Ch4yh， (1 x)6(1 y)4展开式的通项可以为 Cr6Ch4xryh. f(m， n) Cm6Cn4. f(3,0) f(2,1) f(1,2) f(0,3) C36 C26C14 C16C24 C34 20 60 36 4 120. 14 (2017 江西赣州十四县联考 )若 ? ?x 13x n的展开式中前三项的系数分别为 A， B， C，且满足 4A 9(C B)，则展开式中 x2的系数为 _ 答案 5627 解析 易得 A 1， B n3， C C2n9n n18 ，所以有
11、4 9?n2 n18 n3 ，即 n2 7n 8 0，解得 n 8 或 n 1(舍 )在 ? ?x 13x 8中，因为通项 Tr 1 Cr8x8 r ? ?13x r Cr83rx8 2r，令 8 2r2，得 r 3，所以展开式中 x2的系数为 5627. 三、解答题 15 (2018 三亚模拟 )已知 fn(x) (1 x)n. (1)若 f2019(x) a0 a1x a2019x2019，求 a1 a3 a2017 a2019的值； (2)若 g(x) f6(x) 2f7(x) 3f8(x)，求 g(x)中含 x6项的系 数 解 (1)因为 fn(x) (1 x)n， 所以 f2019(
12、x) (1 x)2019， 又 f2019(x) a0 a1x a2019x2019， 所以 f2019(1) a0 a1 a2019 22019， f2019( 1) a0 a1 a2017 a2019 0， 得 2(a1 a3 a2017 a2019) 22019， 所以 a1 a3 a2017 a2019 22018. (2)因为 g(x) f6(x) 2f7(x) 3f8(x)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 g(x) (1 x)6 2(1 x)7 3(1 x)8. g(x)中含 x6项的系数为 C66 2C67 3C68 99. 16已知 ? ?12 2x n， (1)若展
13、开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数； (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项 解 (1)因为 C4n C6n 2C5n，所以 n2 21n 98 0，得 n 7 或 n 14. 当 n 7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5. T4的系数为 C37? ?12 423 352 ， T5的系数为 C47? ?12 324 70. 当 n 14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8， T8的系数为 C714? ?12 727 3432. (2) C0n C1n C2n 79， n2 n 156 0， n 12 或 n 13(舍去 ) 设 Tk 1项的系数最大， ? ?12 2x 12 ? ?12 12(1 4x)12， ? Ck124kC k 112 4k 1，Ck124kC k 112 4k 1， 解得 475 k 525. k N， k 10， 展开式中系数最大的项为 T11， T11 C1012 ? ?12 22 10 x10 16896x10.
