(2022高考数学模拟卷)2022深圳市高三二模数学答案.pdf

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1、深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院数学参考答案与评分标准 第1页(共11页) 2022 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学 参考答案与评分标准 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C D A D A B C 说明与略解: 1选择 C最简形式的一元二次不等式求解,并集意义和区间表示法;亦可特值检验之2选择 C两边取模,利用模的性质求解;或视为关于的方程解之;亦可设的代数形式求之 3选择 D逆向利用向量加法的三角形法则( “尾首相接,首尾相连” )和向量的坐标运

2、算性质, ;亦可先求点坐标,再得向量坐标 4选择 A利用间接法,得样本中服务时长超过 32 小时的个体频率, 由样本估计总体, 得总体中服务时长超过 32 小时的个体数(万人);亦可由先求得,再利用直接法 5选择 D从极限角度理解,得,所以;亦可利用球的表面积和体积公式,得,得 6选择 A由,得的最小正周期,所以;亦可以通过对的图象进行伸缩变换,结合周期性意义,得 7选择 B如图,作出三次曲线,利用其凹凸性和 对称性,直观想象得出结论:当点位于轴右侧 时,当且仅当该点在轴(过对称中心的切线)上方, 且在曲线下方时,过点可以作曲线的三条切线, 即;亦可以设切线方程为, 切点为,由消去整理, 得令

3、,则,容易知的单调性及,所以有三条切线 8 选择 C 如图, 设直线 交抛物线的准线于点, 过点分别作准线的垂线, 垂足为 记,因为,利用抛物线的定义,由相似三角形“型图”, zzACABBC=+(2,3)(0,1)( 3,1)( 1,3)=+ = CAC14 (0.0050.040.09)= +0.46=7.2 0.463.3123.3=4 (0.0050.0400.0900.065)1a+=0.050a=13SrV =球球133VrV =球球3r =234433rr=3r =cos1(0)2= 2k=(,0)kkZ( )f x2|Tk=maxT=cosyx=maxT=3yx=( , )a

4、byx( , )a b30ba()yk xab=+300(,)xx30020(),3k xabxkx+=k3200230 xaxb+=32( )23g xxaxb=+( )6 ()g xx xa=( )g x ( )(0)0g xgb=极大值3 ( )( )0g xg aba=极小值30balC,A B,AB|FBa=|BCc=| 3|FAFB=AxyO( , )P a bABC3yx=深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第2页(共11页) 得,结合对称性,得直线 的倾斜角为或; 亦可以设 方程为,由 得,而, 所以, ,直线 的斜率,倾斜角等于或 二、多项选择

5、题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分,部分选对的得 2 分,有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 12 答案 ACD ACD AD ACD 说明与略解: 9选择 ACD因为点平面,所以过点且与平面平行的 平面存在且唯一,设这个平面为因为平面,所以直线 利用两个平面平行的性质定理,容易证明:平面截正方体 所得的截面是正六边形,其中分别是棱 的中点;亦可利用线面平行的判定定理证明 10选择 ACD是标准正态分布的概率分布函数,由标准正态曲线的性质,易知:若, 则, A 正确; 因为时,与矛盾,B 不正确; 因为是上

6、的增函数,所以在上是增函数,C 正确; 若,则 ,D 正确 11 选择 AD 分别取,和, 可以得到, A 正确;,B 不正确;, 不正确; 在等式 两边对求导后,再取,得,正确 12 选择 ACD 利用平几知, 而的取值范围是, 所以,A 正确,B 不正确;设,则“切点弦”直线1433cacaa=+2ca=60CBB=l60120l2pxmy=+1122(,),(,)A xyB xy2,22.pxmyypx=+=2220ypmyp=122122,.yypmy yp+= |3|FAFB=123yy= 12221222,3.yyyy yy+= = 212123()40yyy y+=2221240

7、p mp=33m=l3k =60120E1ACDE1ACD/EF1ACDEF12345EFF F F F12345,FFFFF111111,BC CCC DD AA A( )()f xP Xx=0 x()()()fxP XxP Xx= =()( )()()1fxf xP XxP Xx+=+=0 x1( )()2f xP Xx=(2 )2 ( )1fxf x=(2 )1fx ( )f xR( )f x(0,)+0 x(|)()P XxPxXx= 12()2P Xx=12 ()fx= 2 ( ) 1f x=0 x=1x =1x=802a =123aaa+881 2a+= 123|aaa+88| 3

8、a+=82012(2) xaa xa x=+88a x+x1x =12323aaa+888a+= 21| 2 1|ABOP=1sin2|APBOP=|OP2,)+min|3AB=max()60APB=( , 2)P tABABCD1B1CE1A1D1F2F3F4F5FxyOABFCAB3aaa3acxyOx( )()f xP Xx=x深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第3页(共11页) 的方程,所以直线过定点,正确;结合垂径定理和圆的定义可得中点在以线段为直径的定圆上,D 正确 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13 14 15 1

9、6 说明与略解: 13填利用二倍角余弦公式,得,亦可以直接利用万能公式 14 填 由, 得; 亦可以构造函数,利用导数研究单调性再求出最小值 15 填 显然是偶函数的一个必要条件是, 容易验证时,是偶函数(充分性) ;亦可以利用恒等式,化简得恒等式,所以 16填直线与双曲线的交点 坐标为,与渐近线的交点坐标为 图形被直线所截得的两条线段与轴垂直, 它们分别是, 将它们绕轴旋转一周,形成的旋转面是一个由圆心在, 半径分别为和的两个圆围成的圆环,其面积 由于是与无关的常数, 根据祖暅原理, 构造一个底面积为, 高为的柱体,则该柱体的体积与图形绕轴旋转一周,形成的旋转体的体积相等,即 四、解答题:本

10、题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17解: (1), 2 分 整理,得, 又, 4 分 所以,数列是首项为 3,公比为 2 的等比数列 的通项公式为, 5 分 (2)由(1)知:数列是首项为,公比为的等比数列 21txy+=AB1(0,)2MABOM45912, 44522222222cossin1tancos2cossincossin1tan=+901x14141414(1)55291111xxxxxxxxxxxxxx+=+=+=12( )f x( 1)(1)ff=1ln1ln(e 1)ekk+=+12k =12k =22( )ln(ee)xxf x=+

11、()( )fxf x=2kxx=12k = , 4( 22)ytt= 221xy=2(1, )tt+yx=(, )t tG( 22)ytt= y2(1| |,22)yttxtt=+ 2(| |1,22)yttxtt=+ y(0, ) t| | t21t+222( 1)Stt=+=St( 22)t 4Gy4V =23nnSa=111(23)(23)nnnnnaSSaa+=12nnaa+=n+N11123aSa=13a =nana13 2nna= n+N1na1312xyO22深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第4页(共11页) 7 分 整理,得又, 9 分 所以

12、,满足条件的最大整数 10 分 18证明: (1) (法 1),根据正弦定理,得, 2 分 4 分 而, 或,即(舍去)或 所以 6 分 (法 2),根据余弦定理,得,2 分 , 从而, 4 分 又, 所以 6 分 解: (2) (法 1),又由(1)知, 根据正弦定理,得, 8 分 , , , 10 分 所以,的面积 12 分 (法 2),根据余弦定理,得, 将,代入,得, 8 分 , 1211aa+12113(1)3220nna+=240nn+N1, 2,3, 4,5n =5n=2 cosacbA+ =sinsin2sincosACBA+=sin2sincossin()2sincos(si

13、ncoscossin )ABAABBAABAB=+=+sincoscos sinBABA=sin()BA=0ABA ()ABA+=ABA=B=2BA=2BA=2 cosacbA+ =22222bcaacbbc+=22baac=+222222()cos222acbacaaccaBacaca+=22222cos22cos1212bcaAAbc+= =222 222()112()22aaccaaccaaac caa+= = =+coscos2BA=0Bcos02acAb+=02A02A2BA=4a=6b=2BA=46sinsin2AA=46sin2sincosAAA=3cos4A=2237sin1c

14、os1=44AA=2231coscos22cos12148BAA= = =2213 7sin1cos1=88BB=7133 75 7sinsin()sincoscossin484816CABABAB=+=+=+=ABC115 715 7sin4 622164SabC= =2 cosacbA+ =22222bcaacbbc+=22baac=+4a=6b=22644c=+5c=2222224659cos224 616abcCab+= 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第5页(共11页) 10 分 所以,的面积 12 分 说明:其它解法,类比给分 19证明: (1)

15、平面,平面, 2 分 又底面为正方形, 又, 平面, 又 4 分 6 分 解: (2) (法 1)设正方形的边长为, 取的,的中点, 由(1)知两两垂直 以为原点,分别为轴,轴,轴, 建立空间直角坐标系(如图) ,则 , , ,8 分 设平面的法向量,则, 取,得, 平面的一个法向量为 10 分 记与平面所成的角为,则 所以与平面所成角的正弦值为 12 分 (法 2)分别取的中点, 连结是中点,是正方形, ,且,又,且, ,且,从而为平行四边形, 2295 7sin1cos11616CC=ABC115 715 7sin4 622164SabC= =AM PCDCDPCDAMCDABCDCDAD

16、CDAMCDADAMADA=AMPAD平面ADPAD平面CDPADCDABCD平面PADABCD平面平面ABCD2aADOBCQ,OA OQ OPO,OA OQ OPxyzOxyz( ,0,0)A a( ,2 ,0)B aa(, 2 ,0)Caa(,0,0)Da(0,0,3 )Pa13(,0,)22Maa33(,0,)22AMaa= ( ,2 ,3 )PBaaa=(,2 ,3 )PCaaa= PBC( , )x y z=n0PB=n0PC=n230,230.axayazaxayaz+=+=2z =0 x=3y =PBC(0,3 ,2)=nAMPBC22222233|0032|722sin|co

17、s,|7|3300( 3)222AMAMAM + +=+nnnAMPBC77,AB PC AD,E F N,EF EC FM PNMPDABCD/MFDC12MFDC=/AEDC12AEDC=/MFAEMFAE=AEFM/EFAMxyzOPABCDMQPABCDMFNE深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第6页(共11页) 与平面所成角与与平面所成角相等 8 分 侧面是正三角形,是中点, 而平面平面,平面 设正方形的边长为,三棱锥的高为, 则, 由,得, 10 分 又,记与平面所成的角为,则 所以与平面所成角的正弦值为 12 分 20解: (1)第一场比赛,业余

18、队安排乙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为 ; 2 分 第一场比赛,业余队安排丙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为 4 分 , 所以,业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛 5 分 (2)由己知万元,或万元 7 分 由(1)知,业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛 此时, (法 1)业余队获胜的概率为, 专业队获胜的概率为, 所以,非平局的概率为, 平局的概率为 9 分 (法 2)平局的概率为, 非平局的概率为9 分 的分布列为: AMPBCEFPBCPADNADPNADPAD ABCDPN ABCDABCD2aEPBCh3PNa=5BNCNa=2 2PBPCa=2EBCSa=27PBCSa=

19、E PBCP EBCVV=1133PBCEBCShSPN=2273a haa=217ha=3EFa=EFPBC2117sin773haEFa=AMPBC77112153339Pppp=+=221112(1)3333Pppppp=+= +13p 2121111()03933PPppp p=12PP4.5X =3.6X =159Pp=321288(1)(1)33399Pppp=+=1381(4.5)93P XPPp=+=1311(3.6)193P XPPp= =+112211(3.6)(1)333393P Xppp=+=+1181(4.5)1(3.6)19393P XP Xpp= = +=XX4.

20、53.6()P X8193p1193p+深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第7页(共11页) 的数学期望为(万元)11 分 而,所以的取值范围为(单位:万元)12 分 21解: (1) (法 1)根据已知,得 2 分 解之,得, 4 分 所以,椭圆的方程为 5 分 (法 2)由已知,两个焦点的坐标为,1 分 根据椭圆定义,得 , 3 分 4 分 所以,椭圆的方程为 5 分 (2)选择条件: (法 1),由(1) ,不妨设,则 直线的方程为,直线的方程为 6 分 由,得 7 分 显然是上述方程的一个根,另一根为, 相应的, 8 分 同理,得 9 分 当时,直线为

21、轴; 当,时, 直线的方程为 10 分 X8111()4.5 ()3.6 ()4.40.39393E Xppp=+=1132p()E X(4.25, 4.3)2222131,43.abab+=24a =21b =E2214xy+=3c =1(3,0)F 2( 3 ,0)F()()2212332|131344aMFMF=+=+4343422+=+=2a=22222( 3)1bac=E2214xy+=(1, )NttR32t ( 2,0)A (2,0)BNA(2)3tyx=+NB(2)yt x=22(2),31.4tyxxy=+=2222(49)1616360txt xt+=12x = 22222

22、1163681824949ttxtt+= =+10y =221249tyt=+22281812,4949ttPtt+222824,41 41ttQtt+0t =(2,0)P( 2,0)Q PQx0t 32t PQ22222222248241411248188249414941ttyxtttttttttt+=+xyOABNPQ1x =深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第8页(共11页) 考虑到椭圆的对称性,令,则上面方程的左边, 所以(与 无关) 综上所述,直线经过定点 12 分 (法 2), 为变量,当时,直线为轴, 直线经过的定点应在轴上 6 分 又时,直线

23、椭圆在点处的切线, 直线经过的定点应是切线 与轴的交点 7 分 说明:亦可以通过另一些特殊位置(如取)分析出定点 证明如下: 由(1) ,不妨设, 设直线的方程为,由消去, 得的纵坐标是方程的两个根 由韦达定理,知, 8 分 又直线的方程为,直线的方程为 直线与直线的交点坐标是方程组的解 9 分 消去,得直线与直线的交点横坐标是方程的根, 而动点的横坐标,所以要证原命题成立,只需证明是上述方程的根, 即证明,即证明 10 分 将,代入,只需证明, 只需证明 而成立, 直线与直线的交点的横坐标为 1 综上所述,直线经过定点 12 分 选择条件: (法 1),为变量由(1) ,不妨设,则 直线的方

24、程为,直线的方程为 6 分 0y =2222249493(41)(49)2(43)ttttt+= +2222222282494(43)(43)4412(43)(49)(41)ttttxtttt+=+=+tPQ(4,0)(1, )Ntt32t 0t =(2,0)P( 2,0)Q PQxPQx32t PQ22:14xEy+=31,2M:2 340l xy+=PQlx(4,0)1t =(4,0)( 2,0)A (2,0)B11( ,)P x y22(,)Q xyPQ4xmy=+224,44xmyxy=+=x,P Q22(4)8120mymy+=12284myym+= +122124y ym=+AP1

25、1(2)2yyxx=+BQ22(2)2yyxx=APBQ1122(2),2(2)2yyxxyyxx=+=yAPBQ1212(2)(2)22yyxxxx+=+N1x =1x =12123022yyxx+=+12213(2)(2)0y xyx+=114xmy=+224xmy=+12213(2)(6)0y myy my+=121223()0my yyy+=12122212823()23044mmy yyymmm+=+ =+APBQPQ(4,0)( ,2)N ss(0,1)C(0,1)DNC30 xsys=NB0 xsys+=深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第9页(

26、共11页) 由,得 7 分 ,相应的,8 分 同理,得 9 分 当时,直线为轴; 当时,直线的方程为 10 分 考虑到椭圆的对称性,令,则 (与无关) 综上所述,直线经过定点 12 分 (法 2),为变量当时,直线为轴 直线经过的定点应在轴上 又取,类似于(法 1) ,得,直线的方程为 令,得直线经过的定点应是 7 分 说明:亦可以通过另一些特殊位置(如取)分析出定点 证明如下: 由(1) ,不妨设, 设直线的方程为,由消去,得 的横坐标是方程的两个根 由韦达定理,知, 8 分 又直线的方程为,直线的方程为 2230,1.4xsysxy=+=2222(36)2360sys ys+=11y =

27、2223636sys= +10 x =222436sxs=+2222436,3636ssPss+22284,44ssQss+0s =(0,1)P(0,1)QPQy0s PQ2222222223644836424844364ssssssyxssssss+=+0 x=222222222222222222364484(36)(4)(4)(36)13643 884443(4)(36)4364sssssssssssyssssssssss+=+=+22222242(12)(12)1144(12)42ssssss+=+sPQ10,2( ,2)N ss0s =(0,1)P(0,1)QPQyPQy2s =6 4

28、,5 5P( 2,0)Q PQ420 xy+=0 x=12y =PQ10,22s=10,2(0,1)C(0,1)D11( ,)P x y22(,)Q xyPQ12ykx=+221,244ykxxy=+=y,P Q22(1 4)430kxkx+ =122414kxxk+= +122314x xk= +CP1111yyxx+=DQ2211yyxx=+xyOCDNPQ2y =深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准 第10页(共11页) 直线与直线的交点坐标是方程组的解 9 分 消去,得直线与直线的交点纵坐标是方程的根, 而动点的纵坐标,所以要证原命题成立,只需证明是上述方

29、程的根, 即证明,即证明 10 分 将,代入,只需证明, 只需证明 而成立, 直线与直线的交点的纵坐标为 2 综上所述,直线经过定点 12 分 22解: (1)由已知,得 1 分 当时,时,;时, 在上单调递减,在上是单调递增 2 分 当时, 0 0 极大值 极小值 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增3 分 当时,在上单调递增 4 分 当时, 0 0 极大值 极小值 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增5 分 (2)先证明:当存在小于零的极小值时,在上是增函数 由(1)知,当时,在上是增函数; 6 分 当时,存在极小值,在上是增函数 由极小值小于零,得, 而, 7 分 CPDQ112

30、211,11yyxxyyxx+=+xCPDQ121211(1)(1)yyyyxx+=+N2y =2y =1212113yyxx+= 12213 (1)(1)0 x yxy+=1112ykx=+2212ykx=+1221133022xkxxky+=121243()0kx xxx+=1212223443()4301414kkx xxxkkk+=+APBQPQ10,2( )ee22(1)(e2 )xxxfxxaxaxa=+=+0a?e20 xa1x( )0fx1x( )0fx( )f x(,1) ( 1,)+102eax(,ln2 )aln2a(ln2 ,1)a 1( 1,)+( )fx( )f x

31、( )f x(,ln2 )a(ln2 ,1)a ( 1,)+12ea =1( )(1)(e) 0exfxx=+( )f x(,) +12ea x(,1) 1( 1,ln2 )aln2a(ln2 ,)a +( )fx( )f x( )f x(,1) ( 1,ln2 )a(ln2 ,)a +( )f x( )f x(0,)+12ea ( )f x(0,)+12ea ( )f x ( )(ln2 )f xfa=极小值( )f x(ln2 ,)a +22(ln2 )(ln2 )20faaaaa=+12ea 2(ln2 )210aa+ 深圳市教育科学研究院 深圳市教育科学研究院 数学参考答案与评分标准

32、第11页(共11页) 设,则再设,得 当时,在上单调递增; 当时,在上单调递减 ,从而,在上单调递减 又,不等式的解为 时,由,得 此时,又在上是增函数,在上是增函数 综上所述,当存在小于零的极小值时,在上是增函数9 分 说明:亦可以直接利用,得 当时, 10 分 (法 1)设,则 当时,在上单调递增 又,时,即, 而,余弦函数在上单调递减,所以12 分 (法 2)设,则,在上单调递增 又,时,即, 而,余弦函数在上单调递减,所以12 分 说明:其它证法,类比给分 2( )(ln2 )21g xxx=+2(ln2)( )xxg xx=( )ln2h xxx=1( )xh xx=01x( )0h

33、 x( )h x(0,1)1x ( )0h x( )h x(1,)+ ( )(1)ln2 1 0h xh= 最大值( )0h x ( )0g x( )g x(0,)+1()02g=( )0g x 102x12ea 2 ( )(ln2 )(ln2 )210f xfaaaa=+极小值112e2aln2ln1 0a=( )f x(ln2 ,)a +( )f x(0,)+( )f x( )f x(0,)+ln1xx 2(ln2)2(ln2ln)2(ln2 1)( )0 xxxxg xxxx+=12,(0,)2xx 1sin0 x 12cos0 xx 112(sin)(cos)fxf xx112sincosxxx( )sincoss xxxx=( )cos(cossin )sins xxxxxxx=02x( )0s x( )s x(0,)2(0)0s=02x( )0s x sincos0 xxxsincosxxx1121211sincoscoscosxxxxxxx=12,(0,)2xx cosyx=(0,)212xx( )tant xxx=221( )1tan0cost xxx= =( )t x(0,)2(0)0t=02x( )0t x tan0 xxsincosxxx1121211sincoscoscosxxxxxxx=12,(0,)2xx cosyx=(0,)212xx

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