1、=【 ;精品教育资源文 库 】 = 第 53 讲 曲线与方程 解密考纲 求曲线的轨迹方程，经常通过定义法或直接法，在解答题的第 (1)问中出现 一、选择题 1已知两定点 A( 2,0)， B(1,0)，如果动点 P 满足 |PA| 2|PB|，则动点 P 的轨迹是( B ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 解析 设 P(x， y)，则 x 2 y2 2 x 2 y2，整理得 x2 y2 4x 0， 又 D2 E2 4F 160，所以动点 P 的轨迹是圆 2 (2017 全国卷 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线方程为 y52 x，且与椭圆 x212y23 1
2、有公共焦点，则 C 的方程为 ( B ) A x28y210 1 Bx24y25 1 C x25y24 1 Dx24y23 1 解析 根据双曲 线 C 的渐近线方程为 y 52 x，可知 ba 52 ， 又椭圆 x212y23 1 的焦点坐标为 (3,0)和 ( 3,0)，所以 a2 b2 9， 根据 可知 a2 4， b2 5，故选 B 3已知点 P 是直线 2x y 3 0 上的一个动点，定点 M( 1,2)， Q 是线段 PM 延长线上的一点，且 |PM| |MQ|，则 Q 点的轨迹方程是 ( D ) A 2x y 1 0 B 2x y 5 0 C 2x y 1 0 D 2x y 5 0
3、 解析 设 Q(x， y)，则 P 为 ( 2 x,4 y)，代入 2x y 3 0 得 Q 点的轨迹方程为 2x y 5 0. 4设圆 (x 1)2 y2 25 的圆心为 C， A(1,0)是圆内一定点， Q 为圆周上任一点，线段AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M，则 M 的轨迹方程为 ( D ) A 4x2214y225 1 B4x2214y225 1 C 4x2254y221 1 D4x2254y221 1 解析 M 为 AQ 垂直平分线上一点，则 |AM| |MQ|， =【 ;精品教育资源文 库 】 = |MC| |MA| |MC| |MQ| |CQ| 5， 故 M 的轨迹是
4、以定点 C， A 为焦点的椭圆， a 52， c 1，则 b2 a2 c2 214 ， 椭圆的标准方程为 4x2254y221 1. 5设过点 P(x， y)的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A， B 两点，点 Q 与点 P 关于 y 轴 对称， O 为坐标原点，若 BP 2PA ，且 OQ AB 1，则点 P 的轨迹方程是 ( A ) A 32x2 3y2 1(x0， y0) B 32x2 3y2 1(x0， y0) C 3x2 32y2 1(x0， y0) D 3x2 32y2 1(x0， y0) 解析 设 A(a,0)， B(0， b)， a0， b0.由 BP 2PA
5、 ， 得 (x， y b) 2(a x， y)， 即 a 32x0， b 3y0， 点 Q( x， y)， 故由 OQ AB 1，得 ( x， y)( a， b) 1， 即 ax by 1.将 a， b 代入 ax by 1 得所求的轨迹方程为 32x2 3y2 1(x0， y0) 6已知圆锥曲线 mx2 4y2 4m 的离心率 e 为方程 2x2 5x 2 0 的根，则满足条件的圆锥曲线的个数为 ( B ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析 e 是方程 2x2 5x 2 0 的根， e 2 或 e 12， mx2 4y2 4m 可化为 x24y2m 1，当它表示焦点在 x 轴上的椭圆时，
6、有 4 m2 12， m 3；当它表示焦点在 y 轴上的椭圆时，有 m 4m 12， m 163 ；当它表示焦点在 x 轴上的双曲线时，可化为 x24y2 m 1，有4 m2 2， m 12， 满足条件的圆锥曲线有 3 个，故选 B 二、填空题 7已知 ABC 的顶点 A( 5,0)， B(5,0)， ABC 的内切圆圆心在直线 x 3 上，则顶点=【 ;精品教育资源文 库 】 = C 的轨迹方程是 _x29y216 1(x3)_. 解析 如图， |AD| |AE| 8， |BF| |BE| 2， |CD| |CF|， 所以 |CA| |CB| 8 2 6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，
7、 B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为 x29y216 1(x3) 8在平面直角坐标系中， O 为坐标原点， A(1,0)， B(2,2)，若点 C 满足 OC OA t(OB OA )，其中 t R，则点 C 的轨迹方程是 _2x y 2 0_. 解析 设 C(x， y)，则 OC (x， y)， OA t(OB OA ) (1 t,2t)，所以? x t 1，y 2t， 消去参数 t 得点 C 的轨迹方程为 y 2x 2. 9 P 是椭圆 x2a2y2b2 1 上的任意一点， F1， F2是它的两个焦点， O 为坐标原点，有一 动点Q 满足 OQ PF1 PF2 ，则动点 Q
8、的轨迹方程是 x24a2y24b2 1 . 解析 作 P 关于 O 的对称点 M，连接 F1M， F2M， 则四边形 F1PF2M 为平行四边形， 所以 PF1 PF2 PM 2PO 2OP . 又 OQ PF1 PF2 ，所以 OP 12OQ ， 设 Q(x， y)，则 OP ? ? x2， y2 ， 即点 P 坐标为 ? ? x2， y2 ，又 P 在椭圆上， =【 ;精品教育资源文 库 】 = 则有 ? ? x2 2a2 ? y22b2 1，即x24a2y24b2 1. 三、解答题 10已知圆 C1的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 l1： x y 2 2 0 相切 (1)求圆的标准方程
9、 ； (2)设点 A 为圆上一动点， AN x 轴于点 N，若动点 Q 满足 OQ mOA (1 m)ON (其中 m为非零常数 )，试求动点 Q 的轨迹方程 C2. 解析 (1)依题意圆的半径为圆心 (0,0)到直线 l1 的距离 | 2 2|12 12 2，故圆 C1 的方程为x2 y2 4. (2)设动点 Q(x， y)， A(x0， y0) AN x 轴交于点 N， N(x0,0)， 由题意，得 (x， y) m(x0， y0) (1 m)( x0,0)， ? x x0，y my0， 即 ? x0 x，y0 1my， 将 A?x， 1my ，代入 x2 y2 4， 得 x24y24m2
10、 1.即动点 Q 的轨迹方程为x24y24m2 1. 11 (2018 河北唐山统考 )已知动点 P 到直线 l： x 1 的距离等于它到圆 C： x2 y2 4x 1 0 的切线长 (P 到切点的距离 )记动点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)过圆心 C 作直线 AB： x my 2 交曲线 E 于 A， B 两点，设线段 AB 的中点为 D，过圆心 C 作直线 CQ 垂直于直线 AB 交直线 l 于点 Q，求 |QD|AB|的取值范围 解析 (1)由已知得圆的方程为 (x 2)2 y2 3， 则圆心为 C(2,0)，半径 r 3. 设 P(x， y)，依题意可得
11、|x 1| x 2 y2 3， 整理得 y2 6x.故曲线 E 的方程为 y2 6x. (2)又直线 AB 的方程为 my x 2， 则直线 CQ 的方程为 y m(x 2)，可得 Q( 1,3m) 将 my x 2 代入 y2 6x 并整理可得 y2 6my 12 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 6m， y1y2 12， AB 的中点 D 的坐标为 ? ?x1 x22 ， y1 y22 ， =【 ;精品教育资源文 库 】 = 即 D(3m2 2,3m)， |QD| 3m2 3. |AB| 1 m2 y1 y2 2 2 3 m 2 m2 ， 所以 ? ?|Q
12、D|AB| 2 3m2 3m2 14?1 13m2 4 ?316，14 ， 故 |QD|AB|的取值范围是 ? ?34 ， 12 . 12 (2017 全国卷 )设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： x22 y2 1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP 2 NM . (1)求点 P 的轨迹方程； (2)设点 Q 在直线 x 3 上，且 OP PQ 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 解析 (1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(x0,0)， NP (x x0， y)， NM (0， y0)由 NP 2 NM 得
13、 x0 x， y0 22 y. 因为 M(x0， y0)在椭圆 C 上，所以 x22y22 1. 因此点 P 的轨迹方程为 x2 y2 2. (2)由题意知 F( 1,0)设 Q( 3， t)， P(m， n)，则 OQ ( 3， t)， PF ( 1 m， n)， OQ PF 3 3m tn， OP (m， n)， PQ ( 3 m， t n) 由 OP PQ 1 得 3m m2 tn n2 1， 又由 (1)知 m2 n2 2， 故 3 3m tn 0. 所以 OQ PF 0，即 OQ PF .又过点 F 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ的直线 l 过 C 的左焦点 F.
