1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 68 讲 参数方程 解密考纲 高考中，主要涉及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，两种不同方式的方程的互化是考查的热点，常以解答题的形式出现 1已知曲线 C1：? x 4 cos t，y 3 sin t (t 为参数 )， C2： ? x 8cos ，y 3sin ( 为参数 ) (1)化 C1， C2的方程为普通 方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t 2 ， Q 为 C2上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：? x 3 2t，y 2 t (t 为参数
2、 )距离的最小值 解析 (1)C1： (x 4)2 (y 3)2 1， C2： x264y29 1. C1是圆心为 ( 4,3)，半径为 1 的圆 C2是中心为坐标原点，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆 (2)当 t 2 时， P( 4,4)， Q(8cos ， 3sin )， 故 M? ? 2 4cos ， 2 32sin . C3为直线 x 2y 7 0， M 到 C3的距离 d 55 |4cos 3sin 13| 55 |5cos( ) 13| 85 5. 从而当 cos 45， sin 35时， d 取得最小值 8 55 . 2已知直线 l：? x 5 32 t
3、，y 3 12t(t 为参数 )以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程 2cos . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点 M 的直角坐标为 (5， 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A， B，求 |MA| MB|的值 解析 (1) 2cos 等价于 2 2 cos ， 将 2 x2 y2， cos x 代入 ， 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 2x 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)将? x 5 32 t，y 3 12t代入 ，得 t2 5 3t 18 0， 设这个方程的两个实根分别为 t1， t2， 则
4、由参数 t 的几何意义即知 |MA| MB| |t1t2| 18. 3在极坐标系中，圆 C 的圆心为 C? ?2， 3 ，半径为 2.以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为? x 1 32 t，y 3 12t(t 为参数 ) (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)设 l 与圆的交点为 A， B， l 与 x 轴的交点为 P，求 |PA| |PB|. 解析 (1)在直角坐标系中，圆心为 C(1， 3)，所以圆 C 的方程为 (x 1)2 (y 3)2 4，即 x2 y2 2x 2 3y 0， 化为极坐标方程得 2 2 cos 2 3 si
5、n 0， 即 4sin ? ? 6 . (2)把? x 1 32 t，y 3 12t代入 x2 y2 2x 2 3y 0，得 t2 4，所以点 A， B 对应的参数分别为 t1 2， t2 2. 令 3 12t 0 得点 P 对应的参数为 t0 2 3. 所以 |PA| |PB| |t1 t0| |t2 t0| |2 2 3| | 2 2 3| 2 2 3 ( 22 3) 4 3. 4已知曲线 C 的参数方程是? x cos ，y m sin ( 为参数 )， 直线 l 的参数方程为? x 1 55 t，y 4 2 55 t(t 为参数 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求曲线 C
6、与直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P， Q 两点，且 |PQ| 4 55 ，求实数 m 的值 解析 (1)由? x cos ，y m sin 得 ? x cos ， y m sin ， 2 2得曲线 C 的普通方程为 x2 (y m)2 1. 由 x 1 55 t，得 55 t x 1，代入 y 4 2 55 t，得 y 4 2(x 1)， 所以直线 l 的普通方程为 y 2x 2. (2)圆心 (0， m)到直线 l 的距离为 d | m 2|5 ， 所以 ? ?| m 2|5 2 ? ?2 55 2 1，解得 m 3 或 m 1. 5 (2016 全国卷 )在
7、直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为 ? x 3cos ，y sin ( 为参数 )以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 sin? ? 4 2 2. (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求 | |PQ 的最小值及此时 P 的直角坐标 解析 (1)C1的普通方程为 x23 y2 1， C2的直角坐标方程为 x y 4 0. (2)由题意，可设点 P 的直角坐标为 ( 3cos ， sin )因为 C2是直线，所以 |PQ|的最小值即为 P 到 C2的距离 d( )的最小值， d
8、( ) | 3cos sin 4|2 2? ?sin? ? 3 2 . 当且仅当 2k 6(k Z)时， d( )取得最小值，最小值为 2，此时 P 的直角坐标为 ? ?32， 12 . 6 (2017 江苏卷 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为? x 8 t，y t2 (t 为参数 )，曲线 C 的参数方程为 ? x 2s2，y 2 2s (s 为参数 )设 P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 直线 l 的普通方程为 x 2y 8 0. 因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2 2s)， 从而点 P 到直线 l 的距离 d |2s2 4 2s 8|12 2 s 2 2 45 . 当 s 2时， dmin 4 55 . 因此当点 P 的坐标为 (4,4)时，曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取得最小值 4 55 .
