1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 17 讲 导数与函数的极值、最值 1函数 f(x) 2x3 6x2 18x 7 在 1,4上的最小值为 ( ) A 64 B 61 C 56 D 51 2从边长为 10 cm16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为 ( ) A 12 cm3 B 72 cm3 C 144 cm3 D 160 cm3 3已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元 )与年产量 x(单位：万件 )的函数关系式为 y 13x3 81x 234，则使该 生产厂家获得最大年利润的年产量为 ( ) A 13 万件 B 11 万件 C 9 万
2、件 D 7 万件 4 (2017 年广东东莞二模 )已知函数 f(x) xex m2x2 mx，则函数 f(x)在 1,2上的最小值不可能为 ( ) A e 32m B 12mln2m C 2e2 4m D e2 2m 5 (2017 年广东惠州三模 )设曲线 f(x) ex x(e 为自然对数的底数 )上任意一点处的切线为 l1，总存在曲线 g(x) 3ax 2cos x 上某点处 的切线 l2，使得 l1 l2，则实数 a 的取值范围为 ( ) A 1,2 B (3， ) C.? ? 23， 13 D.? ? 13， 23 6对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 (x 1)f( x
3、)0 ，则必有 ( ) A f(0) f(2)2f(1) 7已知 f(x) xex， g(x) (x 1)2 a，若 ? x1， x2 R，使得 f(x2) g(x1)成立，则实数 a 的取值范围是 _ 8 (2015 年安徽 )设 x3 ax b 0，其中 a， b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 _ (写出所有正确条件的编号 ) a 3， b 3； a 3， b 2； a 3， b 2； a 0， b 2； a 1， b 2. 9已知函数 f(x) ax 2x 3ln x， 其中 a 为常数 (1)当函数 f(x)的图象在点 ? ?23， f? ?23 处的切线的斜率
4、为 1 时，求函数 f(x)在 ? ?32， 3 上的最小值； (2)若函数 f(x)在区间 (0， ) 上既有极大值又有极小值，求实数 a 的取值范围 =【 ;精品教育资源文库 】 = 10 (2015 年江苏 )某山区外围有两条相互垂直的直线型公路， 为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1， l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l，如图 X2171， M， N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1， l2的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1， l2的距离分别为 20 千米和 2.5千米，以 l1，
5、 l2所在的直线分别为 x 轴， y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y ax2 b(其中 a， b 为常数 )模型 (1)求 a， b 的值； (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点， P 的横坐标为 t. 请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域； 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度 图 X2171 =【 ;精品教育资源文库 】 = 第 17 讲 导数与函数的极值、最值 1 B 解析： f( x) 6x2 12x 18 6(x2 2x 3) 6(x 3)(x 1)，由 f( x) 0，得 x 3 或 x 1；由 f( x)
6、0，得 1 x 3.故函数 f(x)在 1,3上单调递减，在 3,4上单调递增， f(x)min f(3) 227 69 183 7 61. 2 C 解析：设盒子容积为 y cm3，盒子的高为 x cm， 则 y (10 2x)(16 2x)x 4x3 52x2 160x(0 x 5) y 12x2 104x 160.令 y 0，得 x 2 或 x 203(舍去 ) ymax 6122 144(cm3) 3 C 4.D 5 D 解析： f( x) ex 1， g( x) 3a 2sin x，在 f(x)上取点 (x1， y1)，在 g(x)上取点 (x2， y2)，要 l1 l2，需 3a 2
7、sin x211e1x ? ， 3a 2sin x 3a 2， 3a 2，1ex 1 (0,1)， a 2,3a 2则有? 3a 20 ，3a 21 ， 解得13 a23. 6 C 解析：不等式 (x 1)f( x)0 等价于? x 10 ，f x 或 ? x 10 ，f x 可知f(x)在 ( ， 1)上单调递减，在 (1， ) 上 单调递增，或者 f(x)为常数函数，因此 f(0) f(2)2 f(1) 7.? ? 1e， 解析： f( x) ex xex ex(1 x)，当 x 1 时， f( x) 0，函数f(x)单调递增；当 x 1 时， f( x) 0，函数 f(x)单调递减，所以
8、函数 f(x)的最小值为f( 1) 1e.而函数 g(x)的最大值为 a，则由题意，可得 1e a，即 a 1e. 8 解 析：令 f(x) x3 ax b，求导得 f( x) 3x2 a，当 a0 时， f( x)0 ，所以 f(x)单调递增，且至少存在一个数使 f(x) 0，至少存在一个数使 f(x) 0，所以 f(x) x3 ax b 必有一个零点，即方程 x3 ax b 0 仅有一根，故 正确；当 a 0 时，若 a 3，则 f( x) 3x2 3 3(x 1)(x 1)，易知 f(x)在 ( ， 1)， (1， ) 上单调递增，在 1,1上单调递减，所以 f(x)极大 f( 1) 1
9、 3 b b 2， f(x)极小 f(1) 1 3 b b 2， 要使方程仅有一根，则 f(x)极大 f( 1) b 2 0 或者 f(x)极小 f(1) b 2 0，解得 b 2 或 b 2，故 正确所以使得三次方程仅有一个实根的是 . 9解： (1)由题意可知 f( x) a 2x2 3x， f ? ?23 1， 即 a 92 92 1，解得 a 1. 故 f(x) x 2x 3ln x，则 f( x) x xx2 . 由 f( x) 0，得 x 1 或 x 2. 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ? ?32， 2 2 (2,3 f( x) 0 f(x) 1
10、3ln 2 从而在 ? ?32， 3 上， f(x)有最小值，最小值为 f(2) 1 3ln 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)f( x) a 2x2 3x ax2 3x 2x2 (x0) 由题设得方程 ax2 3x 2 0 有两个不等的正实根， 不妨设这两个根为 x1， x2， 则? 9 8a0，x1 x2 3a0，x2x2 2a0，解得 0a98. 即实数 a 的取值范围为 ? ?0， 98 . 10解： (1)由题意知，点 ， 的坐标分别为 ( )5， 40 ， (20,2.5) 将其分别代入 y ax2 b，得? a25 b 40，a400 b 2.5.解得? a 1000
11、，b 0. (2) 由 (1)知， y 1000x2 (5 x20) ， 则点 的坐标为 ? ?t， 1000t2 . 设在点 处的切线 l 交 x 轴， y 轴分别于 ， 两点， y 2000x3 ， 则 l 的方程为 y 1000t2 2000t3 (x t) 由此得 ? ?3t2 ， 0 ， ? ?0， 3000t2 . 故 f(t) ? ?3t2 2 ? ?3000t2 2 32 t2 4106t4 ， t 5,20 设 g(t) t2 4106t4 ，则 g( t) 2t1610 6t5 . 令 g( t) 0，解得 t 10 2. 当 t (5,10 2)时， g( t) 0， g(t)是减函数； 当 t (10 2， 20)时， g( t) 0， g(t)是增函数 从而，当 t 10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值， 所以 g(t)min 300.此时 f(t)min 15 3. 答：当 t 10 2时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 3千米
