1、Sunday, June 05, 20221第三章 线性系统的时域分析Sunday, June 05, 20222n典型输入作用和时域性能指标n一阶系统的时域分析n二阶系统的时域分析n高阶系统时域分析n线性系统稳定性分析n线性系统误差分析本章主要内容Sunday, June 05, 20223第一节 典型输入作用和时域性能指标Sunday, June 05, 20224什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。 由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。 系统输出量的时域表示可由微分方程得到，
2、也可由传递函数得到。 在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。时域分析时域分析Sunday, June 05, 20225典型初始状态典型初始状态这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。一、典型初始状态规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 时 0t0)0()0()0( cccSunday, June 05, 20226二、典型输入信号单位单位 脉冲函数脉冲函数：典型输入作用典型输入作用 理想单位脉冲函数：定义： ，且 ，其积
3、分面积为1。 000)(ttt1)( dtt 出现在 时刻，积分面积为A的理想脉冲函数定义如下：ttttA, 0)(且AdttA)(0)(t)(t 其拉氏变换后的像函数为：1)(tLSunday, June 05, 20227单位阶跃函数单位阶跃函数：tA)(tx0,0, 0)(tAttxA阶跃幅度，A=1称为单位阶跃函数，记为1（t）。 实际单位脉冲函数：, 11)(,dtt,1, 0)(t0t和t t01)(tt0当 时，0)()(tt 其拉氏变换后的像函数为：sAtxL)(典型输入作用典型输入作用Sunday, June 05, 20228 单位斜坡函数单位斜坡函数（速度阶跃函数）：0,
4、0, 0)(tBtttxB=1时称为单位斜坡函数。t)(txBttx)(典型输入作用典型输入作用 抛物线函数抛物线函数（加速度阶跃函数）：0,210, 0)(2tCtttxC=1时称为单位抛物线函数。t)(tx221)(Cttx 其拉氏变换后的像函数为：2)(sBtxL 其拉氏变换后的像函数为：3)(sCtxLSunday, June 05, 20229典型输入作用典型输入作用提示：上述几种典型输入信号的关系如下：21)( 1)(23322AtdtdAtdtdtAdtdtA 正弦函数正弦函数： ，式中，A为振幅， 为频率。tASintx)( 其拉氏变换后的像函数为：22sinnnstAL 分析
5、系统特性究竟采用何种典型输入信号，取决于实际系统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统的输入具有突变性质时，可选择阶跃函数为典型输入信号；当系统的输入是随时间增长变化时，可选择斜坡函数为典型输入信号。Sunday, June 05, 202210典型输入作用典型输入作用三、典型响应： 单位脉冲函数响应单位脉冲函数响应：1)()(sGsC 单位阶跃函数响应单位阶跃函数响应：ssGsC1)()( 单位斜坡函数响应单位斜坡函数响应：21)()(ssGsC 单位抛物线函数响应：单位抛物线函数响应：31)()(ssGsC提示：上述几种典型响应有如下关系：单位脉冲单位脉冲函数响应函数响应单位阶跃单位
6、阶跃函数响应函数响应单位斜坡单位斜坡函数响应函数响应单位抛物线单位抛物线函数响应函数响应积分积分积分积分积分积分微分微分微分微分微分微分Sunday, June 05, 202211 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使系统达到一个新的平衡状态。工程上称为进入稳态过程。线性微分方程的解
7、线性微分方程的解 如某系统的单位阶跃响应曲线如图所示：0ty瞬态过程稳态过程Sunday, June 05, 202212五、瞬态过程的性能指标 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。（一）衰减振荡：具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：瞬态过程的性能指标（衰减振荡）瞬态过程的性能指标（衰减振荡） 延迟时间 ：dt输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。0trtptstymaxy)(y2)(y)(05. 0y)(02. 0y或或tdSunday, June 05, 202213 最大超调量（简称超
8、调量） ：%100)()(%maxyyy式中： -输出响应的最大值； maxy)(lim)(tyyt-稳态值； 上升时间 ：rt瞬态过程的性能指标（衰减振荡）瞬态过程的性能指标（衰减振荡）0trtptstymaxy)(y2)(y)(05. 0y)(02. 0y或或td输出响应第一次达到稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。输出响应超过稳态值达到第一个峰值ymax所需要的时间。 峰值时间 ：ptSunday, June 05, 202214 调节时间或过渡过程时间 ：st瞬态过程的性能指标瞬态过程的性能指标当 和 之间的误差达到规定的范围之内比如 或 ，且以
9、后不再超出此范围的最小时间。即当 ，有：)(ty)(y)(%5 ystt 52),(%| )()(|或yyty)(%2 y 振荡次数N：srpttt,在上述几种性能指标中， 表示瞬态过程进行的快慢，是快速性指标；而 反映瞬态过程的振荡程度，是振荡性指标。其中 和 是两种最常用的性能指标。N%,%st)(y在调节时间内，y(t)偏离 的振荡次数。0trtptstymaxy)(y2)(y)(05. 0y)(02. 0y或或tdSunday, June 05, 202215稳态过程的性能指标稳态过程的性能指标（二）单调变化单调变化响应曲线如图所示：这种系统只用调节时间 来表示快速性。sty)(y2)(yttstd)(05. 0y)(02. 0y或或trSunday, June 05, 202216小结q典型输入作用极其之间的关系q线性微分方程的解q瞬态过程和稳态过程q瞬态过程的性能指标(有衰减振荡和单调变化之分)
