1、深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院数学参考答案与评分标准 第1页（共11页） 2022 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学 参考答案与评分标准 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A D A B C 说明与略解： 1选择 C最简形式的一元二次不等式求解，并集意义和区间表示法；亦可特值检验之2选择 C两边取模，利用模的性质求解；或视为关于的方程解之；亦可设的代数形式求之 3选择 D逆向利用向量加法的三角形法则（ “尾首相接，首尾相连” ）和向量的坐标运
2、算性质， ；亦可先求点坐标，再得向量坐标 4选择 A利用间接法，得样本中服务时长超过 32 小时的个体频率， 由样本估计总体， 得总体中服务时长超过 32 小时的个体数（万人）；亦可由先求得，再利用直接法 5选择 D从极限角度理解，得，所以；亦可利用球的表面积和体积公式，得，得 6选择 A由，得的最小正周期，所以；亦可以通过对的图象进行伸缩变换，结合周期性意义，得 7选择 B如图，作出三次曲线，利用其凹凸性和 对称性，直观想象得出结论：当点位于轴右侧 时，当且仅当该点在轴（过对称中心的切线）上方， 且在曲线下方时，过点可以作曲线的三条切线， 即；亦可以设切线方程为， 切点为，由消去整理， 得令
3、，则，容易知的单调性及，所以有三条切线 8 选择 C 如图， 设直线 交抛物线的准线于点， 过点分别作准线的垂线， 垂足为 记，因为，利用抛物线的定义，由相似三角形“型图”， zzACABBC=+(2,3)(0,1)( 3,1)( 1,3)=+ = CAC14 (0.0050.040.09)= +0.46=7.2 0.463.3123.3=4 (0.0050.0400.0900.065)1a+=0.050a=13SrV =球球133VrV =球球3r =234433rr=3r =cos1(0)2= 2k=(,0)kkZ( )f x2|Tk=maxT=cosyx=maxT=3yx=( , )a
4、byx( , )a b30ba()yk xab=+300(,)xx30020(),3k xabxkx+=k3200230 xaxb+=32( )23g xxaxb=+( )6 ()g xx xa=( )g x ( )(0)0g xgb=极大值3 ( )( )0g xg aba=极小值30balC,A B,AB|FBa=|BCc=| 3|FAFB=AxyO( , )P a bABC3yx=深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第2页（共11页） 得，结合对称性，得直线 的倾斜角为或； 亦可以设 方程为，由 得，而， 所以， ，直线 的斜率，倾斜角等于或 二、多项选择
5、题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 12 答案 ACD ACD AD ACD 说明与略解： 9选择 ACD因为点平面，所以过点且与平面平行的 平面存在且唯一，设这个平面为因为平面，所以直线 利用两个平面平行的性质定理，容易证明：平面截正方体 所得的截面是正六边形，其中分别是棱 的中点；亦可利用线面平行的判定定理证明 10选择 ACD是标准正态分布的概率分布函数，由标准正态曲线的性质，易知：若， 则， A 正确； 因为时，与矛盾，B 不正确； 因为是上
6、的增函数，所以在上是增函数，C 正确； 若，则 ，D 正确 11 选择 AD 分别取，和， 可以得到， A 正确；，B 不正确；， 不正确； 在等式 两边对求导后，再取，得，正确 12 选择 ACD 利用平几知， 而的取值范围是， 所以，A 正确，B 不正确；设，则“切点弦”直线1433cacaa=+2ca=60CBB=l60120l2pxmy=+1122(,),(,)A xyB xy2,22.pxmyypx=+=2220ypmyp=122122,.yypmy yp+= |3|FAFB=123yy= 12221222,3.yyyy yy+= = 212123()40yyy y+=2221240
7、p mp=33m=l3k =60120E1ACDE1ACD/EF1ACDEF12345EFF F F F12345,FFFFF111111,BC CCC DD AA A( )()f xP Xx=0 x()()()fxP XxP Xx= =()( )()()1fxf xP XxP Xx+=+=0 x1( )()2f xP Xx=(2 )2 ( )1fxf x=(2 )1fx ( )f xR( )f x(0,)+0 x(|)()P XxPxXx= 12()2P Xx=12 ()fx= 2 ( ) 1f x=0 x=1x =1x=802a =123aaa+881 2a+= 123|aaa+88| 3
8、a+=82012(2) xaa xa x=+88a x+x1x =12323aaa+888a+= 21| 2 1|ABOP=1sin2|APBOP=|OP2,)+min|3AB=max()60APB=( , 2)P tABABCD1B1CE1A1D1F2F3F4F5FxyOABFCAB3aaa3acxyOx( )()f xP Xx=x深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第3页（共11页） 的方程，所以直线过定点，正确；结合垂径定理和圆的定义可得中点在以线段为直径的定圆上，D 正确 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 14 15 1
9、6 说明与略解： 13填利用二倍角余弦公式，得，亦可以直接利用万能公式 14 填 由， 得； 亦可以构造函数，利用导数研究单调性再求出最小值 15 填 显然是偶函数的一个必要条件是， 容易验证时，是偶函数（充分性） ；亦可以利用恒等式，化简得恒等式，所以 16填直线与双曲线的交点 坐标为，与渐近线的交点坐标为 图形被直线所截得的两条线段与轴垂直， 它们分别是， 将它们绕轴旋转一周，形成的旋转面是一个由圆心在， 半径分别为和的两个圆围成的圆环，其面积 由于是与无关的常数， 根据祖暅原理， 构造一个底面积为， 高为的柱体，则该柱体的体积与图形绕轴旋转一周，形成的旋转体的体积相等，即 四、解答题：本
10、题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17解： （1）， 2 分 整理，得， 又， 4 分 所以，数列是首项为 3，公比为 2 的等比数列 的通项公式为， 5 分 （2）由（1）知：数列是首项为，公比为的等比数列 21txy+=AB1(0,)2MABOM45912, 44522222222cossin1tancos2cossincossin1tan=+901x14141414(1)55291111xxxxxxxxxxxxxx+=+=+=12( )f x( 1)(1)ff=1ln1ln(e 1)ekk+=+12k =12k =22( )ln(ee)xxf x=+
11、()( )fxf x=2kxx=12k = , 4( 22)ytt= 221xy=2(1, )tt+yx=(, )t tG( 22)ytt= y2(1| |,22)yttxtt=+ 2(| |1,22)yttxtt=+ y(0, ) t| | t21t+222( 1)Stt=+=St( 22)t 4Gy4V =23nnSa=111(23)(23)nnnnnaSSaa+=12nnaa+=n+N11123aSa=13a =nana13 2nna= n+N1na1312xyO22深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第4页（共11页） 7 分 整理，得又， 9 分 所以
12、，满足条件的最大整数 10 分 18证明： （1） （法 1），根据正弦定理，得， 2 分 4 分 而， 或，即（舍去）或 所以 6 分 （法 2），根据余弦定理，得，2 分 ， 从而， 4 分 又， 所以 6 分 解： （2） （法 1），又由（1）知， 根据正弦定理，得， 8 分 ， ， ， 10 分 所以，的面积 12 分 （法 2），根据余弦定理，得， 将，代入，得， 8 分 ， 1211aa+12113(1)3220nna+=240nn+N1, 2,3, 4,5n =5n=2 cosacbA+ =sinsin2sincosACBA+=sin2sincossin()2sincos(si
13、ncoscossin )ABAABBAABAB=+=+sincoscos sinBABA=sin()BA=0ABA ()ABA+=ABA=B=2BA=2BA=2 cosacbA+ =22222bcaacbbc+=22baac=+222222()cos222acbacaaccaBacaca+=22222cos22cos1212bcaAAbc+= =222 222()112()22aaccaaccaaac caa+= = =+coscos2BA=0Bcos02acAb+=02A02A2BA=4a=6b=2BA=46sinsin2AA=46sin2sincosAAA=3cos4A=2237sin1c
14、os1=44AA=2231coscos22cos12148BAA= = =2213 7sin1cos1=88BB=7133 75 7sinsin()sincoscossin484816CABABAB=+=+=+=ABC115 715 7sin4 622164SabC= =2 cosacbA+ =22222bcaacbbc+=22baac=+4a=6b=22644c=+5c=2222224659cos224 616abcCab+= 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第5页（共11页） 10 分 所以，的面积 12 分 说明：其它解法，类比给分 19证明： （1）
15、平面，平面， 2 分 又底面为正方形， 又， 平面， 又 4 分 6 分 解： （2） （法 1）设正方形的边长为， 取的，的中点， 由（1）知两两垂直 以为原点，分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系（如图） ，则 ， ， ，8 分 设平面的法向量，则， 取，得， 平面的一个法向量为 10 分 记与平面所成的角为，则 所以与平面所成角的正弦值为 12 分 （法 2）分别取的中点， 连结是中点，是正方形， ，且，又，且， ，且，从而为平行四边形， 2295 7sin1cos11616CC=ABC115 715 7sin4 622164SabC= =AM PCDCDPCDAMCDABCDCDAD
16、CDAMCDADAMADA=AMPAD平面ADPAD平面CDPADCDABCD平面PADABCD平面平面ABCD2aADOBCQ,OA OQ OPO,OA OQ OPxyzOxyz( ,0,0)A a( ,2 ,0)B aa(, 2 ,0)Caa(,0,0)Da(0,0,3 )Pa13(,0,)22Maa33(,0,)22AMaa= ( ,2 ,3 )PBaaa=(,2 ,3 )PCaaa= PBC( , )x y z=n0PB=n0PC=n230,230.axayazaxayaz+=+=2z =0 x=3y =PBC(0,3 ,2)=nAMPBC22222233|0032|722sin|co
17、s,|7|3300( 3)222AMAMAM + +=+nnnAMPBC77,AB PC AD,E F N,EF EC FM PNMPDABCD/MFDC12MFDC=/AEDC12AEDC=/MFAEMFAE=AEFM/EFAMxyzOPABCDMQPABCDMFNE深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第6页（共11页） 与平面所成角与与平面所成角相等 8 分 侧面是正三角形，是中点， 而平面平面，平面 设正方形的边长为，三棱锥的高为， 则， 由，得， 10 分 又，记与平面所成的角为，则 所以与平面所成角的正弦值为 12 分 20解： （1）第一场比赛，业余
18、队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为 ； 2 分 第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为 4 分 ， 所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛 5 分 （2）由己知万元，或万元 7 分 由（1）知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛 此时， （法 1）业余队获胜的概率为， 专业队获胜的概率为， 所以，非平局的概率为， 平局的概率为 9 分 （法 2）平局的概率为， 非平局的概率为9 分 的分布列为： AMPBCEFPBCPADNADPNADPAD ABCDPN ABCDABCD2aEPBCh3PNa=5BNCNa=2 2PBPCa=2EBCSa=27PBCSa=
19、E PBCP EBCVV=1133PBCEBCShSPN=2273a haa=217ha=3EFa=EFPBC2117sin773haEFa=AMPBC77112153339Pppp=+=221112(1)3333Pppppp=+= +13p 2121111()03933PPppp p=12PP4.5X =3.6X =159Pp=321288(1)(1)33399Pppp=+=1381(4.5)93P XPPp=+=1311(3.6)193P XPPp= =+112211(3.6)(1)333393P Xppp=+=+1181(4.5)1(3.6)19393P XP Xpp= = +=XX4.
20、53.6()P X8193p1193p+深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第7页（共11页） 的数学期望为（万元）11 分 而，所以的取值范围为（单位：万元）12 分 21解： （1） （法 1）根据已知，得 2 分 解之，得， 4 分 所以，椭圆的方程为 5 分 （法 2）由已知，两个焦点的坐标为，1 分 根据椭圆定义，得 ， 3 分 4 分 所以，椭圆的方程为 5 分 （2）选择条件： （法 1），由（1） ，不妨设，则 直线的方程为，直线的方程为 6 分 由，得 7 分 显然是上述方程的一个根，另一根为， 相应的， 8 分 同理，得 9 分 当时，直线为
21、轴； 当，时， 直线的方程为 10 分 X8111()4.5 ()3.6 ()4.40.39393E Xppp=+=1132p()E X(4.25, 4.3)2222131,43.abab+=24a =21b =E2214xy+=3c =1(3,0)F 2( 3 ,0)F()()2212332|131344aMFMF=+=+4343422+=+=2a=22222( 3)1bac=E2214xy+=(1, )NttR32t ( 2,0)A (2,0)BNA(2)3tyx=+NB(2)yt x=22(2),31.4tyxxy=+=2222(49)1616360txt xt+=12x = 22222
22、1163681824949ttxtt+= =+10y =221249tyt=+22281812,4949ttPtt+222824,41 41ttQtt+0t =(2,0)P( 2,0)Q PQx0t 32t PQ22222222248241411248188249414941ttyxtttttttttt+=+xyOABNPQ1x =深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第8页（共11页） 考虑到椭圆的对称性，令，则上面方程的左边， 所以（与 无关） 综上所述，直线经过定点 12 分 （法 2）， 为变量，当时，直线为轴， 直线经过的定点应在轴上 6 分 又时，直线
23、椭圆在点处的切线， 直线经过的定点应是切线 与轴的交点 7 分 说明：亦可以通过另一些特殊位置（如取）分析出定点 证明如下： 由（1） ，不妨设， 设直线的方程为，由消去， 得的纵坐标是方程的两个根 由韦达定理，知， 8 分 又直线的方程为，直线的方程为 直线与直线的交点坐标是方程组的解 9 分 消去，得直线与直线的交点横坐标是方程的根， 而动点的横坐标，所以要证原命题成立，只需证明是上述方程的根， 即证明，即证明 10 分 将，代入，只需证明， 只需证明 而成立， 直线与直线的交点的横坐标为 1 综上所述，直线经过定点 12 分 选择条件： （法 1），为变量由（1） ，不妨设，则 直线的方
24、程为，直线的方程为 6 分 0y =2222249493(41)(49)2(43)ttttt+= +2222222282494(43)(43)4412(43)(49)(41)ttttxtttt+=+=+tPQ(4,0)(1, )Ntt32t 0t =(2,0)P( 2,0)Q PQxPQx32t PQ22:14xEy+=31,2M:2 340l xy+=PQlx(4,0)1t =(4,0)( 2,0)A (2,0)B11( ,)P x y22(,)Q xyPQ4xmy=+224,44xmyxy=+=x,P Q22(4)8120mymy+=12284myym+= +122124y ym=+AP1
25、1(2)2yyxx=+BQ22(2)2yyxx=APBQ1122(2),2(2)2yyxxyyxx=+=yAPBQ1212(2)(2)22yyxxxx+=+N1x =1x =12123022yyxx+=+12213(2)(2)0y xyx+=114xmy=+224xmy=+12213(2)(6)0y myy my+=121223()0my yyy+=12122212823()23044mmy yyymmm+=+ =+APBQPQ(4,0)( ,2)N ss(0,1)C(0,1)DNC30 xsys=NB0 xsys+=深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第9页（
26、共11页） 由，得 7 分 ，相应的，8 分 同理，得 9 分 当时，直线为轴； 当时，直线的方程为 10 分 考虑到椭圆的对称性，令，则 （与无关） 综上所述，直线经过定点 12 分 （法 2），为变量当时，直线为轴 直线经过的定点应在轴上 又取，类似于（法 1） ，得，直线的方程为 令，得直线经过的定点应是 7 分 说明：亦可以通过另一些特殊位置（如取）分析出定点 证明如下： 由（1） ，不妨设， 设直线的方程为，由消去，得 的横坐标是方程的两个根 由韦达定理，知， 8 分 又直线的方程为，直线的方程为 2230,1.4xsysxy=+=2222(36)2360sys ys+=11y =
27、2223636sys= +10 x =222436sxs=+2222436,3636ssPss+22284,44ssQss+0s =(0,1)P(0,1)QPQy0s PQ2222222223644836424844364ssssssyxssssss+=+0 x=222222222222222222364484(36)(4)(4)(36)13643 884443(4)(36)4364sssssssssssyssssssssss+=+=+22222242(12)(12)1144(12)42ssssss+=+sPQ10,2( ,2)N ss0s =(0,1)P(0,1)QPQyPQy2s =6 4
28、,5 5P( 2,0)Q PQ420 xy+=0 x=12y =PQ10,22s=10,2(0,1)C(0,1)D11( ,)P x y22(,)Q xyPQ12ykx=+221,244ykxxy=+=y,P Q22(1 4)430kxkx+ =122414kxxk+= +122314x xk= +CP1111yyxx+=DQ2211yyxx=+xyOCDNPQ2y =深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第10页（共11页） 直线与直线的交点坐标是方程组的解 9 分 消去，得直线与直线的交点纵坐标是方程的根， 而动点的纵坐标，所以要证原命题成立，只需证明是上述方
29、程的根， 即证明，即证明 10 分 将，代入，只需证明， 只需证明 而成立， 直线与直线的交点的纵坐标为 2 综上所述，直线经过定点 12 分 22解： （1）由已知，得 1 分 当时，时，；时， 在上单调递减，在上是单调递增 2 分 当时， 0 0 极大值 极小值 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增3 分 当时，在上单调递增 4 分 当时， 0 0 极大值 极小值 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增5 分 （2）先证明：当存在小于零的极小值时，在上是增函数 由（1）知，当时，在上是增函数； 6 分 当时，存在极小值，在上是增函数 由极小值小于零，得， 而， 7 分 CPDQ112
30、211,11yyxxyyxx+=+xCPDQ121211(1)(1)yyyyxx+=+N2y =2y =1212113yyxx+= 12213 (1)(1)0 x yxy+=1112ykx=+2212ykx=+1221133022xkxxky+=121243()0kx xxx+=1212223443()4301414kkx xxxkkk+=+APBQPQ10,2( )ee22(1)(e2 )xxxfxxaxaxa=+=+0a?e20 xa1x( )0fx1x( )0fx( )f x(,1) ( 1,)+102eax(,ln2 )aln2a(ln2 ,1)a 1( 1,)+( )fx( )f x
31、( )f x(,ln2 )a(ln2 ,1)a ( 1,)+12ea =1( )(1)(e) 0exfxx=+( )f x(,) +12ea x(,1) 1( 1,ln2 )aln2a(ln2 ,)a +( )fx( )f x( )f x(,1) ( 1,ln2 )a(ln2 ,)a +( )f x( )f x(0,)+12ea ( )f x(0,)+12ea ( )f x ( )(ln2 )f xfa=极小值( )f x(ln2 ,)a +22(ln2 )(ln2 )20faaaaa=+12ea 2(ln2 )210aa+ 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准
32、第11页（共11页） 设，则再设，得 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减 ，从而，在上单调递减 又，不等式的解为 时，由，得 此时，又在上是增函数，在上是增函数 综上所述，当存在小于零的极小值时，在上是增函数9 分 说明：亦可以直接利用，得 当时， 10 分 （法 1）设，则 当时，在上单调递增 又，时，即， 而，余弦函数在上单调递减，所以12 分 （法 2）设，则，在上单调递增 又，时，即， 而，余弦函数在上单调递减，所以12 分 说明：其它证法，类比给分 2( )(ln2 )21g xxx=+2(ln2)( )xxg xx=( )ln2h xxx=1( )xh xx=01x( )0h
33、 x( )h x(0,1)1x ( )0h x( )h x(1,)+ ( )(1)ln2 1 0h xh= 最大值( )0h x ( )0g x( )g x(0,)+1()02g=( )0g x 102x12ea 2 ( )(ln2 )(ln2 )210f xfaaaa=+极小值112e2aln2ln1 0a=( )f x(ln2 ,)a +( )f x(0,)+( )f x( )f x(0,)+ln1xx 2(ln2)2(ln2ln)2(ln2 1)( )0 xxxxg xxxx+=12,(0,)2xx 1sin0 x 12cos0 xx 112(sin)(cos)fxf xx112sincosxxx( )sincoss xxxx=( )cos(cossin )sins xxxxxxx=02x( )0s x( )s x(0,)2(0)0s=02x( )0s x sincos0 xxxsincosxxx1121211sincoscoscosxxxxxxx=12,(0,)2xx cosyx=(0,)212xx( )tant xxx=221( )1tan0cost xxx= =( )t x(0,)2(0)0t=02x( )0t x tan0 xxsincosxxx1121211sincoscoscosxxxxxxx=12,(0,)2xx cosyx=(0,)212xx
