1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 选修 41 几何证明选讲 第 1 课时 圆的进一步认识 掌握圆的切线的判定定理和性质定理 ， 弦切角定理 ， 割线定理 ， 切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理 ， 能用这些定理解决有关圆的问题 . 理解圆的切线的判定定理和性质定理 ， 圆周角定理 ，弦切角定理 ， 相交弦定理 ， 割线定理 ， 切割线定理和圆内 接四边形的判定定理与性质定理 . 能应用圆的切线的判定定理和性质定理 ， 圆周角定理 ， 弦切角定理 ，相交弦定理 ， 割线定理 ， 切割线定理和圆内接四边形的判定定理与性质定理解决与圆有关的问题 . 1. 如图 ， 四边形 ABCD 是圆
2、O 的内接四边形 ， 已知 BOD 100， 求 BCD. 解：由题设 BAD 12 BOD 50， 则 BCD 180 BAD 130 . 2. 如图 ， AB 是圆 O 的直径 ， MN 与圆 O 相切于点 C， AC 12BC， 求 sin MCA 的值 . 解：由弦切角定理得 ， MCA ABC ， sin ABC ACAB ACAC2 BC2 AC5AC 55 . 故 sin MCA 55 . 3. 已知 ABC 内接于圆 O， BE 是圆 O 的直径 ， AD 是 BC 边上的高 .求证： BAAC BEAD. 证明：连结 AE. =【 ;精品教育资源文库 】 = BE 是圆 O
3、的直径 ， BAE 90， BAE ADC. BEA ACD ， Rt BEA Rt ACD. BEBA ACAD， BA AC BEAD. 4. 如图 ， 在圆 O 中 ， M， N 是弦 AB 的三等分点 ， 弦 CD， CE 分别经过点 M， N.若 CM 2，MD 4， CN 3， 求线段 NE 的长 . 解：设 AM a， 由相交弦定理可知 ， CM MD AMMB ， CN NE ANNB ， 即 24 a2a ，3 NE 2aa ， 消去 a 解得 NE 83. 5. 如图 ， EA 与圆 O 相切于点 A， D 是 EA 的中点 ， 过点 D 引圆 O 的割线 ， 与圆 O 相
4、交于点 B， C， 连结 EC.求证： DEB DCE. 证明： EA 与圆 O 相切于点 A， 由切割线定理得 DA2 DBDC. D 是 EA 的中点 ， DA DE. DE2 DBDC. DEDC DBDE. EDB CDE ， EDB CDE， DEB DCE. 1. 圆周角定理 （ 1） 圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半 . （ 2） 推论 1：同弧（或等弧）所对的圆周角相等 .同圆或等圆中 ， 相等的圆周角所对的弧相等 . （ 3） 推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角等于 90 .反之 ， 90 的圆周角所对的弧为 半圆（或弦为直径） . 2. 圆的切线 （ 1）
5、 圆的切线的性质与判定 相关定义：当直线与圆有 2 个公共点时 ， 直线与圆相交；当直线与圆有且只有 1 个公共点时 ， 直线与圆相切 ， 此时直 线是圆的切线 ， 公共点称为切点；当直线与圆没有公共点时 ， 直线与圆相离 . 切线的判定定理：过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 . 切线长定理：从圆 外一点引圆的两条切线，切线长相等 . （ 2） 弦切角 定义：顶点在圆上 ， 一边与圆相切 ， 另一边与圆相交的角称为弦切角 . 弦切角定理：弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半 . 推论：同弧（或等弧）上
6、的弦切角相等 ， 同弧（或等弧）上的弦切角与圆周角相等 . 3. 相交弦定理 相交弦定理：圆的两条相交弦 ， 每 条弦被交点分成的两条线段长的积相等 . 4. 切割线定理 （ 1） 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线 ， 该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 . （ 2） 切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线与一条切线 ， 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的等比中项 . 5. 圆内接四边形 （ 1） 圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补 . （ 2） 圆内接四边形判定定理：如果四边形的对角互补 ， 则此四边形内接于圆 .备课札记 , 1 圆周角与弦切角定理及应用 ) ,
7、 1) （ 2017 苏锡常镇一模）如图 ， 圆 O 的直径 AB 6， C 为圆上一点 ，BC 3， 过点 C 作圆的切线 l， 过点 A 作 l 的垂线 AD， AD 分别与直线 l、圆交于点 D， E.求DAC 的大小与线段 AE 的长 . 解：如图 ， 连结 OC， BE， 因为 BC OB OC 3， 所以 CBO 60 . 因为 DCA CBO ， 所以 DCA 60 . 又 ADDC 得 DAC 30. 因为 ACB 90， 得 CAB 30， 所以 EAB 60， 从而 ABE 30， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 AE 12AB 3. 变式训练 如图 ， CP 是圆
8、 O 的切线， P 为切点 ， 直线 CO 交圆 O 于 A， B 两点 ， AD CP， 垂足为 D.求证： DAP BAP. 证明： CP 与圆 O 相切 ， DPA PBA. AB 为圆 O 的直径 ， APB 90， BAP 90 PBA. AD CP， DAP 90 DPA ， DAP BAP. , 2 圆的切线的判定与性质 ) , 2) 如图 ， PAQ 是直角 ， 圆 O 与射线 AP 相切于点 T， 与射线 AQ 相交于 B， C 两点 .求证： BT 平分 OBA. AT 是切线 ， OT AP. PAQ 是直角 ， 即 AQAP ， ABOT ， TBA BTO. 又 OT
9、 OB， OTB OBT ， OBT TBA ， 即 BT 平分 OBA. 备选变式（教师专享） 如图 ， AC 切圆 O 于 D， AO 的延长线交圆 O 于 B， BC 切圆 O 于 B， 若 ADAC 12 ， 求 AOOB的值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = AD AC 12 ， D 为 AC 的中点 . 又 AC 切圆 O 于 D， OD AC. OA OC. AOD COD， 1 2. 又 OBC ODC， 3 2. 1 2 3 60， OC 2OB. OA 2OB， 即 AOOB 2. , 3 圆内接四边形的判定与性质 ) , 3) （ 2017 南通、扬州、泰州模拟）如图
10、 ， 已知 AB 为圆 O 的一条弦 ，点 P 为弧 AB 的中点 ， 过点 P 任作两条弦 PC， PD， 分别交 AB 于点 E， F.求证： PEPC PFPD. 因为 PAB PCB ， 点 P 为弧 AB 的中点 ， 所以 PAB PBA ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 PCB P BA. 又 DCB DPB ， 所以 PFE PBA DPB PCB DCB PCD ， 所以 E， F， D， C 四点共圆 . 所以 PEPC PFPD. 备选变式（教师专享） 如图 ， 已知 AP 是圆 O 的切线 ， P 为切点 ， AC 是圆 O 的割线 ， 与圆 O 交于 B， C
11、 两点 ， 圆心 O 在 PAC 的内部 ， 点 M 是 BC 的中点 . （ 1） 求证： A， P， O， M 四点共圆； （ 2） 求 OAM APM 的大小 . （ 1） 证明：连结 OP， OM， 因为 AP 与圆 O 相切于点 P， 所以 OPAP. 因为 M 是 圆 O 的弦 BC 的中点 ， 所以 OMBC ， 于是 OPA OMA 180 . 由圆心 O 在 PAC 的内部 ， 可知四边形 APOM 的对角互补 ， 所以 A， P， O， M 四点共圆 . （ 2） 解：由（ 1）得 A， P， O， M 四点共圆 ， 所以 OAM OPM. 因为 AP 是圆 O 的切线 ，
12、 P 为切点 ， 所以 OPAP ， 所以 OPM APM 90， 所以 OAM APM 90 . , 4 相交弦定理、割线定理及切割线定理的应用 ) , 4) （ 2017 苏州暑期检测）如图 ， ABC 是圆 O 的内接三角形 ， PA 是圆 O 的切线 ， A 为切点 ， PB 交 AC 于点 E， 交圆 O 于点 D， 若 PE PA， ABC 60， 且 PD 1， PB 9， 求 EC. 解： 弦切角 PAE ABC 60， 又 PA PE， PAE 为等边三角形 .由切割线定理有 PA2 PDPB 9， =【 ;精品教育资源文库 】 = AE EP PA 3， ED EP PD
13、2， EB PB PE 6， 由相交弦定理有 ECEA EBED 12， EC 123 4. 变式训练 （ 2017 南京、盐城期末）如图 ， AB 是半圆 O 的直径 ， 点 P 为半圆 O 外一点 ， PA， PB分别交半圆 O 于点 D， C.若 AD 2， PD 4， PC 3， 求 BD 的长 . 解：由割线定理得 PDPA PCPB ， 则 4 （ 2 4） 3 （ 3 BC） ， 解得 BC 5. 又 AB 是半圆 O 的直径 ， 故 ADB 2. 则在 Rt PDB 中有 BD PB2 PD2 64 16 4 3. 1. （ 2017 苏州期末）如图 ， 点 E 是圆 O 内两
14、条弦 AB 和 CD 的交点 ， 过 AD 延长线上一点 F 作圆 O 的切线 FG， G 为切点 ， 已知 EF FG.求证： EFCB. 证明：由切割 线定理 得 FG2 FAFD. 又 EF FG， 所以 EF2 FAFD ， 即 EFFA FDEF. 因为 EFA DFE ， 所以 DEFEAF ， 所以 FED FAE. 因为 FAE DAB DCB ， 所以 FED BCD ， 所以 EFCB. 2. 如图所示 ， ABC 是圆 O 的内接三角形 ， 且 AB AC， AP BC， 弦 CE 的延长线交 AP于点 D.求证： AD2 DE DC. 证明：连结 AE， 则 AED B. AB AC， ACB B ， ACB AE D. =【 ;精品教育资源文库 】 = AP BC， ACB CAD ， CAD AED. 又 ADC EDA ， ACD EAD. CDAD ADED， 即 AD2 DEDC. 3. （ 2017 南京、盐城模拟） ABC 的顶点 A， C 在圆 O 上 ， B 在圆 O 外 ， 线段 AB 与圆O 交于点 M. （ 1） 如图 ， 若 BC 是圆 O 的切线 ， 且 AB 8， BC 4， 求线段 AM 的长； （ 2） 如图 ，
