1、4.2.2对数运算法则1.1.积、商、幂的对数积、商、幂的对数若若a0,a0,且且a1,M0,N0,a1,M0,N0,则有则有(1)(1)积的对数积的对数: :logloga a(MN)=log(MN)=loga aM+logM+loga aN N. .(2)(2)商的对数商的对数: :logloga a_=log=loga aM-logM-loga aN N. .(3)(3)幂的对数幂的对数: :logloga aM Mn n=nlog=nloga aM M. .MN【思考思考】 在积的对数运算性质中在积的对数运算性质中, ,三项的乘积式三项的乘积式logloga a( (MNQMNQ) )
2、是否是否适用适用? ?你可以得到一个什么样的结论你可以得到一个什么样的结论? ?提示提示: :适用适用,log,loga a( (MNQMNQ)=log)=loga aM+logM+loga aN+logN+loga aQ,Q,积的对数运积的对数运算性质可以推广到算性质可以推广到n n项的乘积项的乘积. .2.2.换底公式换底公式若若a0,a0,且且a1,c0,a1,c0,且且c1,b0,c1,b0,则有则有logloga ab=b=_. .cclog blog a【思考思考】(1)(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式形式? ?提示
3、提示: :logloga ab= ,logb= ,loga ab= .b= .(2)(2)你能用换底公式推导出结论你能用换底公式推导出结论 loglogN NM M吗吗? ?提示提示: : loglogN NM.M. lg blg aln bln anmNmlog MnnmmnNlg Mmlg Mm lg Mmlog Mlg Nnlg Nn lg Nn【素养小测素养小测】 1. 1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)lg(x+y)=lg x+lg y.(1)lg(x+y)=lg x+lg y.( () )(2)log(2)log2 2(16-8)=lo
4、g(16-8)=log2 216-log16-log2 28.8.( () )(3)(3) =log=log4 48.8. ( () )22log 8log 4提示提示: :(1)(1). .令令x=y=1,x=y=1,则则lg(x+y)=lg 2lg 1=0,lg(x+y)=lg 2lg 1=0,而而lg x+lg y=0,lg x+lg y=0,不成立不成立. .(2)(2). .等式的左边等式的左边=log=log2 2(16-8)=log(16-8)=log2 28=3,8=3,右边右边=log=log2 216-log16-log2 28=4-3=1.8=4-3=1.(3).(3).
5、由换底公式知正确由换底公式知正确. .2.2.以下运算正确的是以下运算正确的是( () )A.lg 2A.lg 2lg 3=lg 6lg 3=lg 6B.(lg 2)B.(lg 2)2 2=lg 4=lg 4C.lg 2+lg 3=lg 5C.lg 2+lg 3=lg 5D.lg 4-lg 2=lg 2D.lg 4-lg 2=lg 2【解析解析】选选D.lg 2+lg 3=lg 6,lg 2+lg 2=lg 4,lg 4-D.lg 2+lg 3=lg 6,lg 2+lg 2=lg 4,lg 4-lg 2=lg 2.lg 2=lg 2.3.log3.log6 69+log9+log6 64=4=
6、( () )A.logA.log6 62 2B.2B.2C.logC.log6 63 3D.3D.3【解析解析】选选B.logB.log6 69+log9+log6 64=log4=log6 636=2.36=2.类型一利用对数运算法则化简类型一利用对数运算法则化简【典例典例】用用lg x,lg y,lg zlg x,lg y,lg z表示下列各式表示下列各式: :(1)lg(xyz).(2)lg(1)lg(xyz).(2)lg .(3)lg.(3)lg .(4)lg.(4)lg . .2xyz3xyz2xy z【思维思维引引】利用积、商、幂的对数展开利用积、商、幂的对数展开. .【解析解析】
7、(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.(1)lg(xyz)=lg x+lg y+lg z.(2)lg(2)lg =lg(xy=lg(xy2 2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.)-lg z=lg x+2lg y-lg z.(3)lg(3)lg =lg(xy=lg(xy3 3)-lg)-lg =lg x+3lg y-=lg x+3lg y- lg z.lg z.(4)lg(4)lg =lg=lg -lg(y-lg(y2 2z)=z)= lg x-2lg y-lg z.lg x-2lg y-lg z.2xyz3xyz2xy zz1212x【内化内化悟悟】利用对数运算法则化
8、简的一般顺序是什么利用对数运算法则化简的一般顺序是什么? ?提示提示: :先商先商, ,再积再积, ,最后幂最后幂. .【类题类题通通】关于对数式的化简关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征首先观察式子的结构、层次特征, ,确定化简的顺序确定化简的顺序, ,其其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开. .【习练习练破破】1.1.如果如果lg 2=m,lg 3=n,lg 2=m,lg 3=n,则则 等于等于( () )lg 12lg 152m nm 2nA. B.1 m n1 m n2m nm 2nC. D.1 m n1 m n【解析解析】选选C.C.
9、因为因为lg 2=m,lg 3=n,lg 2=m,lg 3=n,所以所以 lg 122lg 2 lg 32m n2m n.lg 15lg 3 lg 5n 1 lg 2n 1 m 2.2.化简化简 . .2a3xylogz【解析解析】因为因为 00且且x x2 20, 0,0, 0,所以所以y0,z0.y0,z0.logloga a =log=loga a(x(x2 2 )-log)-loga a =log=loga ax x2 2+log+loga a -log-loga a =2log=2loga a|x|+|x|+ logloga ay-y- logloga az.z.23xyzy23xy
10、zy12133zy3z【加练加练固固】已知已知y0,y0,化简化简logloga a . .【解析解析】因为因为 0,y0,0,y0,所以所以x0,z0.x0,z0.所以所以logloga a =log=loga a -log-loga a(yz)=(yz)= logloga ax-logx-loga ay-y-logloga az.z. xyzxyzxyz12x类型二利用对数运算法则求值类型二利用对数运算法则求值【典例典例】1.(20191.(2019昌吉高一检测昌吉高一检测) )计算计算lg 2+lg 5+lg 2+lg 5+2log2log5 510-log10-log5 52020的值
11、为的值为 ( () )A.21A.21B.20B.20C.2C.2D.1D.12.2.计算计算lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg ) )2 2+lg+lg + +lg 0.06.lg 0.06.世纪金榜导学号世纪金榜导学号3216【思维思维引引】1.1.逆用对数的运算法则合并求值逆用对数的运算法则合并求值. .2. 2. 综合利用对数的运算性质求值综合利用对数的运算性质求值. .【解析解析】1.1.选选C.lg 2+lg 5+2logC.lg 2+lg 5+2log5 510-log10-log5 52020=1+log=1+log5
12、 5 =1+1=2. =1+1=2.100202.2.原式原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2)2 2-lg 6+lg 6-2-lg 6+lg 6-2=3lg 5=3lg 5lg 2+3lg 5+3(lg 2)lg 2+3lg 5+3(lg 2)2 2-2-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.=3lg 2+3lg 5-2=3(lg 2+lg 5)-2=1.【内化内化悟悟】1.lg 21.lg 2与与lg 5lg
13、5之间有何关系之间有何关系? ?提示提示: :lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2.lg 2+lg 5=1,lg 2=1-lg 5,lg 5=1-lg 2.2.2.应用对数运算性质求值时关键是什么应用对数运算性质求值时关键是什么? ?提示提示: :关键是对数的底数应该相同关键是对数的底数应该相同, ,才能利用性质合并才能利用性质合并计算计算. . 【类题类题通通】利用对数运算求值的方法利用对数运算求值的方法(1)“(1)“收收”, ,将同底的两对数的和将同底的两对数的和( (差差) )收成积收成积( (商商) )的对的对数数. .(2)“(2)“拆拆”, ,将
14、积将积( (商商) )的对数拆成同底的两对数的和的对数拆成同底的两对数的和( (差差).).【习练习练破破】1.(lg 5)1.(lg 5)2 2+lg 2+lg 2lg 5+lg 2=_.lg 5+lg 2=_.【解析解析】原式原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=lg 10=1.lg 10=1.答案答案: :1 12.2.计算计算: : +lg 4+lg 25. +lg 4+lg 25.【解析解析】原式原式= ( )= ( )6 6+2lg 2+2lg 5=6+2(lg 2+2lg 2+2lg 5=
15、6+2(lg 2+lg 5)=8.+lg 5)=8.3log 273log3【加练加练固固】求下列各式的值求下列各式的值(1) (1) +2lg 2+lg 25.+2lg 2+lg 25.(2)log(2)log2 2 +log+log2 212-12- loglog2 242.42.(3)(3) 1364748122lg 4 lg 9.111lg 0.36lg 823【解析解析】(1)(1)原式原式= = +lg 4+lg 25=+lg 4+lg 25= +lg 100=+lg 100=133(4 )14192.44 (2)(2)原式原式= = (log(log2 27-log7-log2
16、248)+log48)+log2 23+2log3+2log2 22-2- (log(log2 22+log2+log2 23+log3+log2 27)7)= = loglog2 27-7- loglog2 23-3- loglog2 216+16+ loglog2 23+2-3+2- loglog2 27-7- 1212121212121211.22(3)(3)原式原式= = =2. =2. 2lg 4 lg 92lg 122lg 12111 lg 0.6 lg 2lg 121lg 0.36lg 823类型三换底公式的应用类型三换底公式的应用角度角度1 1化简求值化简求值【典例典例】设设l
17、oglog3 34log4log4 48log8log8 8m=logm=log4 416,16,则则m m的值是的值是 世纪金榜导学号世纪金榜导学号( () )A.A. B.9B.9C.18C.18D.27D.2712【思维思维引引】利用换底公式利用换底公式, ,换成常用对数求值换成常用对数求值. .【解析解析】选选B.B.因为因为loglog3 34 4loglog4 48 8loglog8 8m m所以所以lg m= lg m= lg 3=lg 3lg 3=lg 32 2, ,解得解得m=9.m=9.42lg 2 3lg 2 lg mlg m4lg 2log 16lg 3 2lg 2 3
18、lg 2lg 32lg 2，4lg 22lg 2【素养素养探探】在应用换底公式化简求值的过程中在应用换底公式化简求值的过程中, ,常常用到核心素养常常用到核心素养中的数学运算中的数学运算, ,先根据条件恰当换底先根据条件恰当换底, ,再化简运算再化简运算. .将本例变为将本例变为: :化简化简loglog3 34log4log4 48log8log8 816log16log161627.27.【解析解析】原式原式= =3.= =3.lg 4 lg 8 lg 16 lg 27lg 27lg 3 lg 4lg 8lg 16lg 3角度角度2 2证明等式证明等式【典例典例】(2019(2019大连高
19、二检测大连高二检测) )若若4 4m m=9=9n n=6,=6,求证求证: : =2.=2.11m n【思维思维引引】用对数式表示出用对数式表示出m,n,m,n,再利用对数换底公再利用对数换底公式证明式证明. .【证明证明】由由4 4m m=9=9n n=6,=6,得得m=logm=log4 46,n=log6,n=log9 96,6,即即 =log=log6 64, =log4, =log6 69,9,所以所以 =log=log6 64+log4+log6 69=log9=log6 636=2.36=2.11m n1m1n【类题类题通通】换底公式的应用换底公式的应用(1)(1)一般利用常用
20、对数或自然对数进行化简求值一般利用常用对数或自然对数进行化简求值. .(2)(2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用注意指数式与对数式的互化在求值中的应用. .(3)(3)注意一些常见结论的应用注意一些常见结论的应用, ,如对数的倒数公式如对数的倒数公式 =log=logb ba.a.a1log b【习练习练破破】1.1.计算计算:(log:(log3 32+log2+log3 35)lg 9=5)lg 9=( () )A.1A.1B.2B.2C.lg 3C.lg 3D.2lg 7D.2lg 7【解析解析】选选B.(logB.(log3 32+log2+log3 35)lg 9=log5)
21、lg 9=log3 310lg 910lg 9= = 2lg 3=2.2lg 3=2.lg 10lg 32.2.已知已知2 2x x=5=5y y=t,=t, =2,=2,则则t=t=( () )A.A. B.B. C.C. D.100D.10011xy110010110【解析解析】选选C.C.因为因为2 2x x=5=5y y=t0,t1,=t0,t1,所以所以x= ,y= ,x= ,y= ,代入代入 =2,=2,所以所以 =2,=2,所以所以ln 10=ln tln 10=ln t2 2, ,所以所以t t2 2=10,=10,则则t= .t= .ln tln 2ln tln 511xyln 2 ln 5ln tln t10【加练加练固固】若实数若实数a,ba,b满足满足3 3a a=4=4b b=12,=12,则则 = = ( () )A.A. B.B. C.C. D.1D.1【解析解析】选选D.3D.3a a=4=4b b=12,=12,即有即有a=loga=log3 312,b=log12,b=log4 412,12,则则 =log=log12123+log3+log12124=log4=log121212=1.12=1. 1 1ab121516341111ablog 12 log 12
