1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 12 讲 函数模型及其应用 考纲要求 考情分析 命题趋势 1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2了解函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 )的广泛应用 2016 浙江卷， 18 2016 四川卷， 13 2016 北京卷， 1 函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题 分值： 5 14 分 1三种函数模型性质比较 y ax(a1) y logax(a1)
2、y xn(n0) 在 (0， ) 上的单调性 单调 递增 函数 单调 递增 函数 单调 递增 函数 增长速度 越来越 快 越来越 慢 相对平稳 图象的变化 随 x 值增大，图象与 y 轴接近平行 随 x 值增大，图象与 x 轴接近平行 随 n 值变化而不同 2几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x) ax b(a， b 为常数， a0) 二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数， a0) 指数型函数 模型 f(x) bax c(a， b， c 为常数， a0 且 a1 ， b0) 对数型函数模型 f(x) blogax c(a， b， c 为常数
3、， a0 且 a1 ， b0) 幂函数型函数模型 f(x) axn b(a， b， n 为常数， a0) 3解决函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 (3)解模：求解数学模型，得出数学结论 (4)还原：将数学问题还原为实际意 义 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)函数 y 2x的函数值在 (0， ) 上一定比 y x2的函数值大 ( ) (2)在 (0， ) 上，随着 x 的增大， y ax(a1
4、)的增长速度会超过并远远大于 y xa(a0)的增长速度 ( ) (3)“ 指数爆炸 ” 是指数型函数 y a bx c(a0 ， b0， b1) 增长速度越来越快的形象比喻 ( ) (4)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题 ( ) 解析 (1)错误当 x (0,2)和 (4， ) 时， 2xx2，当 x (2,4)时， x22x. (2)正确由两者的图象易知 (3)错误增长越来越快的指数型函数是 y a bx c(a0， b1) (4)正确根据指数函数 y ax(a1)的函数值增长特点易知 2已知 f(x) x2， g(x) 2x， h(x) log2x，当 x
5、(4， ) 时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是 ( B ) A f(x)g(x)h(x) B g(x)f(x)h(x) C g(x)h(x)f(x) D f(x)h(x)g(x) 解析 由图 象知，当 x (4， ) 时，增长速度由大到小依次为 g(x)f(x)h(x) 3在某个物理实验中，测量得变量 x 和变量 y 的几组数据，如下表 . x 0.50 0.99 2.01 3.98 y 0.99 0.01 0.98 2.00 则 x， y 最适合的函数的是 ( D ) A y 2x B y x2 1 C y 2x 2 D y log2x 解析 根据 x 0.50， y 0.
6、99，代入计算，可以排除 A 项；将 x 2.01， y 0.98 代入计算，可以排除 B 项， C 项；将各数据代入函数 y log2x，可知满足题意，故选 D 4一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时燃烧 5 cm，燃烧时剩下的高度 h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为下图中的 ( B ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意知 h 20 5t(0 t4) ，故选 B 5生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x) 12x2 2x 20(万元 )一万件售价是 20 万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数
7、量为 ( B ) A 36 万件 B 18 万件 C 22 万件 D 9 万件 解析 利润 L(x) 20x C(x) 12(x 18)2 142，当 x 18 时， L(x)有最大值 一 二次函数模型 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题 【例 1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的 处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处
8、理成本 y(元 )与月处理量 x(吨 )之间的函数关系可近似的表示为 y 12x2 200x 80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100 元则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解析 设该单位每月获利为 S，则 S 100x y 100x ? ?12x2 200x 80 000 12x2 300x 80 000 12(x 300)2 35 000， 因为 400 x600 ，所以当 x 400 时， S 有最大值 40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损 =【 ;
9、精品教育资源文库 】 = 二 指数函数、对数函数模型 一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解求解时注意指数式与对数式的互化、指数函数值域的影响以及实际问题中的条件限制 【例 2】 (1)某食品的保鲜时间 y(单位：小时 )与储藏温度 x(单位： ) 满足 函数关系 y ekx b(e 2.718? 为自然对数的底数， k， b 为常数 )若该食品在 0 的保鲜时间是 192小时，在 22 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33 的保鲜时间是 ( C ) A 16 小时 B 20 小时 C 24 小时 D 28 小时 (2)(2016 四川卷 )
10、某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司 2015年全年投入研发奖金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过 200 万元的年份是 (参考数据： lg 1 120.05 ， lg 1 30.11 ， lg 20.30)( B ) A 2018 年 B 2019 年 C 2020 年 D 2021 年 解析 (1)由已知条件，得 192 eb， b ln 192. 又 48 e22k b e22k ln 192 192e22k 192(e11k)2， e11k ? ?4819212 ? ?1412 12. 设该食品在 33
11、的保鲜时间是 t 小时， 则 t e33k ln 192 192e33k 192(e11k)3 192 ? ?12 3 24. (2)设第 n(b N*)年该公司年投入的研发资金开始超过 200 万元根据题意得 130(112%)n 1200， 则 lg130(1 12%)n 1lg 200， lg 130 (n 1)lg 1 12lg 2 2， 2 lg 1 3 (n 1)lg 1 12lg 2 2， 0.11 (n 1)0.050.30 ， 解得 n245 ，又 n N*， n5 ， 该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 2019 年，故选 B 三 分段函数模型 (1)很
12、多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值 【例 3】 已知某公司生产 某品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件需另投入2.7万元设该公司一年内共生产该品牌服装 x千件并全部销售完，每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)? 10.8 130x2， 010.(1)写出年利润 W(万元 )关于年产品 x(千件 )的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中
13、所获年利润最大？ (注：年利润年销售收入年总成本 ) 解析 (1)当 010 时， W xR(x) (10 2.7x) 98 1 0003x 2.7x. W? 8.1x x330 10， 010.(2) 当 00 ，当 x (9,10时， W10 时， W 98 ? ?1 0003x 2.7x 98 2 1 0003x 2.7 x 38，当且仅当 1 0003x 2.7x，即 x 1009 时， W 38，故当 x 1009 时， W 取最大值 38(当 1 000x 取整数时， W 一定小于 38) 综合 知，当 x 9 时， W 取最大值，故当年产量为 9 千件时，该公司在这一品牌服装的生
14、产中所获年利润最大 四 函数 y x ax(a0)模型 =【 ;精品教育资源文库 】 = 函数 y x ax(a0)在 a， 0)和 (0， a上单调递减，在 ( ， a和 a， )上单调递增 (函数单调性定义法、导数方法均可证明 )，如图所示，函数图象无限趋近于直线y x，但永不相交当 a在函数的定义域内时，可以使用基本不等式求最小值，当 a不在函数的定义域内时，根据函数的单调性求最小值 【例 4】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元 )与隔热厚度 x(单位： cm)满足关系 C(x) k3x 5(0 x10) ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20年的能源消耗费用之和 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值 解析 (1)由已知得 C(0) 8，则 k 40， 因此 f(x) 6x 20C(x) 6x 8003x 5(0 x10) (2)f(x) 6x 10 8003x 5 102 ?6x 10? 8003x 5 10 70(万元 )， 当且仅当 6x 10 8003x 5，即 x 5 时等号成立
