1、 1 第四节第四节 直线、平面平直线、平面平行的判定及行的判定及 其性质其性质 【最新考纲】【最新考纲】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认认 识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、 定理能运用公理、 定理 和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题 1 直线与平面平行的判定与性质直线与平面平行的判定与性质 2.面面平行的判定与性质面面平行的判定与性质 2 3.与垂直相关的平行的判定与垂直相关的平行的判定 (1)a，ba
2、b；(2)a，a 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误的错误的 打打“”“”) (1)若一条直线和平面内一条直线平行若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条那么这条直线和这个平直线和这个平 面平行面平行( ) (2)若直线若直线 a平面平面 ，P，则过点则过点 P 且平行于直线且平行于直线 a 的直线的直线 有无数条有无数条( ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个那么这两个 平面平行平面平行( ) (4)如果两个平面平行如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平那么
3、分别在这两个平面内的两条直线平 行或异面行或异面( ) 3 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2下列命题中正确的是下列命题中正确的是( ) A若若 a，b 是两条直线是两条直线，且且 ab，那么那么 a 平行于经过平行于经过 b 的任何的任何 平面平面 B若直线若直线 a 和平面和平面 满足满足 a，那么那么 a 与与 内的任何直线平内的任何直线平 行行 C平行于同一条直线的两个平面平行平行于同一条直线的两个平面平行 D若若直线直线 a，b 和平面和平面 满足满足 ab，a，b ，则，则 b 解析：解析：选项选项 A 中中，a 或或 a，A 不正确不正确 选项选项 B 中中，a 与与
4、 内的直线平行或异面内的直线平行或异面，B 错错 C 中的两个平面平行或相交中的两个平面平行或相交，C 不正确不正确 由线面平行的性质与判定由线面平行的性质与判定，选项选项 D 正确正确 答案：答案：D 3(2015 北京卷北京卷)设设 ，是两个不同的平面是两个不同的平面，m 是直线且是直线且 m .“m”是是“”的的( ) A充分而不必要条件充分而不必要条件 B必要而不充分条件必要而不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：由由 m，m . 但但 m，m， “m”是是“”的的必要不充分条件必要不充分条件 答案：答案：B 4在正方体在正方体
5、 ABCDA1B1C1D1中中，E 是是 DD1的中点的中点，则则 BD1 与平面与平面 ACE 的位置关系是的位置关系是_ 4 解析：解析： 如图所示如图所示， 连接连接 BD 交交 AC 于于 F， 连接连接 EF， 则则 EF 是是BDD1 的中位线的中位线，EFBD1， 又又 EF平面平面 ACE， BD1 平面平面 ACE， BD1平面平面 ACE. 答案：答案：平行平行 5设设 ，为三个不同的平面为三个不同的平面，a，b 为直线为直线，给出下列条给出下列条 件：件： a，b，a，b；，；， ； a，b，ab. 其中能推出其中能推出 的条件是的条件是_(填上所有正确的序号填上所有正确
6、的序号) 解析：解析：在条件在条件或条件或条件中中，或或 与与 相交相交 由由 ，条件条件满足满足 在在中中，a，abb，从而从而 ，满足满足 答案：答案： 5 一种关系一种关系三种平行间的转化关系三种平行间的转化关系 其中线面平行是核心其中线面平行是核心， 线线平行是基础线线平行是基础， 要注意它们之间的灵活要注意它们之间的灵活 转化转化 三个防范三个防范证明平行问题应注意的三个问题证明平行问题应注意的三个问题 1在推证线面平行时在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内一定要强调直线不在平面内，否则否则，会会 出现错误出现错误 2 在面面平行的判定中易忽视在面面平行的判定中易忽视“面内两条
7、相交直线面内两条相交直线”这一条件这一条件 3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行行，易误认为易误认为 这两个平面平行这两个平面平行，实质上也可以相交实质上也可以相交 A 级级 基础巩固基础巩固 一、选择题一、选择题 1(经典再现经典再现)设设 l 为直线为直线，是两个不同的平面下列命题是两个不同的平面下列命题 中正确的是中正确的是( ) A若若 l，l，则则 B若若 l，l，则则 C若若 l，l，则则 D若若 ，l，则则 l 解析：解析：选项选项 A，若若 l，l，则则 和和 可能平行也可能相交可能平行也可能相交， 6 故错误；故错误； 选项选项
8、 B，若若 l，l，则则 ，故正确；故正确； 选项选项 C，若若 l，l，则则 ，故错误；故错误； 选项选项 D，若若 ，l，则则 l 与与 的位置关系有三种可能：的位置关系有三种可能：l ，l，l，故错误故选故错误故选 B. 答案：答案：B 2正方体正方体 ABCDA1B1C1D1中中，E，F，G 分别是分别是 A1B1，CD， B1C1的中点的中点，则正确命题是则正确命题是( ) AAECG BAE 与与 CG 是异面直线是异面直线 C四边形四边形 AEC1F 是正方形是正方形 DAE平面平面 BC1F 解析：解析：由正方体的几何特征知由正方体的几何特征知，AE 与平面与平面 BCC1B1
9、不垂直不垂直，则则 AECG 不成立；由于不成立；由于 EGA1C1AC，故故 A，E，G，C 四点共面四点共面， 所以所以 AE 与与 CG 是异面直线错误；在四边形是异面直线错误；在四边形 AEC1F 中中，AEEC1 C1FAF，但但 AF 与与 AE 不垂直不垂直，故四边形故四边形 AEC1F 是正是正方形错误；方形错误； 由于由于 AEC1F，由线面平行的判定定理由线面平行的判定定理，可得可得 AE平面平面 BC1F. 答案：答案：D 3(2016 吉林九校联考吉林九校联考)已知已知 m，n 为两条不同的直线为两条不同的直线， 为三个不同的平面为三个不同的平面，则下列命题中正确的是则
10、下列命题中正确的是( ) A若若 m，n，则则 mn 7 B若若 m，n，则则 mn C若若 ，mn，m，则则 n D若若 ，则则 解析：解析：对于选项对于选项 A，m，n，则则 m 与与 n 可以平行可以平行，可以可以 相交相交，可以异面可以异面，故故 A 错误；对于选项错误；对于选项 B，由线面垂直的性质定理由线面垂直的性质定理 知知，mn，故故 B 正确；对于选项正确；对于选项 C，n 可以平行可以平行 ，也可以在也可以在 内内， 故故 C 错；对于选项错；对于选项 D，与与 可以相交可以相交，D 错错 答案：答案：B 4 (2014 辽宁卷辽宁卷)已知已知 m， n 表示两条不同直线表
11、示两条不同直线， ， 表示平面 下表示平面 下 列说法正确的是列说法正确的是( ) A若若 m，n，则则 mn B若若 m，n，则则 mn C若若 m，mn，则则 n D若若 m，mn，则则 n 解析：解析：若若 m，n，则则 m，n 平行、相交或异面平行、相交或异面，A 错；错； 若若 m，n，则则 mn，因为直线与平面垂直时因为直线与平面垂直时，它垂直于它垂直于 平面内任一直线平面内任一直线，B 正确；正确； 若若 m，mn，则则 n 或或 n，C 错；错； 若若 m， mn， 则则 n 与与 可能相交可能相交， 可能平行可能平行， 也可能也可能 n， D 错错 答案：答案：B 5在四面体
12、在四面体 ABCD 中中，截面截面 PQMN 是正方形是正方形，则在下列结论则在下列结论 中中，错误的是错误的是( ) 8 AACBD BAC截面截面 PQMN CACBD D异面直线异面直线 PM 与与 BD 所成的角为所成的角为 45 解析：解析：因为截面因为截面 PQMN 是正方形是正方形， 所以所以 MNQP，则则 MN平面平面 ABC， 由线面平行的性质知由线面平行的性质知 MNAC，则则 AC截面截面 PQMN， 同理可得同理可得 MQBD，又又 MNQM， 则则 ACBD，故故 A、B 正确正确 又因为又因为 BDMQ，所以异面直线所以异面直线 PM 与与 BD 所成的角等于所成
13、的角等于 PM 与与 QM 所成的角所成的角，即为即为 45，故故 D 正确正确 答案：答案：C 二、填空二、填空题题 6若直线若直线 ab，且直线且直线 a平面平面 ，则直线则直线 b 与平面与平面 的位置的位置 关系是关系是_ 解析：解析：当当 b 与与 相交或相交或 b或或 b 时时，均有满足直线均有满足直线 ab， 且直线且直线 a平面平面 的情形的情形 答案：答案：b 或或 b或或 b 与与 相交相交 7如图所示如图所示，正方体正方体 ABCDA1B1C1D1中中，AB2，点点 E 为为 9 AD 的中点的中点，点点 F 在在 CD 上若上若 EF平面平面 AB1C，则线段则线段 E
14、F 的长度的长度 等于等于_ 解析：解析：由于在正方体由于在正方体 ABCDA1B1C1D1中中，AB2， AC2 2 又又 E 为为 AD 中点中点， EF平面平面 AB1C， EF平面平面 ADC， 平平面面 ADC 平面平面 AB1CAC， EFAC，F 为为 DC 中点中点，EF1 2AC 2. 答案：答案： 2 8(2016 承德模拟承德模拟)如图所示如图所示，在正四棱柱在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中中，E，F，G，H 分别是棱分别是棱 CC1，C1D1，D1D，DC 的中点的中点，N 是是 BC 的中点的中点，点点 M 在四边形在四边形 EFGH 及其内部运动及其内部运动
15、，则则 M 只需满足条件只需满足条件 _时时，就有就有 MN平面平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一注：请填上你认为正确的一 个条件即可个条件即可，不不必考虑全部可能情况必考虑全部可能情况) 10 解析：解析：连结连结 HN，FH，FN，则则 FHDD1，HNBD， 平面平面 FHN平面平面 B1BDD1， 只需只需 MFH， 则则 MN平面平面 FHN， MN平面平面 B1BDD1. 答案：答案：点点 M 在线段在线段 FH 上上(或点或点 M 与点与点 H 重合重合) 三、解答题三、解答题 9如图所示如图所示，四棱柱四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面的底面 ABCD 是正方是
16、正方 形形，O 是底面中心是底面中心，A1O底面底面 ABCD，ABAA1 2. (1)证明：平面证明：平面 A1BD平面平面 CD1B1； (2)求三棱柱求三棱柱 ABDA1B1D1的体积的体积 (1)证明：证明：由题设知由题设知，BB1DD1， 四边形四边形 BB1D1D 是平行四边形是平行四边形，BDB1D1. 又又 BD 平面平面 CD1B1，BD平面平面 CD1B1. 11 A1D1B1C1BC，四边形四边形 A1BCD1是平行四边形是平行四边形， A1BD1C. 又又 A1B 平面平面 CD1B1，A1B平面平面 CD1B1. 又又 BDA1BB，平面平面 A1BD平面平面 CD1
17、B1. (2)解：解：A1O平面平面 ABCD， A1O 是三棱柱是三棱柱 ABDA1B1D1的高的高 又又 AO1 2AC 1，AA1 2，A1O AA2 1 OA21. 又又 S ABD1 2 2 21， V 三棱柱三棱柱 ABDA1B1D1S ABDA1O1. 10(2015 江苏卷江苏卷)如图如图，在直三棱柱在直三棱柱 ABCA1B1C1中中，已知已知 ACBC，BCCC1，设设 AB1的中点为的中点为 D，B1CBC1E. 求证：求证：(1)DE平面平面 AA1C1C； (2)BC1AB1. 证明：证明：(1)由题意知由题意知，E 为为 B1C 的中点的中点， 又又 D 为为 AB1
18、的中点的中点，因此因此 DEAC. 又因为又因为 DE 平面平面 AA1C1C，AC平面平面 AA1C1C， 所以所以 DE平面平面 AA1C1C. 12 ( (2)因为棱柱因为棱柱 ABCA1B1C1是直三棱柱是直三棱柱， 所以所以 CC1平面平面 ABC. 因为因为 AC平面平面 ABC，所以所以 ACCC1. 因为因为 ACBC，CC1平面平面 BCC1B1，BC平面平面 BCC1B1， BCCC1C， 所以所以 AC平面平面 BCC1B1. 又因为又因为 BC1平面平面 BCC1B1，所以所以 BC1AC. 因为因为 BCCC1，所以矩形所以矩形 BCC1B1是正方形是正方形， 因此因
19、此 BC1B1C. 因为因为 AC，B1C平面平面 B1AC，ACB1CC， 所以所以 BC1平面平面 B1AC. 又因为又因为 AB1平面平面 B1AC，所以所以 BC1AB1. B 级级 能力提升能力提升 2如图所示如图所示，棱柱棱柱 ABCA1B1C1的侧面的侧面 BCC1B1是菱形是菱形，设设 D是是A1C1上的点且上的点且A1B平面平面B1CD， 则则A1DDC1的值为的值为_ 13 解析：解析：设设 BC1B1CO，连接连接 OD， A1B平面平面 B1CD 且平面且平面 A1BC1平面平面 B1CDOD， A1BOD， 四边形四边形 BCC1B1是菱形是菱形， O 为为 BC1的
20、中点的中点， D 为为 A1C1的中点的中点， 则则 A1DDC11. 答案：答案：1 3(2017 北京海淀区模拟北京海淀区模拟)在四棱锥在四棱锥 PABCD 中中，PA平面平面 ABCD， ABC 是正三角形是正三角形， AC 与与 BD 的交点的交点 M 恰恰好是好是 AC 的中点的中点， 又又CAD30，PAAB4，点点 N 在线段在线段 PB 上上，且且PN NB 1 3. 14 (1)求证：求证：BDPC； (2)求证：求证：MN平面平面 PDC； (3)设平面设平面 PAB平面平面 PCDl， 试问直线试问直线 l 是否与直线是否与直线 CD 平行平行， 请说明理由请说明理由 (
21、1)证明：证明：因为因为ABC 是正三角形是正三角形，M 是是 AC 的中点的中点，所以所以 BMAC，即即 BDAC. 又因为又因为 PA平面平面 ABCD，BD平面平面 ABCD， 所以所以 PABD. 又又 PAACA，所以所以 BD平面平面 PAC. 又又 PC平面平面 PAC，所以所以 BDPC. (2)证明：证明：在正在正三角形三角形 ABC 中中，BM2 3， 在在ACD 中中，因为因为 M 为为 AC 中点中点，DMAC， 所以所以 ADCD， 因为因为CAD30，所以所以 DM2 3 3 ， 所以所以 BMMD31. 所以所以 BNNPBMMD.所以所以 MNPD. 又又 MN 平面平面 PDC，PD平面平面 PDC， 所以所以 MN平面平面 PDC. (3)解：解：假设直线假设直线 lCD，因为因为 l平面平面 PAB， CD 平面平面 PAB， 15 所以所以 CD平面平面 PAB. 又又 CD平面平面 ABCD，平面平面 PAB平面平面 ABCDAB，所以所以 CDAB，这与直线这与直线 CD 与直线与直线 AB 不平行矛不平行矛盾盾 所以直线所以直线 l 与直线与直线 CD 不平行不平行
