1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 54 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题 . 2017 天津卷， 14 2016 全国卷 ， 5 利用计数原理、排列、组合知识求解排列、组合问题 . 分值： 5 分 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条 件 完成一件事有 _两类不同方案_在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 完成一件事需要 _两个步 骤 _ 做第 1 步有 m 种不同的方法，做第2 步有
2、 n 种不同的方法 结 论 完成这件事共有 N _m n_种不同的方法 完成这件事共有 N _m n_种不同的方法 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 ( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 ( ) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 ( ) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤 都能完成这件事 ( ) 解析 (1)错误在分类时，两类不同方案中方法不能相同，故错误 (2)正确 (3)正确 (4)错误在分类乘法计数原理中必须把每个
3、步骤都完成才能完成这件事，故错误 2从 3 名女同学和 2 名男同学中选 1 人主持主题班会，则不同的选法种数为 _5_. 解析 从 5 名同学中选 1 人有 5 种选法 3在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有 _36_个 解析 按个位数字是 2,3,4,5,6,7,8,9 分成 8 类在每一类中满足条件的两位数分别是1 个、 2 个、 3 个、 4 个、 5 个 、 6 个、 7 个、 8 个则共有 1 2 3 4 5 6 7 8 36(个 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 4从集合 0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a， b 组成复数 a bi，其中虚数有
4、 _36_个 解析 a， b 互不相等且 a bi 为虚数， b 只能从 1,2,3,4,5,6中选一个，有 6 种 a 从剩余 6 个选一个，有 6 种 由分步计数原理知虚数有 66 36(个 ) 5从集合 1,2,3， ? ， 10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 _8_. 解析 公比为 2 时，有 1,2,4 和 2,4,8；公比为 3 时，有 1,3,9； 公比为 32时，有 4,6,9，共 4 个反过来也有 4 个 即 4,2,1； 8,4,2； 9,3,1； 9,6,4.故个数为 8. 一 分类加法计数原理 利用分类加法计数原理解题时的注意事项：
5、 (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏； (2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复 【例 1】 (1)高三一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20 人；高三二班有学生 60 人，男生 30 人，女生 30 人；高三三班有 学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人 从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有 _165_种不同的选法； 从高三一班、二班男生中，或高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有 _80_种不同的选法 (2)如图，从 A 到 O 有 _5_种不同的走法 (不重复过一点 ) (3)若椭圆 x2
6、my2n 1 的焦点在 y 轴上，且 m 1,2,3,4,5， n 1,2,3,4,5,6,7，则这样的椭圆的个数为 _20_. 解析 (1) 完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班任选一名学生共有 50 种选法； 第二类，从高三二班任选一名学生共有 60 种选法； =【 ;精品教育资源文库 】 = 第三类，从高三三班任选一名学生共有 55 种选法； 根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有 50 60 55 165(种 )选法 完成这件事有三类方法： 第一类，从高三一班男生中任选一名共有 30 种选法； 第二类，从高三二班男生中任选一名共有 30 种选法； 第三类，从高三三班女
7、生中任选一名共有 20 种选法 综上知，共有 30 30 20 80(种 )选法 (2)分 3 类：第一类，直接由 A 到 O，有 1 种走法；第二类 ，中间过一个点，有 A B O和 A C O2 种不同的走法；第三类，中间过两个点，有 A B C O 和 A C B O 2 种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有 1 2 2 5 种不同的走法 (3)当 m 1 时， n 2,3,4,5,6,7 共 6 种；当 m 2 时， n 3,4,5,6,7 共 5 种；当 m 3时， n 4,5,6,7 共 4 种；当 m 4 时， n 5， 6,7 共 3 种；当 m 5 时， n 6,7 共
8、2 种，故共有 6 5 4 3 2 20(种 ) 二 分步乘法计数原理 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即 分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事 (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成 【例 2】 (1)(2016 全国卷 )如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( B ) A 24 B 18 C 12 D 9 (2)有六名同学报名参加三个智力
9、项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则不同的报名方法有 _120_种 解析 (1)由题意可知 E F 共有 6 种走法， F G 共有 3 种走法，由乘法计数原理知，共有 63 18 种走法，故选 B (2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，每一个项目有 6 种选法，第二个项目有 5 种选法，第三个项目有 4 种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名=【 ;精品教育资源文库 】 = 方法共有 654 120 种 三 两个计数原理的综合应用 利用两个计数原理解题时的注意事项 (1)认真审题，分析题目的条件、结论，特别要理解题目中所讲的 “ 事情 ” 是什么，完成这件事情
10、的含义和标准是什么 (2)明确完成这件事情需要 “ 分类 ” 还是 “ 分步 ” ，还是既要 “ 分类 ” 又要 “ 分步 ” ，并搞清 “ 分类 ” 或 “ 分步 ” 的具体标准是什么 【例 3】 (2017 天津卷 )用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 _1_080_个 (用数字作答 ) 解析 一个数字是偶数、三个数字是奇数的四位数有 C14C35A44 960(个 )，四个数字都是奇数的四位数有 A45 120(个 )，则至多有一个数字是偶数的四位数一共有 960 120 1 080(个 ) 【例 4】 某班一
11、天上午有 4 节课，每节都需要安排 1 名教师去上课，现从 A， B， C， D，E， F 这 6 名教师中安排 4 人分别上一节课，第一节课只能从 A， B 两人中安排一个，第四节课只能从 A， C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有 _36_种 解析 第一节课若安排 A，则第四节课只能安排 C，第二节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有 43 12(种 )排法 第一节课若安排 B，则第四节课可由 A 或 C 上，第二 节课从剩余 4 人中任选 1 人，第三节课从剩余 3 人中任选 1 人，共有 243 24(种 )排法 因此不同的安排方案共有 12
12、24 36(种 ) 【例 5】 (1)三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是 ( D ) A 72 B 144 C 240 D 288 (2)如图，用 4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色 (4 种颜色全部使用 )，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _96_种 解析 (1)设三对夫妇为 A1B1， A2B2， A3B3， 确定相邻的夫妇并排列 ，有 C13A22种方法，假如 A1B1相邻； 排剩下的下标数小的那对夫妇，有 A22种方法，如：排 A2B2； 排 A2， B2之间的人，就排 A1B1不排 A1B1分类，排 A1B1时， A2，
13、B2， A1B1之间和两端的个位置插 A3， B3，有 A24种方法； A2， B2 之间不排 A1B1 时，只有插入 A3 或 B3，如插入 A3， A2A3B2 就是一个元素， A1B1又是一个元素，与 B3共三个元素全排列，故有 C12A33种方法，站法总数是 (C13A22)(A22)(A24 C12A33) 288. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)按区域 1 与 3 是否同色分类 区域 1 与 3 同色：先涂区域 1 与 3，有 4 种方法， 再涂区域 2,4,5(还有 3 种颜色 )，有 A33种方法 区域 1 与 3 涂同色，共有 4A33 24 种方法 区域 1 与
14、3 不同色；先涂区域 1 与 3， 有 A24种方法， 第二步，涂区域 2 有 2 种涂色方法， 第三步，涂区域 4 只有一种方法， 第四步，涂区域 5 有 3 种方法 这时共有 A24213 72 种方法 故由分类加法计数原理，不同的涂色方法的种数为 24 72 96. 1如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做 “ 好数 ” ，那么在由 1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中， “ 好数 ” 共有 ( C ) A 9 个 B 3 个 C 12 个 D 6 个 解析 当 重复数字是 1 时，有 C13C 13种；当重复数字不是 1 时，有 C13种由分类加法计数原理，得满足条件的 “ 好数 ” 有 C13C 13 C13 12 个 2已知集合 A x|x a0 a13 a23 2 a33 3，其中 ai 0,1,2(i 0,1,2,3)且a30 ，则 A 中所有元素之和等于 ( D ) A 3 240 B 3 120 C 2 997 D 2 889 解析 由题意可知， a0， a1， a2各有 3 种取法 (均可取 0,1,2)， a3有 2 种取法 (可取 1,2)，由分步乘法计数原理可得共有 3332 种取法 故当 a0取 0,1,2 时， a1， a2各有 3 种取法， a3有 2 种取法，共有 332 18 种方
