2022届广东省广州市高三第三次模拟考试（三模） 数学试题（含答案）.rar

秘密启用前 试卷类型：B2022 届广州市高三年级第三次模拟考试届广州市高三年级第三次模拟考试数数 学学本试卷共 5 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1设集合 U=1，2，3，4，5，6，A=2，3，6，B=1，3，4，则（ UAB ）A3B5，6C2，6D1，32若复数 z 满足，则在复平面内 z 的共轭复数对应的点位于（ 1 i3iz）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）3a 2230 xyxyaA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4已知，则（ ）coscos13cos 23ABCD131223335等比数列中，且，成等差数列，则（）的最小值 na11a 14a22a3anannN为（ ）ABC1D162549126 “总把新桃换旧符” （王安石） 、 “灯前小草写桃符” （陆游） ，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 80 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 5 名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有 3 人领取的礼品种类相同的概率是（ ）ABCD14024340243208140817在正方体 ABCDABCD中，用空间中与该正方体所有棱所成角都相等的平面去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为 S，周长为 l，则（ ）AS 为定值，l 不为定值BS 不为定值，l 为定值CS 与 l 均为定值DS 与 l 均不为定值8对于任意都有，则 a 的取值范围为（ ）0 x ln0 xxaxxAB0,e11,eeeCD11,eee ,e二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9已知向量，则下列结论中正确的是（ ）3, 1a1, 2bABCD5a b5ab,4a bab10在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，下面四个结论正确的是（ ）A若，则ABC 的外接圆半径是 42a 30A B若，则cossinabAB45A C若，则ABC 一定是钝角三角形222abcD若，则ABcoscosAB11已知双曲线（）的左，右焦点分别为 F1（，0） ，F2（c，0） ，直2221yxb0b c线与双曲线左，右两支分别交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，且33yxc，则下列说法正确的是（ ）4AB A双曲线的离心率为B2 3321222F F F MF A F M CD212121F F F MFFFM 12FMF A12已知函数，若关于 x 的方程恰有两个不同解， 22, 21ln1,1xxf xxxe f xm1x（） ，则的取值可以是（ ）2x12xx 212xxf xABC0D231三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13若函数是偶函数，则_ 22xxaf x 1f14若，则_2880128111xaaxaxax3a 15已知点 P 是抛物线上的一个动点，则点 P 到点（0，） ，的距离与 P 到 y24yx3轴的距离之和的最小值为_16将一个半径为 5cm 的水晶球 O 放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA、PB、PC 组成，它们两两成 60角，则水晶球的球心到点 P 的距离是_cm四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （10 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且满足，2223abcbc1 cossinsin2CAB（1）求 A；（2）若，求ABC 的面积 S4a 18 （12 分）已知递增等差数列满足，数列满足 na1510aa2421a a nb，22log1nnbanN（1）求的前 n 项和为； nbnS（2）若，求数列的通项公式121nnTnbnbb nT19 （12 分）为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 10 件零件，度量其内径尺寸（单位：mm） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布2,N （1）假设生产状态正常，记 X 表示某一天内抽取的 10 个零件中其尺寸在之外的零件数，求及 X 的数学期望；3 ,3 2P X （2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：计算这一天平均值与标准差；一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了 5 个零件，度量其内径分别为（单位：mm）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：参考数据：，220.9544PX，330.9974PX100.99740.974340.99740.99，30.95440.8790.026 0.99740.025420.04560.00235.25.933020 （12 分）如图甲是由正方形 ABCD，等边ABE 和等边BCF 组成的一个平面图形，其中AB=6，将其沿 AB，BC，AC 折起得三棱锥 PABC，如图乙（1）求证：平面 PAC平面 ABC；（2）过棱 AC 作平面 ACM 交棱 PB 于点 M，且三棱锥 PACM 和 BACM 的体积比为1：2，求直线 AM 与平面 PBC 所成角的正弦值21 （12 分）已知椭圆 C：（） 的右焦点为 F（1，0） ，且点 P（1，）在22221xyab0ab32椭圆 C 上，O 为坐标原点（1）求椭圆 C 的方程；（2）设过点 T（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B，且AOB 为锐角，求直线 l 的斜率 k 的取值范围22 （12 分）已知函数（） 1xf xeaxaaR（1）讨论的单调性； f x（2）当时，求实数 a 的取值范围0 x 1ln11f xx C32BA6AB0ABcos()1ABABcoscossinsin1 ABCAB2sinsin1cos1cos()ABCsinsin1cos2A6A0Abcabcbcbc222cos232322223bcabcabcbc22()(23),5 356251 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题小题，每小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B A C D B B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 9. ABC 10. BC 11. BD 12. BC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13. 14. 15. 1 16. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分 17.（10 分） （1）解：因为 所以. 1 分 则. 2 分 因为， 所以. 3 分 （2）解: 因为， 则. 4 分 所以. 5 分 得. 6 分 则. 7 分 所以，. 8 分 2022 届届广州市广州市高三高三年级第三次模拟考试年级第三次模拟考试 数学数学试题【试题【参考答案及评分标准参考答案及评分标准】 2 因为4a ，则4ba. 9 分 所以1sin2SabC4 3. 10 分 18.（12 分） （1）解: 由题意，设等差数列na公差为(0)d d ，则 1112410()(3 )21adad ad， 2 分 解得192ad （舍去） ，或112ad， 4 分 所以12(1)21nann . 5 分 则22log121 122nnbann ， 所以12nnb 6 分 故数列 nb是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， 则122112nnnS 7 分 （2）解法 1: 由（1） ，可知 12(1)nnTnbnbb11212312()()()nbbbbbbbbb 8 分 123nSSSS23(2 1)(21)(21)(21)n 10 分 23(2222 )nn12212nn122nn 12 分 解法 2: ， 8 分 2， 9 分 -得：. 12 分 19.（12 分） （1）解: 由题意知： 0010100C1 090.0.99749749743P X ， 1 分119101C1 099740997044.025P X ， 2 分 21011 097430.025400003P XP XP X ， 4 分 3 10,00026XB，10 000260026EX 5 分 （2）解: 97979898 105 106 107 108 108 11610410， 6 分 22222222222776612344123610 ， 7 分 所以6 8 分 结论：需要进一步调试 理由如下：如果生产线正常工作，则X服从正态分布2104,6N， 9 分 338612209974PXPX ， 10 分 零件内径在86,122之外的概率只有00026，而8586,122， 11 分 根据3原则，知生产线异常，需要进一步调试 12 分 20.（12 分） （1）证明：如图，取AC的中点为O，连接BO，PO. PAPC， POAC. 1 分 6PAPC，90APC， 13 22POAC，同理3 2BO .又6PB ，222POOBPB， 2 分 POOB. 3 分 ACOBO，AC，OB 平面ABC， PO 平面ABC. 4 分 又PO 平面PAC， 平面PAC 平面ABC. 5 分 （2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，3 2,0,0A，3 2,0,0C ，0,3 2,0B，0,0,3 2P， 3 2,3 2,0CB ，3 2,0,3 2CP .7 分 三棱锥PACM和BACM的体积比为1:2， :1:2PM BM ，0, 2,2 2M，8 分 4 3 2, 2,2 2AM .设平面PBC的法向量为, ,nx y z， 则3 23 203 23 20 xyxz， 9 分 令1x ，得1, 1,n 1. 10 分 设直线AM与平面PBC所成角为， 则6 242sincos,72 73AM n . 11 分 直线AM与平面PBC所成角的正弦值为427. 12分 21. (12 分) （1）解：由题意得1c ， 所以221ab. 1 分 因为点31,2P在椭圆C上，所以221914ab. 2 分 解得224,3ab. 3 分 所以椭圆C的方程为22143xy 4 分 （2）设直线l方程为2ykx，11( ,)A x y，22(,)B xy， 由221432xyykx 得22(43)1640kxkx， 5 分 因为21230k ，所以214k . 6 分 又1221643kxxk，122443x xk. 7 分 因为AOB为锐角，所以0OA OB ， 即12120 x xy y.8 分 所以1212(2)(2)0 x xkxkx， 所以21212(1)2 ()40kx xk xx 所以222416(1)2404343kkkkk. 5 即221216043kk，所以243k 9 分 所以21443k. 10 分 解得2 3132k 或12 323k. 12 分 22.（12 分） （1）解: 由题知 1xf xeaxa， fx的定义域为R， 1xfxea 1 分 当0a时， 0fx在R上恒成立，故 fx在R上是增函数； 2 分 当0a 时，令 0fx得ln1xa， 3 分 在,ln1a上有 0fx，在ln1,a上有 0fx， fx在,ln1a上是减函数，在ln1,a上是增函数. 5 分 （2）解: 当0 x时，1ln11f xx，即ln110 xeaxx （*） 6 分 令 ln110 xg xeaxxx，则 101xgxea xx 若2a，由（1）知，当1a 时， 11xf xex在1, 上是增函数 故有 1 111 1 1f xfe . 7 分 即 11 1xf xex ，得11 1xex ，故有1xex 则112211xxeexx，得 101xgxeax. 8 分 函数 g x在区间0,上单调递增， 00g xg，（*）式成立9 分 若2a，令 11xxeax 则 222111011xxxexexx，当且仅当0 x时等号成立 函数 x在区间0,上单调递增 6 020a,111110111aaeaaaaaa . 10 分 00,xa，使得00 x,则当00 xx时， 00 xx，即 0gx 函数 g x在区间00,x上单调递减. 000g xg，即（*）式不恒成立 11 分 综上所述，实数a的取值范围是2, 12 分