1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 重点保分 两级优选练 A 级 一、选择题 1 (2018 朝阳模拟 )直线 x 3y 1 0 的倾斜角为 ( ) A. 6 B. 3 C.23 D.56 答案 D 解析 直线斜率为 33 ，即 tan 33 ， 0 0， b0)过点 (1,1)，则该直线在 x 轴， y 轴上的截距之和的最小值为 ( ) A 1 B 2 C 4 D 8 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 直线 ax by ab(a0， b0)过点 (1,1)， a b ab，即 1a 1b 1， a b (a b)? ?1a 1b 2 ba
2、 ab2 2 ba ab 4，当且仅当 a b 2 时上式等号成立 直线在 x轴， y 轴上的截距之和的最小值为 4.故选 C. 9 (2017 新乡一中月考 )若 m， n 满足 m 2n 1 0，则直线 mx 3y n 0 过定点 ( ) A.? ?12， 16 B.? ?12， 16 C.? ?16， 12 D.? ? 16， 12 答案 B 解析 m 2n 1 0， m 2n 1. mx 3y n 0， (mx n) 3y 0，当 x 12时，mx n 12m n 12， 3y 12， y 16，故直线过定点 ? ?12， 16 .故选 B. 10若点 (m， n)在直线 4x 3y
3、10 0 上，则 m2 n2的最小值是 ( ) A 2 B 2 2 C 4 D 2 3 答案 C 解析 因为点 (m， n)在直线 4x 3y 10 0 上，所以 4m 3n 10 0. 欲求 m2 n2的最小值可先求 m 2 n 2的最小值 而 m 2 n 2表示 4m 3n 10 0 上的点 (m， n)到原点的距离，如图 当过原点和点 (m， n)的直线与直线 4m 3n 10 0 垂直时，原点到点 (m， n)的距离最小，最小值为 2. 故 m2 n2的最小值为 4.故选 C. 二、填空题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 11已知 P( 3,2)， Q(3,4)及直线 ax y 3
4、0.若沿 PQ 的方向延长线段 PQ 与直线有交点 (不含 Q 点 )，则 a 的取值范围是 _ 答案 ? ? 73， 13 解析 直线 l： ax y 3 0 是过点 A(0， 3)的直线系，斜率为参变数 a，易知 PQ，QA， l 的斜率分别为： kPQ 13， kAQ 73， kl a.若 l 与 PQ 延长线相交，由图可知 kPQklkAQ，解得 73a 13. 12 (2018 石家庄校级期末 )一直线过点 A( 3,4)，且在两轴上的截 距之和为 12，则此直线方程是 _ 答案 x 3y 9 0 或 y 4x 16 解析 设横截距为 a，则纵截距为 12 a， 直线方程为 xa y
5、12 a 1， 把 A( 3,4)代入，得 3a 412 a 1， 解得 a 4， a 9. a 9 时，直线方程为 x9 y3 1， 整理可得 x 3y 9 0. a 4 时，直线方程为 x 4 y16 1， 整理 可得 4x y 16 0. 综上所述，此直线方程是 x 3y 9 0 或 4x y 16 0. 13过直线 l： y x 上的点 P(2,2)作直线 m，若直线 l， m 与 x 轴围成的三角形的面积为2，则直线 m 的方程为 _ 答案 x 2y 2 0 或 x 2 解析 若直线 m 的斜率不存在，则直线 m 的方程为 x 2，直线 m，直线 l 和 x 轴围成的三角形面积为 2
6、，符合题意； 若直线 m 的斜率 k 0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意； =【 ;精品教育资源文库 】 = 若直线 m 的斜率 k0 ，设其方程为 y 2 k(x 2)，令 y 0，得 x 2 2k，依题意有 12 ? ?2 2k 2 2，即 ? ?1 1k 1，解得 k 12，所以直线 m 的方程为 y 2 12(x 2)，即 x2y 2 0. 综上知，直线 m 的方程为 x 2y 2 0 或 x 2. 14在下列叙述中： 若一条直线的倾斜角为 ，则它的斜率为 k tan ； 若直线斜率 k 1，则它的倾斜角为 135 ； 已知点 A(1， 3)， B(1,3)，则直线 AB
7、的倾斜角为 90 ； 若直线过点 (1,2)，且它的倾斜角为 45 ，则这条直线必过点 (3,4)； 若直线斜率为 34，则这条直线必过 (1,1)与 (5,4)两点 其中正确的命题是 _ (填序号 ) 答案 解析 当 90 时，斜率 k 不存在，故 错误； 倾斜角的正切值为 1 时，倾斜角为 135 ，故 正确； 直线 AB 与 x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为 90 ，故 正确； 直线过定点 (1,2)，斜率为 1，又 4 23 1 1，故直线必过点 (3,4)，故 正确； 斜率为 34的直线有无数条，所以直线不一定过 (1,1)与 (5,4)两点，故 错误 B 级 三、解答题 15设直线
8、 l 的方程为 (a 1)x y 2 a 0(a R) (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围 解 (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零， a 2，方程即为 3x y 0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为 0. a 2a 1 a 2，即 a 1 1. a 0，方程即为 x y 2 0. 综上， l 的方程为 3x y 0 或 x y 2 0. (2)将 l 的方程化为 y (a 1)x a 2， ? a 0，a 20 或 ? a 0，a 20 ， a 1. 综上可知 a 的取值范围是 ( ， 1
9、16已知直线 l： kx y 1 2k 0(k R) (1)证明：直线 l 过定点； (2)若直线不经过 第四象限，求 k 的取值范围； (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A，交 y 轴正半轴于 B， AOB 的面积为 S(O 为坐标原点 )，=【 ;精品教育资源文库 】 = 求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 解 (1)证明：直线 l 的方程可化为 k(x 2) (1 y) 0， 令? x 2 0，1 y 0， 解得 ? x 2，y 1. 无论 k 取何值，直线总经过定点 ( 2,1) (2)由方程知，当 k0 时，直线在 x 轴上的截距为 1 2kk ，在 y 轴上的截距为 1 2k，要使直线不经过第四象限，则必须有? 1 2kk 2，1 2k1 ，解得 k 0；当 k 0 时，直线为 y 1，符合题意，故 k 的取值范围为 0， ) (3)由题意可知 k0 ，再由 l 的方程， 得 A? ? 1 2kk ， 0 ， B(0,1 2k) 依题意得? 1 2kk 0，1 2k 0，解得 k 0. S 12| OA| OB| 12 ? ?1 2kk |1 2k| 12 2k2k 12?4k 1k 4 12(22 4) 4， “ ” 成立的条件是 k 0 且 4k 1k，即 k 12， Smin 4，此时直线 l 的方程为 x 2y 4 0.
