1、作业：下周一交(12月4号） 第四次作业第四次作业 (一) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23 (二)2, 3(1)(3)(5), 4 (3)(5)(7)(11)(13)(15)(17) 6(1)(3)(5)(9),9,12,14,16(1)(3)(5), 18(1),19 21(1)(3)(5)(7)(9),23,25,26(1),29(3) 第四节 微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 0)(1ts)(2ts)(ts上的定积分在度函数内物体经过的路程是速间隔在时间速度函数为设位置函数为,)(,),(),(2121t
2、ttvtttvts21)(ttdttv上的增量间在区这段路程又是位置函数另一方面,)(,21ttts)()(12tsts)()()(1221tstsdttvtt 所以的原函数。函数是速度，即位置函数注意到)()()()( tvtstvts则数上的原函在区间是猜想：设,)()(baxfxFbaaFbFdxxf)()()(导数二、积分上限函数及其上的定积分在考察上连续，在设,)(,)(xaxfbaxbaxfxadttf)(个函数，记作上的一是定义在对应值，所以，都得到定积分的一个上每一个对于,)(,badttfxbaxa)()()(bxadttfxxa 称为积分上限的函数限的函数上连续，则积分上在
3、区间如果函数定理 ,)(1baxfxadttfx)()(上具有导数，且在,ba)()()()( bxaxfdttfdxdxxa 处的值。限数等于被积函数在其上即：积分对其上限的导则是增量，且设证),(),(baxxxbax xxadttfxx)()(于是)()(xxxxxaxadttfdttf)()(xaxaxxxdttfdttfdttf)()()(xxxdttf )()(xxxfxf)(（积分中值定理）之间）与在（xxx)(x)(xfy yxxxab0 x)(f所以)()()(fxxxxx上连续，在因,)(baxf,之间与在且xxx,0 xx时当于是)(lim)()(lim00fxxxxxx
4、x )()(limxffx )( lim0 xxx而)()()( bxaxfx 所以);()(, 0,afaxax可证取若);()(, 0,bfbxbx可证取若故有)()()( bxaxfx 上的一个原函数。在就是上连续，则函数在区间如果函数定理,)()()(,)(2baxfdttfxbaxfxa 分。通过原函数来计算定积即可定积分）之间的联系，了定积分与原函数（不。另一方面揭示原连续在性：连续函数的原函数的存这个定理一方面证明了函数函数都存在任何 学基本定理）莱布尼茨公式（微积分三、牛顿 ，则的任一原函数是上连续，在区间如果函数定理 )()(,)(3xfxFbaxfbaaFbFdxxf)()
5、(的一个原函数，是因证)()(xfxF 又xadttfx)()(所以)()(bxaCxxF( 的原函数，也是)(xfCdttfxa)(CCdttfCaaFaa)()()()()()()(aFdttfCdttfbFbaba 于是)()()(aFbFdttfba 即有公式baaFbFdxxf)()()(积分基本公式。莱布尼茨公式，也叫微叫做牛顿公式可简记为babaxFdxxf)()(1021dxx求例 解102dxx10331x3131212xdx求例 解31312arctan1xxdx) 1arctan(3arctan)4(3127,3123的一个原函数是因xx所以,11arctan2的一个原函
6、数是因xx所以1213dxx计算例 ，的一个原函数是时，当解|ln10 xxx 2ln2ln1ln|ln11212xdxx 所以形的面积。与成的平面图轴所围x上0, 在sinxy 计算正弦曲线 4例 2 0coscoscossin00 xxdxA解A0 xy xysin变上限积分的求导公式( )( ) ( ( ) ( ) xadf t dtfxxdx( )( ) ( ) ( ( )( )( ) uaF uf t dtuxdddF u xF uu xdxdudx21cos20 limtxxedtx例5求型未定式。所以极限为，均为时，分子、分母的极限因解0000 xxtxtdtedtecos11c
7、os22 又则令,cosxu )(coscos1cos11cos222xdteduddtedxddtedxdxuutxtxt （复合函数求导法）222coscoscos( sin )( sin )sinuxuxxexexxe eexxxxexdtexxxxxxtx21limsinlim212sinlimlim222cos00cos021cos0 所以定积分的换元法dtttfdxxfbatbaxxbaxfba)( )()(,)()2()(,)() 1 ()(,)( ，则有其值域不越出上具有连续导数，且（或在；满足条件：上连续，函数在区间设函数定理元公式。这个公式叫定积分的换)()()()()(a
8、FbFdxxfxfxFba 的一个原函数，则是设证)( )()( )()( )()(ttftxfdtdxdxdFttFt，有另一方面，令的一个原函数，是所以)( )()(ttft 因此有)()()( )(dtttf)()(FF)()(aFbFdtttff(x)dxba)( )( 所以 1. ( ) , , ( ) , 2. tA Ba bf xA B当的值域时，只要在上连续，则定理仍成立。用换元法求定积分时，当积分变量换成新变量后，积分限也要换成新变量的积分限。注：)0(022adxxaa 1 计算例tdtadxtaxcos,sin则令解 2,0,0taxtx时当时当2022022costdt
9、adxxaa 所以202)2cos1 (2dtta4)2sin21(22202axta:使用换元公式也可以反过来babaxdxfdxxxf)()()( )()(),()()(badttfxt 205sincos2xdxx计算例 205205coscossincosxxdxdxx因解 ,sin,cosxdxdtxt则设0,2, 1,0txtx时当时当61sincos105015205dttdttxdxx 所以可这样解：出新变量，如上例也此种方法可以不明显写205205coscossincosxxdxdxx 解61cos61206x。量时，积分限就不变更注：当不明显写出新变aaaaadxxfaax
10、fdxxfdxxfaaxf0)(,)(2)(2)(,)(130 上连续且为奇函数，则在）若（上连续且为偶函数，则在）若（证明例aaaadxxfdxxfdxxf00)()()( 证，令中在txdxxfa0)(则得0000)()()()(aaaadxxfdttfdttfdxxfdxxfxfdxxfdxxfdxxfaaaaa000)()()()()( 于是)(2)()()() 1 (xfxfxfxf 是偶函数，则若aaadxxfdxxf0)(2)( 所以0)()()()2(xfxfxf 为奇函数，则若aadxxf0)( 所以2200004 f(x)0,1,1 (sin )(cos ).;2 (sin
11、 )(sin ),2fx dxfx dxxfx dxfx dx例若在上连续 证明（）（ ）.cos1sin02dxxxx并由此计算02022200(1) cossin sincossin(sin )(cos )cos(cos )(cos ):2txtdtxdxtfx dxftdtxft dtfx dxtx令，注意 令更简单022(2) ( )(sin( )02( cos )02( cos ).f xxfx dxtxtft dxtft 分部积分不可， 因为不一定可导要证的结论等价于是奇函数.原命题得证第五节 广义积分（无穷积分）一、无穷限的广义积分,)(1abaxf 上连续，在区间设函数定义 如
12、果极限babdxxf)(lim存在，。上的广义积分，记作在无穷区间则称此极限为函数adxxfaxf)(,)(即babadxxfdxxf)(lim)(发散。不存在，则称广义积分收敛；如果上述极限这时也称广义积分aadxxfdxxf)()(发散。则称广义积分如果上述极限不存在，收敛，且记作存在，则称广义积分类似地，如果极限bbaabbbaadxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()(lim)()()(lim 为无穷积分）。穷限的广义积分（也称统称为无上述收敛，且都收敛，则称广义积分和上连续，如果广义积分在同样，设babbaadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxx
13、fdxxfdxxfxf)(,)(,)()(lim)(lim)()()()()()(),()(000000 211xdx 计算例解arctan0limarctanlim1lim002axxdxaaaaa2)2(20arctanlimarctanlim1lim002bxxdxbbbbb2211102022xdxxdxxdxxy0ab211xy时发散。时收敛，当当证明广义积分例11)0(2ppaxdxap baxdxxdxpbabablnlimlim1 时当证时当1p1111111ppapxpxdxpaapp 广义积分收敛。时，时，广义积分发散；当所以，当11pp 。简记作注：为了方便，ababxF
14、xF)()(lim244021222220220021123 :cossin21(cossin)2sincos11211cos421sin 21242 2nnnIdxxxIdxxxxxdxdxxxI例求证证明后面证明22220122221001( )( )( )122( )()( )2nnnIf x dxf x dxf x dxIftdtftndxnIf xf xf x利用了的周期性201220021122013cos131tan20 2 tan2Idxdttxttxtxxt证明变量替换：当 在 ，变化时，不是连续的办法：充分利用函数的奇偶性，再作变量替换。221002000011(4 )1c
15、os43cos14113cos3cos113cos3cos12 23cosIdx txdxxxdxdxxxdxdxxxtxdxx证明再用偶函数0222002123cos1212211231110lim2arctan2arctan222222adxxdtdttttta定积分的元素法定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（定积分的元素法分析（演示演示） 定积分的元素法（定积分的元素法（演示演示） 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx 和积分区间和积分区间a ,b
16、。 一般地：若所量一般地：若所量U与变量的变化区间与变量的变化区间a , b有关，且关于有关，且关于a , b具有可加性，在具有可加性，在a , b中的任意一个小区间中的任意一个小区间x , x+dx上上找出部分量的近似值找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式得所求量的定积分表达式 这种方法叫做定积分的元素法。这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称称为所求量为所求量U的元素。的元素。(,)baUf x dx直角坐标系下的平面图形的面积（演示）直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、 由由x=a ， x= b ,y=0 及及 y= f (x) 所围成的平面图形的
17、面积为所围成的平面图形的面积为 )( baAf x dxab2、由、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及及 y=g (x) 所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为 )( ()()baAf xg xabdx3、 由由y= c ， y= d ,x=0 及及 x= (y) 所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为 )( dcAycdyd 平面图形的面积例题选举平面图形的面积例题选举例例1 计算由计算由 及及 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 2yx2yx例例2 计算由曲线计算由曲线 和和 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 36yxx2yx例例3 计算由计算由 和和 所围成的图
18、形的面积。所围成的图形的面积。 22yx4yx例例4 求椭圆求椭圆 的面积。的面积。22221xyab解解1220822(2 ) 2(4)18AAAxxdxxxdx 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx dAx1610 xeeAdx11233 2x xAdx323练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。102Axx dx32123Axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2
19、,2yxyxyx（5） 83762 2222202Axxdx12221xdx一般地：如右图中的阴影部分的面积为一般地：如右图中的阴影部分的面积为 dcAfyg ydy练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。222,1yxyxy（6） 10()2yAydy或或 22(1)32122222241yx24 2yx法一：以法一：以 y 作积分变量作积分变量 3223122414 2Axdxx dx法二：以法二：以 x 作积分变量作积分变量 221,244yxxy 22202(2)(1)44yyAdy22,4421xxyy（7） 练习写出下
20、列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。4 234 23例例 4 求由下列给定曲线所围成的图形面积。求由下列给定曲线所围成的图形面积。1044aAAydx0220220sinsin4sin1cos2424batt dtabtdtatabdtab0224abax dxa解由图形的对称性可得解由图形的对称性可得22221xyabab1A旋转体的概念旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴） 演示演示xyxy旋转体的体积旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（示例：圆锥、圆柱、圆台、球
21、等都是旋转体（演示演示）。）。aby=f (x)dcx=g (y)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式1、旋转轴为、旋转轴为 x 轴（轴（演示演示） 由由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为22( )bbxaaVf xdxdyx 由由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为22( )ddyccVg ydydxy2、旋转轴为、旋转轴为 y 轴（轴
22、（演示演示）oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式例例 1 连接坐标原点连接坐标原点 O 及点及点 P( h , r) 的直线，直线的直线，直线 x=h及及 x轴围轴围成一个直角三角形，将它绕成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为轴旋转构成一个底半径为 r，高为，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。的圆锥体，计算圆锥体的体积。x x+dx解解 如图所示如图所示 (0, )xh任取任取 (0, )xh，形成区间，形成区间 , x xdx体积元素为体积元素为 2dVy dx2rxdxh直线直线OP的方程为的方程为 ryxh所求体积为所求体积为 22013hrVxdx
23、r hh返回返回例例3 计算由曲线计算由曲线 y=x2 与与 x=y2 所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕 y 轴旋转轴旋转一周而成的立体的体积。一周而成的立体的体积。解解 如图所示如图所示V2V112yVVV11221200 x dyx dy11400ydyy dy310练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 31,1,0yxxy160 xVx dx11600 xVdxx dx 32,1,0yxyxx1y=x31xy=x31绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1767 223,21xyxyy240 x dx练习：写出下列旋转体体积的
24、定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1222021221Vxdx32 23 2151y=x31y 35,1,yxxx213025yVydy 34,1,yxyy213035yVydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 1y=x3y21 226,21xyxyy2222011yVydyydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 32例例4 求由曲线求由曲线 及及 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线
25、 旋转一周而构成的旋转体的体积。旋转一周而构成的旋转体的体积。24yx0y 3x yo-223 x414xy 24xy问题的提出问题的提出返回返回定积分元素法分析定积分元素法分析返回返回定积分元素法定积分元素法返回返回平面图形的面积（直角坐标）平面图形的面积（直角坐标）返回返回求面积例题求面积例题 1返回返回面积例题面积例题 2返回返回求面积例题求面积例题 3返回返回例例 4 求椭圆面积求椭圆面积返回返回旋转体概念旋转体概念返回返回旋转体实例圆锥旋转体实例圆锥返回返回旋转体实例圆柱旋转体实例圆柱返回返回旋转体体积推导旋转体体积推导返回返回体积例题体积例题 3返回返回体积例题体积例题 2返回返回体积例题体积例题 5返回返回
