1、数学试题卷 第 1 页 共 4 页 机密机密 启用前启用前 2022 年 4 月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考 数 学 班级：_ 姓名：_ 准考证号：_ （本试卷共4页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟） 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4考试结束后，将
2、本试题卷和答题卷一并上交 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合260AxxxR，集合1133xBxR，则AB A32xx B02xx C02xx Dx x 2已知z为复数且满足 z(1 + 2i) = 2-3i，其中i为虚数单位，则z的虚部为 A75 B75 C7i5 D7i5 3已知两个非零向量a，b夹角为 45，且| 2a，|2 | 2 5ab，则|b A2 B4 C3 2 D5 4已知为锐角，且3cos45 ，
3、则3cos4 A35 B35 C45 D45 5 公比不为 1 的等比数列， 前项和为， 已知23412,2aaa成等差数列， 若11a ，则6S A21 B5 C6 D63 6已知813axxx的展开式中2x项的系数为42，则实数a的值为 A43 B34 C43 D34 nannS数学试题卷 第 2 页 共 4 页 7近期全国多地又出现新冠疫情，形式严峻某中学为落实疫情防控的要求，将对进出校门人员进行健康码检查，现准备安排甲乙等 5 名工作人员在学校的前门，后门和侧门这三处进行值班，每处至少要安排一人且所有人员都要安排到位，甲乙两人因特殊情况不能安排在一处，则不同的安排方案共有 A90 种
4、B96 种 C114 种 D150 种 8已知不等式2eln21axxax对1,x 恒成立，则正实数a的取值范围是 A1,2e Be,2 Ce,2 D2e,2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知函数 3sin 26f xx，则 A函数 fx的最小正周期为2 B函数( )f x的图象关于直线6x 对称 C函数( )f x的图象关于点7,
5、012对称 D函数( )f x在,4 6 上单调递增 10已知2022(12 )x22021012202202220221aa xa xaxax，则 A展开式中所有项的系数和为 1 B展开式中二项式系数最大项为第 1011 项 C320212022122320212022122222aaaaa D1232021202223202124024420aaaaa 11已知数列 na中，12a ，112nnnaanN，则以下说法正确的是 A410a B数列na是等比数列 C20232022223a D20231232021223aaaa 12已知正方体ABCDEFGH棱长为2，M 为棱CG 的中点，
6、P 为底面EFGH 上的动点，则 A存在点 P，使得| 4APPM B存在唯一点 P，使得APPM C当AMBP，此时点 P 的轨迹长度为2 D当 P 为底面 EFGH 的中心时，三棱锥PABM的外接球体积为92 第 12 题图 数学试题卷 第 3 页 共 4 页 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知函数 22lnf xxx，则 fx在 x = 1 处的切线方程为_ 14袋中装有 9 个形状大小均相同的小球，其中 4 个红球，3 个黑球，2 个白球，从中一次取出 2 个球，记事件 A=“两球是同一颜色”，事件 B=“两球均为
7、红球”，则P B A _ 15已知直线xt分别与函数 exf xx和 31g xx的图象交于点 A，B，则AB的最小值为_ 16已知点A是抛物线28xy的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上在PAB中，sinsinPABmPBA mR，当m取最小值时，点P恰好在以 A，B 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分 10 分） 在ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为, ,a b c，且3 cos3sinbAcaB （1）
8、求角 B； （2）若312ABCSabc，求ABC周长的最大值 18（本题满分 12 分） 已知数列 na的前n项和为nS，11a ，11nnSanN （1）求数列 na的通项公式； （2）若nnbnSnN，求数列 nb的前n项和nT 19（本题满分 12 分） 某市运动会上，将要进行甲、乙两人的羽毛球冠亚军决赛，比赛实行三局两胜制已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为35，否则其获胜的概率为12 （1）若在第一局比赛中采用抛硬币的方式决定谁先发球，试求乙在此局获胜的概率； （2）若第一局由甲先发球，以后每局由负方先发球规定胜一局记 1 分，负一局记 0分，记 X 为比赛结束时甲的得分，求
9、随机变量 X 的分布列 数学试题卷 第 4 页 共 4 页 20（本题满分 12 分） 如下图， 在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD， 底面ABCD是菱形，2AB ，ABC= 60，点 M,N 分别为 BC,PA 的中点 （1）证明：MN平面PCD； （2）若直线AC与平面PBC所成角的正弦值为217，求平面PAC与平面 PCD 夹角的余弦值 21（本题满分 12 分） 已知抛物线2:20C xpy p的焦点为F， 抛物线上一点1,02A mm到F点的距离为3.2 （1）求抛物线的方程及点A坐标； （2） 设斜率为k的直线l过点2,0B且与抛物线交于不同的两点MN、， 若BM=BN且1,
10、44，求斜率k的取值范围 22（本题满分 12 分） 已知函数( )ln1f xxaxaR （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若12,x x是( )f x的两个零点，求证：121211xxxx 数学答案卷 第 1 页（共 11 页） 2022 年年 4 月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考 数学参考答案数学参考答案 1.C【解析】23062xxxxRxA，03131xxRxBx. 20 xxBA . 故答案 C. 2.A【解析】iiiiiiiiz5754574212121322132，所以复数z虚部为57. 故答案为 A. 3.B【解析】由|2 |
11、 2 5ab可得2024420222222bbbbaa，024bb 又. 4, 0bb 故答案为 B. 4.C【解析】3coscossin4424 234+0 ,sin+1 cos+44445为锐角， 4sin.45 故答案为 C. 5.A【解析】432,21,2aaa成等差数列，,2212423aaa设数列 na公比为q，则02, 0,2222222qqaqaaqa . 21或q 又. 21qq .212121116616qqaS 故答案为 A. 6.D 【解析】81xx展开式的通项NkkxCxxCTkkkkkk, 80 ,148881. ,.56,2838422283xxCTxxCT 数学
12、答案卷 第 2 页（共 11 页） 2x项为：.434256283222axaxx 故答案为 D. 7.C【解析】由题意，分为三类：第一类，甲单独在一处，其余人在剩下的两处； 2212312421324122242CCNCACCAA. 第二类，从剩下三人中选一人与甲在一处，其余人在剩下的两处； 1121223331254.NCCCCA 第三类，从剩下三人中选两人与甲在一处，其余人在剩下的两处； 122233218.NCCA 总的安排方案数123114.NNNN 或用总的方法数减去问题反面的方法数也可. 故答案为 C. 8.A【解析】由xaxeax12ln2可得xexxaxexaxlnln2ln
13、2 令 xexfx易知 xf在, 0上单调递增， 又有0ln, 020, 1ln2xaxaxxfaxf.1ln2均成立对任意的 xxax .21121, 1lnln2maxeaeaeyeexxyxxa递减上递增，在 故答案为 A. 二二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题，每小题小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有分在每小题给出的选项中，有多多项项符合题目要求符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9.BC【解析】 .2选项错误，故的最小正周期为函数ATxf ., 162
14、sin6选项正确故代入解析式得：将Bxx ., 0127127选项正确故代入解析式得：将Cfx 数学答案卷 第 3 页（共 11 页） .3,66,4.3,6.36226222选项错误故，使得显然，不存在这样的为的单调递增区间可得：由DkkkZkkkxfZkkxkkxk 故答案为 BC. 10.ACD【解析】在展开式中，令 x=1 可得：112120222022210aaaa，故 A选项正确. 展开式有 2023 项，所以第 1012 项的二项式系数最大，故 B 选项错误. 在展开式中，令 x=0 可得：102120220a； 再令21x，得20223202120221202320212022
15、11 20222222aaaaaa 将以上两式相减可得320212022122320212022122222aaaaa ，故 C 选项正确. 对展开式两边分别求导得：20212022232120212022322120222xaxaxaax，再令 x=1 可得1232021202223202124024420aaaaa.故 D 选项正确. 故答案为 ACD. 11.ACD 【 解 析 】 由12a 及112nnnaa可 得 前 四 项 为2 ， 2 ， 6 ， 10 ，.BA选项错误选项正确， 1352021122021123452020202110111011202322222 1 42 4
16、222.1 433aaaaaaaaaaD故 选项正确. 122022123420212022242022122021202212202112202120231220212222.2223C.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa故 选项正确故答案为 ACD. 12.BCD【解析】 .,xyzDzyxDHDCDAD建立空间直角坐标系轴所在直线分别为为原点，以 RyxyxPMA,2 ,1 , 2 , 0,0 , 0 , 2点坐标为，设, ,1,2 ,2 , 2yxPMyxAP 数学答案卷 第 4 页（共 11 页） . 417410220.4 , 0 , 2222111MAPMAPAAEFG
17、HAPMAP为点坐标，则的对称点，设该点为关于平面的最小值，找出点为求故 A 选项错误. 1011022202222yxyxyyxxPMAPPMAP可得由故 B 选项正确. . 2. 10222222 ,0,即长为的一半，线段中点的线段，其长度为中点与棱轨迹是连接棱点得到坐标为，此时由点即时HFEHEFPxyyxyxPBPAMBPAM 故 C 选项正确. .29.2321.球径为的中点，从而求得球半外接球球心为棱显然，选项知的中心时，由为底面当VAMAMBMABPMAPAEFGHP故 D 选项正确. 故答案为 BCD. 三、三、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分
18、，共分，共 20 分分 13.1y【解析】 22,10fxxfx 又因为 11 f ,所以 1xxf在处的切线方程为1y. 14. 【解析】 .53292223242924CCCCCCAPABPABP 15.【解析】当时，tx 01213ttettetgtftt . 2ln2302ln232ln2ln2ln, 02, 12min最小值为上递增，上递减，在令ABhththethtethtt 16.【解析】 sinsinPABmPBA PBPBm PAmPA 又PHPBsinPHmPAHPA. 当 m 最小时， 故.最小与抛物线相切时，当直线PAHAP点 A2, 0 ,设直线 AP 方程为2 kx
19、y，联数学答案卷 第 5 页（共 11 页） 立2 , 4, 106464016828222Pkkkxxkxyyx . 4,24PBPHPA 此时，椭圆中1242 , 4242acecPBPAa椭圆离心率. 四、四、解答题：解答题： 本题共本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17.（1）3（过程见解析） （2）9（过程见解析） 【解析】 (1)解：由已知及正弦定理可得： BABABACBAABsincos3cossin3sin3sin3sinsincossin3 分可得由显然分又分4.3, 0, 3tan, 0co
20、s3cos3sin0sin, 02cossin3sinsinBBBBBBAABABA所以角B=3 . 5分 （2）abcSABC123=acac433sin213b 6 分 法一：由余弦定理可得： 分时等号成立当且仅当分即9.386941233999cos222222222cacacacaaccaaccabBacca所以ABC周长的最大值为9. 10分 法二：由正弦定理得：323sin3sinsinCcAa 数学答案卷 第 6 页（共 11 页） 分有最大值时，即分9. 632632, 086sin6cos3sin333sinsin32sinsin32caAAAAAAAACAca所以ABC周长
21、的最大值为9. 10分 18.（1）（过程见解析） （2）（过程见解析） 【解析】(1)解：由题意，数列 na满足111,1nnaSa. 又112,nnnnSaN1分 两式相减可得：Nnnaann, 2213 分 而121211,12,2aaaaa 4 分 所以数列 na是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列.5 分 所以数列 na的通项公式为：1112nnnaa qnN.6 分 (2)解：由21nnS ，可得12 nnnnnSb7 分 所以12311 22 23 2(1) 221 23nnnTnnn 8 分 可得234121 22 23 2(1) 222 1 23nnnTnnn 9 分
22、两式相减可得：121112 1 21222212321 221122112nnnnnnn nTnnnn nn 分所以11.21 22nnnTnn 12 分 19.（1）（过程见解析） （2）见解析 【解析】（1）解：设事件A为“乙在第一局中获得胜利”，设事件 B 为“甲先发球”，事件 C数学答案卷 第 7 页（共 11 页） 为“乙先发球”，则.,互斥、CBCB2 分 12119.5252220P AP BACAP BAP CAP B P A BP C P A C由全概率公式可知： 分（2） X 的可能取值为0,1,26 分 0X 时，比赛的结果为：“乙乙” 22405525P X7 分 1X
23、 时，比赛的结果为：“乙甲乙”，“甲乙乙” 2313126155252525P X9 分 X=2 时，比赛的结果为：“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲” 3131323132525255525P X11 分 X 的分布列为： X 0 1 2 P 425 625 35 12 分 20.（1）见解析 （2）见解析 【解析】(1)取.,CQNQQPD，连接中点1 分 .21/ADNQADNQPADNQ且的中位线，为2分 .21/ADMCADMCBCMABCD且中点，为为菱形，四边形又3 分 ./MCNQMCNQ且 所以四边形 NQCM 为平行四边形， 所以 NM/QC4 分 PCDQCPCDNM平面平面
24、又,MN平面PCD5 分 .,)2(xyzOzPAOyxOCOBOOAC系轴，建立空间直角坐标直线为平行的与轴，以过点所在直线分别为为原点，以以中点为设 设0aaPA, 0 , 0 , 3, 1, 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 3,0 , 1, 0DaPCBA6 分 数学答案卷 第 8 页（共 11 页） 0,2,0 ,3,1,0 ,0,2,3, 1,0=030, ,20=0ACBCPCaCDn BCxynx y zPBCyazn PC 设为平面的一法向量， 6 ,3 ,33aanay可得取7 分 直线AC与平面PBC所成角的正弦值为： . 272136932622aaaaBCnBC
25、n8 分 (利用几何法找到线面角求出 a=2 也可) 下面求PACPCD平面与平面夹角的余弦值. 易证得 OBPAC平面.0 , 0 , 3的一法向量可作为平面PACOB 9 分 1=030, ,220=0n CDxynx y zPCDyzn PC设为平面的一法向量， 3, 3, 131ny可得取10 分 .PACPCD设平面与平面夹角为.77733,coscos1OBn11 分 所以PACPCD平面与平面夹角的余弦值为.7712 分 21.（1）抛物线方程为：24xy；A 点坐标为：21,2（过程见解析） （2）（过程见解析） 【解析】（1）由抛物线定义可知：yxppAF4, 2,23221
26、2抛物线方程为得.3分 将点021,mmA坐标代入抛物线方程得：2m点 A 坐标为21,2.5 分 (2)直线l的方程为2xky，设 2211,yxyxNM两点的坐标分别为、. O NMDCBAPx y z 数学答案卷 第 9 页（共 11 页） 联立yxxky422消去y，整理得：0842kkxx 6 分 由. 200321602kkkk或 且.8,42121kxxkxx7 分 又BNBM即2211, 2, 2yxyx .2121yyyy 8 分 2221214,4yxyx 2 ,2121, 24 ,4121221xxxx9 分 121222212211221122121221xxxxxxx
27、xkxxxxkxxxx又10 分 令2 ,2121, 221txx 49, 20 ,411121ttk11 分 .49, 20 ,4120的取值范围是，或又kkk12 分 22.（1）见解析 （2）见解析 【解析】（1） ，定义域为 0 xf. .11)(xaxaxxf1分 当时，0a 上单调递增；在均成立，对, 0, 00)(xfxxf2 分 当0a时，.1, 0)(;10, 0)(axxfaxxf解得令解得令 分上单调递减上单调递增，在在3.,11, 0aaxf 综上所述，时，0a 上单调递增；在, 0 xf 0a时， .,11, 0上单调递减上单调递增，在在aaxf4 分 （2）12,x
28、 x( )f x是的两个零点，由（1）可知： 分合题意；最多存在一个零点，不上单调递增，在时，5, 00 xfxfa 数学答案卷 第 10 页（共 11 页） .,11, 0.0上单调递减上单调递增，在在此时的情况故只考虑aaxfa .1,10.,110,212121axaxaaxxxfxx不妨令上上，一个在，必有一个在则的两个零点是又 要证121211xxxx 即证112212xxxxxx 即证121xx 即证0lnln21xx 由题意有：2lnln01ln01ln21212211xxaxxaxxaxx 要证0lnln21xx 即证0221 xxa 即证axx221.7 分 法一：即证122
29、xax axaax121011 又因为 .,112上单调递减在且axfax 要证122xax 只需证122xafxf 而 21xfxf 即证 0211xafxf 9 分 axaxxaxxaaxaaxxxafxfxg1, 0222lnln22lnln2令 数学答案卷 第 11 页（共 11 页） 011, 0.1, 0)( 2221, 0111, 01122222222211)( 222222agxgaxgaxxgaaxxaaaxaaxaaxaaxxaaxxaxaxaaaxxxg上单调递增，在都成立对时， 从而命题得证.12 分 法二：即证axx221 .分由8-ln-ln-ln-ln01ln01ln212121212211xxxxaxxaxxaxxaxx 即证212121lnln2xxxxxx 即证2121212lnlnxxxxxx 即证112ln212121xxxxxx 令1 , 0,21ttxx 即证112lnttt10 分 011 , 00111411 , 0,112ln222hthtthtttttthttttth上单调递增在令 从而命题得证.（其他做法酌情给分）12 分
