（数学）辽宁省六校协作体2016-2017学年高二下学期期中考试（理）.doc下载_163文库

资源描述

2、列 n a，若点( ,)( n n an N)在经过点(8, 4)的定直线l上，则数列 n a的前15 项和 15 S( ) A. 12 B.32 C.60 D. 120 5设, 表示平面， l表示直线，则下列命题中，错误的是( ) A. 如果，那么内一定存在直线平行于 B. 如果，， l，那么l C.如果不垂直于，那么内一定不存在直线垂直于 D.如果，那么内所有直线都垂直于 6已知平面向量a，b满足 3aab，且2a ，1b ，则向量a与b夹角的正弦值为( ) A. 1 2 B. 3 2 C. 1 2 D. 3 2 7 甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，

3、则不同的排法种数为( ) A. 72 种 B.52 种 C.36 种 D. 24 种 8某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为 4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是( ) A. 32 3 B. 64 3 C.16 D. 32 9设抛物线 2 :4C yx 的焦点为F ，倾斜角为钝角的直线l 过F 且与C 交于,A B 两点，若 16 | 3 AB ，则l的斜率为 ( ) A. 1 B. 3 C. 2 2 D. 3 3 10 我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了

4、著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14如右图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的求n的值为(参考数据： sin150.2588， sin7.50.1305)( ) A. 12 B. 24 C.36 D. 48 11 实系数一元二次方程 2 0xaxb的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则 2 2 b a 的取值范围是 ( ) A. 2 (0, ) 3 B. 2 (, ) 3 C. 2 ( ,2) 3 D. 2 (,) 3 12已知,aR bR, e为自然对数的底数，则 2 21 ln 2 2 a ebab 的最小值为 ( ) 第8题图第8

5、题图俯视图俯视图侧视图侧视图主视图主视图 A. 2 1ln2 B. 2 2 1 ln2 C. 1ln2 D. 2 1 ln2 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分) 13已知随机变量X服从正态分布 1 (6, ) 3 N，则X的数学期望()E X _. 14若 6 ()xa展开式中 3 x的系数为 160，则 1 a a x dx 的值为_. 15三角形ABC中，角, ,A B C所对边分别为, ,a b c，已知 222 sincoscos3sinsinBACBC，且三角形ABC外接圆面积为4，则a _. 16已知函数 2 lg,0 64,0 xx f x xxx ，若关于x的

6、方程 2 10fxbf x 有8个不同根，则实数b的取值范围是_ 三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(10 分)已知向量( 3sin23,cos ),(1,2cos )axx bx，设函数( )f xa b. (1)求函数( )f x的最小正周期和其图像的对称中心； (2)当 7 , 12 12 x 时，求函数( )f x的值域. 18(12 分)在数列 n a中， 1 1a ， 1 22n nn aa ， (1)设 1 2 n n n a b ，证明：数列 n b是等差数列； (2)求数列 n a的前n项和. 19(12 分)学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典

7、文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各 50 名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过 3 小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷非古文迷合计男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计 56 44 100 (1)根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？ (2)先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出 5 人进行中国古典文学学习时间的调查，求所抽取的 5 人中“古文迷”和“非古文迷”的人数； (3)现从(2)中所抽取的 5 人中再随机抽取 3 人进行体育锻炼时间的调查，记这 3 人中“古文迷” 的人数为，求随机变

8、量的分布列与数学期望参考数据： 2 0 P Kk 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010 0 k 0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635 参考公式： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd 20 (12 分) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD， 1PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F (1)求证：PA/平面EDB； (2)求二面角FDEB的正弦值 21 (12 分)已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 与y轴的正半轴相交于点M，点 12

9、 ,F F为椭圆的焦点，且三角形 12 MFF是边长为 2 的等边三角形，若直线:2 3l ykx与椭圆E交于不同的两点,A B (1)直线,MA MB的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (2)求三角形ABM的面积的最大值 22(12 分)设函数 1 =ln x f xxe ， 2 1 1g xa x x . (1)判断函数 yf x零点的个数，并说明理由； D C B A P E F (2)记 x x eex h xg xf x xe ，讨论 h x的单调性； (3)若 f xg x在1,恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案一、选择题 1C 2D 3A 4

10、C 5D 6D 7C 8A 9B 10B 11A 12B 二、填空题 136 14 7 3 152 16 17 2, 4 三、解答题 17解：(1)( )2sin(2)4 6 f xx p ，-(2 分) 则( )f x的周期Tp，-(3 分) 图象的对称中心为(,4), 212 k kZ pp .-(5 分)(不写kZ扣 1 分) (2)( )2sin(2)4 6 f xx p ， 7 , 12 12 x pp ， 4 2, 633 x ppp ，-(7 分) ( )43,6f x-(10 分) 18解：(1)证明由已知 1 22n nn aa ，得 1 1 1 22 11 222 n

11、nnn nn nnn aaa bb . 1 1 nn bb ，又 11 1ba. n b是首项为 1，公差为 1 的等差数列-(6 分) (2)解由(1)知， n bn， 1 2 n n n a bn . 1 2n n an . 1221 12 23 2(1)22 nn n Snn 两边乘以 2 得： 121 21 22 2(1) 22 nn n Snn ，两式相减得： 212 12222 n n Sn 212(1) 21 nnn nn ， (1) 21 n n Sn.-(12 分) 19解： (1)由列联表得 2 2 100 262030 34 0.64940.708 5644 50 5

12、0 K ，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关-(4 分) (2)调查的 50 名女生中“古文迷”有 30 人， “非古文迷”有 20 人，按分层抽样的方法抽出 5 人，则“古文迷”的人数为 30 53 50 人，“非古文迷”有 20 52 50 人即抽取的 5 人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为 3 人和 2 人-(6 分) (3)因为为所抽取的 3 人中“古文迷”的人数，所以的所有取值为 1，2，3 12 32 3 5 3 1 10 C C P C ， 21 32 3 5 3 2 5 C C P C ， 3 3 3 5 1 3 10 C P C 所以随机变量的分布列为

13、 1 2 3 P 3 10 3 5 1 10 于是 3319 123 105105 E -(12 分) 20(1)证明：连结,ACAC交BD于点G，连结EG.以 D 为原点，分别以,DA DC DP的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，依题意得 ) 2 1 , 2 1 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 1 (EPA. 因为底面ABCD是正方形，所以点G是此正方形的中心，故点G的坐标为)0 , 2 1 , 2 1 (，且 11 (1,0, 1),( ,0,) 22 PAEG. 所以2PAEG,即EGPA/,而EG平面EDB,且PA平面EDB, 因此P

14、A/平面EDB-(6 分) (2)(1,1,0),(1,1, 1)BPB ,又 1 1 (0, ) 2 2 DE ,故0PB DE, 所以DEPB . 由已知PBEF ，且EFDEE,所以PB平面EFD.-(7 分) 所以平面EFD的一个法向量为( 1 ,1 ,1 )PB . G D C B A P E F 1 1 (0, ),(1,1,0) 2 2 DEDB, 不妨设平面DEB的法向量为( , , )ax y z 则 0 0)( 2 1 yxDBa zyDEa 不妨取1x则1, 1zy，即(1, 1,1)a -(10 分) 设所求二面角BDEF的平面角为 1 cos 3| a PB aPB

15、q因为, 0，所以 3 22 sin 二面角BDEF的正弦值大小为 3 22 -(12 分) 21解：(1)因为三角形 12 MFF是边长为 2 的等边三角形，所以22c ，3bc，2a，所以2,3ab，所以椭圆 22 :1 43 xy E，-(2 分) 所以点(0, 3)M. 将直线:2 3l ykx代入椭圆E的方程，整理得： 22 (34)16 3360kxkx，(*) 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，则由(*)式可得: 222 (16 3 )4(34) 3648(49)0kkkD，所以， 33 (,)( ,) 22 k ，-(4 分) 1212 22 16 3

16、36 , 3434 k xxx x kk ，所以直线,MA MB的斜率之积 12 12 33 MAMB yy kk xx 2 22 1212 1212 2 16 3 3 ()3 (3)(3)3 ()3 34 36 34 k k kxkxk xx k kk x xx x k 2 2 9361 364 k k 所以直线,MA MB的斜率之积是定值 1 4 .-(6 分) (2)记直线:2 3l ykx与y轴的交点为(0,2 3)N，则 2 211212 13 |()4 22 ABMANMBNM SSSMNxxxxx x DDD 2 2 222 2 2 316 3366 4963 ()4 12 23

17、434342 49 49 kk kkk k k 当且仅当 2 4912k ，即 2133 (,)( ,) 222 k 时等号成立. 所以三角形ABM的面积的最大值为 3 2 .-(12 分) 22解(1)由题意知0x ， 1 0 x e fx xe 故 f x在0,单调递增，又 11f ， 1 110 e e e f ee e ，因此函数 yf x在1,e内存在零点.所以 yf x的零点的个数为 1. -(3 分) (2) 212 11 1lnln x x e h xa xxeaxax xxe ， 2 121 2(0) ax h xaxx xx ，当0a 时， 0h x， h x在0,上单

18、调递减；当0a 时，由 0h x，解得 1 2 x a （舍去负值），所以 1 0, 2 x a 时， 0h x， h x单调递减， 1 , 2 x a 时， 0h x， h x单调递增. 综上0a 时， h x在0,单调递减， 0a 时， h x在 1 0, 2a 单调递减，在 1 , 2a 单调递增. -(6 分) (3)由题意： 2 1 ln1 x e xa x ex ，问题等价于 2 1 1ln x e a xx xe 在1,恒成立，设 1 x xx eeex k x xexe ，若记 1 x kxeex，则 1 x kxee ，当1x 时， 1( ) 0kx ， 1 kx

19、在1,单调递增， 11 10kxk，即 0k x ，若0a ，由于1x ，故 2 1ln0a xx，故 f xg x，即当 f xg x在1,恒成立时，必有0a . 当0a 时，设 2 1lnh xa xx，若 1 1 2a ，则 1 0 2 a时，由(2)知 1 1, 2 x a ， h x单调递减， 1 , 2 x a ， h x单调递增，因此 1 10 2 hh a ，而 1 0 2 k a ，即存在 1 1 2 x a ，使 f xg x，故当 1 0 2 a时， f xg x不恒成立. 若 1 1 2a ，即 1 2 a 时，设 2 1 1ln x e s xa xx xe ， 2 11 2 x e sxax xxe ，由于2axx且 1 0 x kxeex，即 1 x e ex ，故 1 x e ex ，因此 2 32 2222 11112121 0 xxxxx sxx xxxxxx ，故 s x在1,单调递增.所以 10s xs时，即 1 2 a 时， f xg x在1,恒成立. 综上： 1 , 2 a ， f xg x在1,恒成立. -(12 分)

展开阅读全文