1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8 6 双曲线 重点保分 两级优选练 一、选择题 1 (2018 唐山统考 )“ k25， “ k1)与双曲线 C2：x2n2 y2 1(n0)的焦点重合， e1， e2分别为 C1， C2的离心率，则 ( ) A mn 且 e1e21 B mn 且 e1e21 D m0， m1 可得 mn， 且 m2 20.从而 e21 e22m2 1 n2 1m2 n2 m2 1 2m2 m2 2 ， 则 e21e22 1m2 1 2m2 m2 2 11m2 m2 2 0， 即 e1e21.故选 A. 6 (2017 福建龙岩二模 )已知离心率 为 52 的双曲线 C：
2、x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且 OM MF2， O 为坐标原点，若 SOMF2 16，则双曲线的实轴长是 ( ) A 32 B 16 C 84 D 4 答案 B 解析 由题意知 F2(c,0)，不妨令点 M 在渐近线 y bax 上，由题意可知 |F2M| bca2 b2b，所以 |OM| c2 b2 a.由 S OMF2 16，可得 12ab 16，即 ab 32，又 a2 b2 c2， ca 52 ，所以 a 8， b 4， c 4 5，所以双曲线 C 的实轴长为 16.故选 B. 7 (2018 湖南十校联
3、考 )设双曲线 x2a2y2b2 1 的两条渐近线与直线 xa2c分别交于 A， B两点， F 为该双曲线的右焦点若 60 AFB 90 ，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A (1， 2) B ( 2， 2) C (1,2) D ( 2， ) 答案 B 解析 双曲线 x2a2y2b2 1 的两条渐近线方程为 y bax， xa2c时， y abc ，不妨设A? ?a2c，abc ， B?a2c，abc ， 60 AFB 90 ， 33 kFB 1， 33 abcc a2c 1， 33 ab 1， 13 a2c2 a2 1， 1 e2 1 3， 2 e 2.故选 B. 8 (2017 福建
4、漳州八校联考 )已知椭圆 C1： x2a21y2b21 1(a1 b1 0)与双曲线 C2：x2a22y2b221(a2 0， b2 0)有相同的焦点 F1， F2，点 P 是两曲线的一个公共点， e1， e2分别是两曲线的离心率，若 PF1 PF2，则 4e21 e22的最小值为 ( ) A.52 B 4 C.92 D 9 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 C 解析 由题意设焦距为 2c，令 P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义知 |PF1| |PF2|2a2， 由椭圆定义知 |PF1| |PF2| 2a1， 又 PF1 PF2， |PF1|2 |PF2|2 4c2， 2 2，得 |P
5、F1|2 |PF2|2 2a21 2a22， 将 代入 ，得 a21 a22 2c2， 4e21 e22 4c2a21 c2a22a21 a222a21 a21 a222a22 522a22a21 a212a2252 22a22a21 a212a2292，当且仅当2a22a21 a212a22，即 a21 2a22时，取等号故选 C. 9 (2017 青州市模拟 )已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为 F1， F2，这两条曲线在第一象限的交点为 P， PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形若|PF1| 10，记椭圆与双曲线的离心率分别为 e1， e2，则 e1 e2
6、的取值范围是 ( ) A.? ?13， B.? ?15， C.? ?19， D (0， ) 答案 A 解析 设椭圆和双曲线的半焦距为 c， |PF1| m， |PF2| n(mn)， 由于 PF1F2是以 PF1为底边的等腰 三角形若 |PF1| 10， 即有 m 10， n 2c， 由椭圆的定义可得 m n 2a1， 由双曲线的定义可得 m n 2a2， 即有 a1 5 c， a2 5 c(c10， 可得 c52，即有 5213. 则 e1 e2的取值范围为 ? ?13， .故选 A. 10已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心率为32 .双曲线 x2 y2 1 的渐近线与椭圆
7、 C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为 ( ) A.x28y22 1 B.x212y26 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.x216y24 1 D.x220y25 1 答案 D 解析 椭圆的离心率为 32 ， ca a2 b2a 32 ， a 2b. 椭圆的方程为 x2 4y2 4b2. 双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程为 x y 0， 渐近线 x y 0 与椭圆 x2 4y2 4b2在第一象限的交点为 ? ?2 55 b， 2 55 b ， 由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为 2 55 b 2 55 b 4， b2 5， a2
8、 4b2 20. 椭圆 C 的方程为 x220y25 1.故选 D. 二、填空题 11若点 P 在曲线 C1： x216y29 1 上 ，点 Q 在曲线 C2： (x 5)2 y2 1 上，点 R 在曲线C3： (x 5)2 y2 1 上，则 |PQ| |PR|的最大值是 _ 答案 10 解析 依题意得，点 F1( 5,0)， F2(5,0)分别为双曲线 C1的左、右焦点，因此有 |PQ|PR|(| PF2| 1) (|PF1| 1)| PF2| |PF1| 2 24 2 10，故 |PQ| |PR|的最大值是 10. 12过双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左焦点 F( c,0)
9、(c0)，作圆 x2 y2 a24的切线，切点为 E，延长 FE 交曲线右支于点 P，若 OE 12(OF OP )，则双曲线的离心率为 _ 答案 102 解析 圆 x2 y2 a24的半径为a2，由 OE 12(OF OP )知， E 是 FP 的中点，设 F( c,0)，由于 O 是 FF 的中点，所以 OE PF， |OE| 12|PF| ?|PF| 2|OE| a. 由双曲线定义， |FP| 3a，因为 FP 是圆的切线，切点为 E，所以 FP OE，从而 FPF 90. 由勾股定理，得 |FP|2 |F P|2 |FF| 2?9a2 a2 4c2?e 102 . 13 (2018 安
10、徽江南十校联考 )已知 l 是双曲线 C： x22y24 1 的一条渐近线， P 是 l 上的一点， F1， F2是 C 的两个焦点，若 PF1 PF2 0，则 P 到 x 轴的距离为 _ 答案 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意取 F1( 6， 0)， F2( 6， 0)，不妨设 l 的方程为 y 2x，则可设 P(x0， 2x0)，由 PF1 PF2 ( 6 x0， 2x0)( 6 x0， 2x0) 3x20 6 0，得 x0 2，故 P到 x 轴的距离为 2|x0| 2. 14 (2018 贵州六校联考 )我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对 “ 相关曲
11、线 ” 已知 F1， F2是一对相关曲线的焦点， P 是它们在第一象限的交点，当 F1PF2 60 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是 _ 答案 3 解析 设 椭圆的半长轴为 a1，椭圆的离心率为 e1， 则 e1 ca1， a1 ce1. 设双曲线的实半轴为 a，双曲线的离心率为 e， e ca， a ce. |PF1| x， |PF2| y(xy0)， 则由余弦定理得 4c2 x2 y2 2xycos60 x2 y2 xy， 当点 P 看作是椭圆上的点时， 有 4c2 (x y)2 3xy 4a21 3xy， 当点 P 看作是双曲线上的点时， 有 4c2 (x y)2 xy 4a2 xy
12、， 联立消去 xy，得 4c2 a21 3a2， 即 4c2 ? ?ce12 3?ce2， 所以 ? ?1e12 3?1e2 4， 又因为 1e1 e，所以 e2 3e2 4， 整理得 e4 4e2 3 0，解得 e2 3，所以 e 3， 即双曲线的离心率为 3. 三、解答题 15已知点 M( 2,0)， N(2,0)，动点 P 满足条件 |PM| |PN| 2 2，记动点 P 的轨迹为W. (1)求 W 的方程； (2)若 A 和 B 是 W 上的不同两点， O 是坐标原点，求 OA OB 的最小值 解 (1)由 |PM| |PN| 2 2知动点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点的双曲线的右
13、支，实半轴长 a 2. 又焦距 2c 4，所以虚半轴长 b c2 a2 2. 所以 W 的方程为 x22y22 1(x 2) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 A， B 的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2) 当 AB x 轴时， x1 x2， y1 y2，从而 OA OB x1x2 y1y2 x21 y21 2. 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y kx m(k1) ，与 W 的方程联立，消去y 得 (1 k2)x2 2kmx m2 2 0， 则 x1 x2 2km1 k2， x1x2 m2 2k2 1， 所以 OA OB x1x2 y1y2 x1
14、x2 (kx1 m)(kx2 m) (1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2 k2 m2k2 1 2k2m21 k2 m2 2k2 2k2 1 24k2 1. 又因为 x1x20，所以 k2 10. 所以 OA OB 2. 综上所述，当 AB x 轴时， OA OB 取得最小值 2. 16已知双曲线 C： x2 y2 1 及直线 l： y kx 1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A， B 两点， O 是坐标原点，且 AOB 的面积为 2，求实数 k 的值 解 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点，则方程组? x2
15、 y2 1，y kx 1， 有两个不同的实数根，整理得 (1 k2)x2 2kx 2 0，所以? 1 k20 ， 4k2 k2 ， 解得 2|x2|时， S OAB S OAD S OBD 12(|x1| |x2|) 12|x1 x2|； 当 A， B 在双曲线的两支上且 x1x2时， =【 ;精品教育资源文库 】 = S OAB S ODA S OBD 12(|x1| |x2|) 12|x1 x2|. 所以 S OAB 12|x1 x2| 2， 所以 (x1 x2)2 (2 2)2，即 ? ? 2k1 k2 2 81 k2 8， 解得 k 0 或 k 62 ，又因为 2k 2， 且 k1 ， 所以当 k 0 或 k 62 时， AOB 的面积为 2.
