1、2021学年浙江省稽阳联谊学校高三下学期4月期中联考数学试题第 I 卷（选择题, 共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题,每小题 4 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=0,1,2,3,4,5 ，集合A=1,2,3,B=2,3,4 ，则CuAB=( )A. 1 B. 4 C. 0,5 D. 0,1,4,52.设复数z满足z(1+i)=2(i为虚数单位), 则复数z在复平面内对应的点在( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 已知 a0,b0, 则 “ 12alnb ”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分
2、条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 若实数x,y满足约束条件 y1x-y02x+y+10, 则z=(x-1)2+y2 的最小值为( )A. 1 B. 22 C. 173 D. 55. 某几何体的三视图如图所示 (单位: cm ), 则该几何体的体积 (单位: cm3 ) 是( )A. 83 B. 163 C. 203 D. 126. 函数 f(x)=cosx+2ax2+bx+c 的图像如上图所示, 则( )A. a0,b=0,c0,b=0,c0C. a0,b0,c=0 D. a0,b=0,c07. 如图, 在ABC中, AB=AC,A=3,P为底边BC上的动点, BP=BC,0
3、0,b0, 若a2+b2-3ab=1, 则3a2-ab的最大值为( )A. 3+3 B. 23 C. 1+3 D. 2+39. 已知椭圆C1:x24+y22=1与抛物线C2:y2=2px(p0)交于A,B两点, O为坐标原点, AOB的外接圆半径为r(r0), 则点 (r,p) 在( )上.A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D.抛物线10. 已知数列an满足a1=3,an+1=an+2an-1, 记数列an-2的前n项和为Sn, 设集合 M=125,6225,4517,3512,N=MSn 对 nN* 恒成立, 则集合N的元素个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4第II卷（非选
4、择题 共110分）二、填空题: 本大题共 7 小题, 多空题每题 6 分, 单空题每题 4 分, 共 36 分.11.祖晅, 祖冲之之子, 南北朝时代伟大的科学家, 于 5 世纪末提出下面的体积计算原理: 祖晅原理: “幂势既同, 则积不容异”. 意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等, 那么两个几何体的体积相等. 现有如图的半椭球体与被挖去圆锥的圆柱等高,且平行于底面的平面在任意高度截两几何体所得截面面积相等, 已知圆柱高为h, 底面半径为r, 则半椭球的体积是_.12. 已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn, 则a
5、0=_; 若a3=35, 则n=_.13. 在ABC中, ABC=90,BC=3, 点D在线段AC上, 满足BD=835,BDC=60,则sinC=_,ABD的面积为_.14.盒中有红球、黃球、蓝球各两个，从中陏机取球，则至少取_球才能保证取到同色球：若每次取 1 个, 不放回，直到取到同色球为止.设此过程中取出球的颜色数为 X, 则E(X)=_.15. 已知a-1,1, 函数 f(x)=sin2(x-a),xa,x2-2(a+1)x+a2,xa. 若f(f(a)=1, 则a=_.16. 已知F1,F2是椭圆 y2a2+x2b2=1(ab0) 的上、下焦点, 过点F2且斜率大于零的直线l 交椭
6、圆于A、B两点, 若AF2=2BF2,tanAF1B=22, 则椭圆的离心率为_，直线 l 的斜离为_。17. 已知平面向量m,n满足|m|=3,2m+n与2n-m的夹角为 60, 则|m-n|的取值范围是_.三、简答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.（本题满分 14 分）已知函数f(x)=sinxcosx-33sinx.(I)求实数y=f(x)在区间0,2上的值域:(II) 若0, 且f2=-312, 求 cos6-2.19. (本题满分 15 分)如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为等腰梯形, AD/BC,AB=BC=CD=12AD=1
7、.(I) 若M为PA中点, 求证: BM 平面PDC :(II) 若PAD为正三角形, 且PB=222, 求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.20. (本题满分 15 分)设首项为a的等比数列an的前n项和为Sn, 若等差数列bn的前三项恰为S2,S4,S3.(I) 求数列an,bn的通项公式; (用字母a表示)(II) 令cn=8bnan, 若 c1+c2+cn1an2+1 对 nN* 恒成立, 求实数a的取值范围.21. (本题满分 15 分)如图, 点 Ax0,1x00 在抛物线x2=2py上, 抛物线的焦点为F, 且|AF|=2, 直线 y=kx-k 交抛物线于B,C两点 ( C
8、点在第一象限), 过点C作y轴的垂线分别交直线 OA,OB于点P,Q, 记PQO,ACP的面积分别为S1,S2.(I) 求x0的值及抛物线的方程;(II) 当 k0 时, 求 S1S2 的取值范围.22. (本题满分 15 分)已知函数F(x)=ex-ax22+ax(aR),F(x)的导函数为F(x).(I ) 记f(x)=F(x), 讨论函数y=f(x)的单调性;(II) 若函数y=F(x) 有两个极值点x1,x2x1x2(i)求证: lna-2x2-x12lna-1-aa-e;(ii)若3x1-x22 ， 求a的取值范围.参考答案及评分标准1、 选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40
9、分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1-5 B D A B C 6-10 A C D C B1.,故选B.2.,复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D.3. ，而是的充分不必要条件，故选A.4.可行域如图的几何意义表示区域内的点到定点的距离，所以的最小值即为点到直线的距离，故选B.5.原图为如图所示的三棱柱截去一个三棱锥，所以.故选C.6.由函数图像关于轴对称，得，由得，由得，所以.故选A.7.法一：设,则，其中，故选C.法二：特殊图形，极端原理在正中，当位于点时，当位于中点时，.8.法一：（基本不等式）设，则，条件，所以,故选D.法二：（三角换元）由条件，故可设即，所以
10、当且仅当时取等号.故选D.法三：齐次式处理也可以9.设则由得，由条件外心必在轴上，故可设外心，由,得，代入（*）式，得.所以点在双曲线上.故选C.10.由蛛网图，即，又，一方面由得，且当，.另一方面，（法一）由得，且当，必须大于等于.所以集合的元素个数是2，故选B.另一方面，（法二）由，得，又.又当，必须大于等于.所以集合的元素个数是2，故选B.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.答案：12.答案：，6解析：令，得；法一：，故.法二：，故.13.答案：，解析：由得，所以，又，所以，.14.答案：4，解析：的所有可能取值为：1，2，3；故.15.答案：或.
11、解析：当时，得，故；当时，故.16.答案：,. 解析：设，则，由题，即，得即，所以，于是，又，故，所以，.17.答案：解析：与的夹角为即与的夹角为，记，则，故点在以为弦半径长为的圆的优弧上，所以的取值范围为.三、解答题:本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18.解析：（），2分所以，4分当时，故6分从而，所以函数在区间上的值域为：.7分（）所以，8分因，若，则，矛盾！9分故，10分从而12分所以.14分19.解析（）取PD中点N，连接MN，NC且2分四边形为平行四边形3分PABCDM第19题图EFGBM/平面PCD5分（）取AD中点E，BC中点F，连接PE,EF,
12、PF,平面7分9分10分作，交的延长线于点，连接PABCDM第19题图xyzO12分.15分法二：如图建系，则，设8分，10分，解得：，12分即又平面的一个法向量为，13分设与平面所成角为，则15分（其他方法参考法一酌情给分）20.解析：（）设等比数列的公比为，依题意有：，2分故从而，所以，解得：，3分所以，4分又所以.6分（），7分令则，8分所以，故，10分由题意应对都有，即恒成立，12分令，则时，故时，递减，又，故，14分所以，即的取值范围为.15分21. 解析：（），2分.4分（）设，则，直线的方程为:,6分联立方程组消去可得:,9分10分,12分又,13分15分22. 解析：（）由题意知：，1分，从而当时，恒成立，故在R上单调递增；3分当时，令，得， 故在上递减，在上递增.5分（）():依题意知：有两个零点，由（）知应有：，所以，6分因8分令，则故即，又综上有：，从而：10分()法一:又，即， 同理两式相除有：，令，则，即，从而有：故，11分因，即，故，12分令（）则（根据常见不等式可知）故在上递减，所以，又时，即，13分而，令，则，从而在上递减，所以，又时，即的取值范围为：15分（）法二:，即，令，故有，解得，11分且，则，化简得(记为)，因，即.代入得，即13分,令时，单调递增且；单调递增，故在时单调递增，代入化简得.15分
