1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 9 讲 对数与对数函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用 2理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点 3知道对数函数是一类重要的函数模型 4了解指数函数 y ax与对数函数 y logax 互为反函数 (a0，且 a1) 2017 全国卷 ， 11 2017 北京卷， 8 2016 浙江卷，12 1对数式的化简与求值，考查对数的运算法则 2对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性，难度不大 3指数函数、
2、对数函数的综合问题，考查反函数的应用，与指数函数、对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题，综合性强，难度稍大 分值： 5 8 分 1对数的概念 (1)对数的定义 如果 ax N(a0，且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 _x logaN_，其中_a_叫做对数的底数， _N_叫做真数 (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0，且 a1) _logaN_ 常用 对数 底数为 _10_ _lg_N_ 自然对数 底数为 _e_ _ln_N_ 2对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = alogaN _N_； loga
3、aN _N_(a0，且 a1) (2)对数的重要公式 换底公式： ！ logbN logaNlogab#(a， b 均大于零，且不等于 1)； logab 1logba，推广 logablog bclog cd _logad_. (3)对数的运算法则 如果 a0，且 a1 ， M0， N0，那么 loga(MN) _logaM logaN_； logaMN _logaM logaN_； logaMn _nlogaM_(n R)； logamMn ！ nmlogaM #. 3对数函数的图象与性质 a1 01 时， _y0_； 当 01 时， _y0_ 是 (0， ) 上的 _增函数 _ 是 (0
4、， ) 上的 _减函数 _ y logax 的图象与 y log1ax(a0 且 a1) 的图象关于 x 轴对称 4 y ax与 y logax(a0， a1) 的关系 指数函数 y ax与对数函数 _y logax_互为反函数，它们的图象关于直线 _y x_对称 5对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y 1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 0b1,00，所以 y xc为增函数，又 ab1，所以 acbc， A 项错对于选项 B， abcy1，故选 D 4函数 y log0.5?4x 3?的定义域为 ( C ) A?x? x34
5、B?x? 341， x log2k， y log3k， z log5k， 2x 3y 2log2k 3log3k ? ?2lg 2 3lg 3 lg k lg 9 lg 8lg 2lg 3 lg k0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 2x3y；同理， 5z 2x ? ?5lg 5 2lg 2 lg k lg 32 lg 25lg 5lg 2 lg k0， 5z2x， 5z2x3y，故选 D (3)原式 lg 5 lg 2 12 2 1 12 2 12. (4) 2x 12， x log212， x y log212 log213 log24 2. 二 对数函数的图象及应用 在识别函数图象时
6、，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点 (与坐标轴的交点、最高点、最低点等 )排除不符合要求的选项在研究方程的根时，可 把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系 【例 2】 (1)函数 f(x) lg 1|x 1|的大致图象是 ( D ) (2)若不等式 4x2 logax0， a1 ， u ax 3 是增函 数， 依题意得? a0，a1 30， 即 a3. (2)函数 y 12ex与函数 y ln (2x)互为反函数，图象关于直线 y x 对称，如图所示函数 y 12ex图象上的点 P? ?x， 12ex 到直线 y x 的距离为 d ? ?12e
7、x x2 . 设函数 g(x) 12ex x， g( x) 12ex 1，由 g( x) 0 得 x ln 2，则 g(x)在 ( ，ln 2)上递减，在 (ln 2， ) 上递增 g(x)min 1 ln 2， dmin 1 ln 22 .由图象关于直线 y x 对称得 |PQ|的最小值为 2dmin 2(1 ln 2) 1下列四个命题： ? x0 (0， ) ， ? ?12 x0log13x0； ? x (0， ) ， ? ?12 xlog12x； ? x ? ?0， 13 ， ? ?12 x0 时， 4(a 1)2 12(a2 1)0 ，解得 2 a0， 若 |f(x)| ax，则 a
8、的取值范围是 _2,0_. 解析 |f(x)|? x2 2x， x0 ，ln ?x 1?， x0， 由 |f(x)| ax，以下两种情况均成立： ? x0 ，x2 2x ax 恒成立，可得 a x 2 恒成立，则 a( x 2)max， 即 a 2； 由? x0，ln ?x 1? ax 恒成立，根据函数图象可知 a0. 综合 得 2 a0. 易错点 忽视对数的真数大于零 =【 ;精品教育资源文库 】 = 错因分析：解决对数问题，时刻要注意真数大于零 【例 1】 函数 y log12(2x2 3x 1)的递减区间为 ( ) A (1， ) B ? ? ， 34 C ? ?12， D ? ?34，
9、 解析 由 2x2 3x 10，得 x1 或 x1或 x0 且 x 10 ，得 x 1 且 x1 2若 02xlg x B 2xlg x x C 2x xlg x D lg x x2x 解析 01,0 xlg x，故选 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 (2018 天津模拟 )函数 f(x) log12(x2 4)的单调递增区间是 ( D ) A (0， ) B ( ， 0) C (2， ) D ( ， 2) 解析 函数 y f(x)的定义域为 ( ， 2) (2， ) ，因为函数 y f(x)是由 ylog12t 与 t g(x) x2 4 复合而成，又 y log12t 在 (0，
10、 ) 上单调递减， g(x)在 ( ， 2)上单调递减，所以函数 y f(x)在 ( ， 2)上单调递增，故选 D 4 (2018 福建福州模拟 )函数 y lg|x 1|的图象是 ( A ) 解析 因为当 x 2 或 0 时， y 0，所以 A 项符合题意 5 (2017 北京卷 )根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080，则下列各数中与 MN最接近的是 (参考数 据： lg 30.48)( D ) A 1033 B 1053 C 1073 D 1093 解析 因为 lg 3361 361lg 33610.48 173， 所以 M10 173，则 MN 101731080 1093，故选 D 6 (2018 四川成都一诊 )设 a ? ?79 14 ， b ? ?9715 ， c log279，则 a， b， c 的大小顺序是 ( C ) A b15， ab0，又 c log2790，2 x， x0 ， 则 f(f( 4) f?log216 _8_. 解析 f(f( 4) f(24) log416 2， log2160 且 a1) 在 2,3上为增函数，求实数 a 的取值范围 解析 若 01，则 y logax 为增函数， y x2 ax 在 2,3上为增函数， a22 ， a4 ；
