1、重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学2015年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：应用数学,统计学考试科目（代码）：高等代数(818) A卷 （试题共 4 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一. 填空题(共5小题，每题 3 分,共 15 分)1.实数域上的不可约多项式的次数至多为 次。2.设3阶方阵，为3阶非零矩阵且，则 。3.设向量，且可由线性表示，则 。4.设3阶方阵的三个特征值分别为1,-1,0，则 。5.若实对称方阵与合同，则二次型的规范形为 。二. 单项选择题(共5小题,每题 3
2、 分,共 15 分)1设为5阶方阵且，为的伴随矩阵，则( ) (A). 0 (B).1 (C).2 (D).3第1页2.设的秩为，是非齐次线性方程组的3个线性无关的解向量，则的通解为( ) (A). ，其中为任意常数； (B). ，其中为任意常数； (C). ，其中为任意常数； (D). ，其中为任意常数。3.设阶方阵，均可逆且，则下列结论( )错误。(A). (B). (C). (D). 4.设有维向量组，其中线性无关，线性相关，则( )(A). 可由线性表示 (B). 可由线性表示 (C). 可由线性表示 (D). 可由线性表示5. 若为实对称矩阵，则下列结论不正确的是( ) (A). 有
3、个不同的特征值 (B). 有个线性无关的特征向量 (C). 一定可以对角化 (D). 的属于不同特征值的特征向量正交第2页三. ( 14 分)求证，在中，当且仅当存在不可约多项式，使得且。四. ( 18 分)计算阶行列式五. （ 16 分）已知，且矩阵方程有解，（1）(8 分)求、的值；（2）（8分）令，求矩阵的第一列6 （ 18 分）设是矩阵，是矩阵，若，（1） （ 6 分）若小于，证明：的行向量组线性相关；（2） （ 8分）若，证明；（3） （ 4分）若，为阶单位矩阵，证明：第3页7 （ 18 分）设是数域上所有维列向量构成的向量空间，定义到的映射：，.（1） （ 4分）证明：是线性变换（2） （ 6分）求的核和像的维数；（3） （ 8分）求的特征值，判定能否相似对角化。八（ 16 分）设是欧式空间的一个规范正交基，（1）（ 10分）求的一个规范正交基；（2）（ 6分）求在中的正投影。九（ 20 分）已知实二次型的正、负惯性指标均是，（1）（ 8分）求的值；（2）（ 12分）应用变量的正交变换，将化为标准形，并指出表示何种二次曲面。第4页
