1、B单元 函数与导数 B1函数及其表示21B1，B122013江西卷 已知函数f(x)a，a为常数且a0.(1)证明：函数f(x)的图像关于直线x对称；(2)若x0满足f(f(x0)x0，但f(x0)x0，则称x0为函数f(x)的二阶周期点如果f(x)有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；(3)对于(2)中的x1，x2和a，设x3为函数 f(f(x)的最大值点，A(x1，f(f(x1)，B(x2，f(f(x2)，C(x3，0)记ABC的面积为S(a)，讨论S(a)的单调性解：(1)证明：因为fa(12|x|)，fa(12|x|)，有ff，所以函数f(x)的图像关于直线x对称(2)当0a
2、时，有f(f(x)所以f(f(x)x有四个解0，又f(0)0，f，f，f，故只有，是f(x)的二阶周期点综上所述，所求a的取值范围为a.(3)由(2)得x1，x2，因为x3为函数f(f(x)的最大值点，所以x3，或x3.当x3时，S(a)，求导得：S(a).所以当a时，S(a)单调递增，当a时S(a)单调递减；当x3时，S(a)，求导得：S(a)；因a，从而有S(a)0，所以当a时S(a)单调递增13B1，B112013江西卷 设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_132解析 f(ex)xex，利用换元法可得f(x)ln xx，f(x)1，所以f(1)2.10B1，B
3、82013江西卷 如图13所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点设弧FG的长为x(0x0，得x0，1)，故选B.11B12013辽宁卷 已知函数f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.设H1(x)max，H2(x)min(max表示p，q中的较大值，min表示p，q中的较小值)记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则AB()A16 B16Ca22a16 Da22a1611B解析 由题意知当f(x)g(x)时，即x22(a2)xa2x22(a2)xa28，整理得x2
4、2axa240，所以xa2或xa2，所以H1(x)maxf(x)，g(x)H2(x)minf(x)，g(x)由图形(图形略)可知，AH1(x)min4a4，BH2(x)max124a，则AB16.故选B.4B12013全国卷 已知函数f(x)的定义域为(1，0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1，1) B.C(1，0) D.4B解析 对于f(2x1)，12x10，解得1x0时，ff(x)表达式的展开式中常数项为()A20 B20 C15 D158A解析 由已知表达式可得：ff(x)6，展开式的通项为Tr1C6r()rC(1)rxr3，令r30，可得r3，所以常数项为T4C20.7B1，B
5、3，B122013四川卷 函数y的图像大致是()图157C解析 函数的定义域是xR|x0，排除选项A；当x0时，x30，3x10，排除选项B；当x时，y0且y0，故为选项C中的图像19B1，I2，K62013新课标全国卷 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图14所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品，以X(单位：t，100X150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润(1)将T表示为X的函数；(2)根
6、据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X100，110)，则取X105，且X105的概率等于需求量落入100，110)的频率)，求T的数学期望图1419解：(1)当X100，130)时，T500X300(130X)800X39 000.当X130，150时，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利润T不少于57 000元，当且仅当120X150.由直方图知需求量X120，150的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000
7、元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以E(T)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.B2反函数5B22013全国卷 函数f(x)log2(x0)的反函数f1(x)()A.(x0) B.(x0) C2x1(xR) D2x1(x0) 5A解析 令ylog2，则y0，且12y，解得x，交换x，y得f1(x)(x0)B3函数的单调性与最值21B3，B9，B122013四川卷 已知函数f(x)其中a是实数设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图像上
8、的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围21解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1，0)，(0，)(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f(x1)f(x2)1.当x0时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2.因为x1x20，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221，当且仅当(2
9、x12)2x221，即x1且x2时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为1.(3)当x1x2x10时，f(x1)f(x2)，故x10x2.当x10时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2)处的切线方程为yln x2(xx2)，即yxln x21.两切线重合的充要条件是由及x10x2，知1x10.由得，axln1xln(2x12)1.设h(x1)xln(2x12)1(1x10)，则h(x1)2x10.所以，h(x1)(1x1h(0)ln 21，所以aln 21.又当x1(1，0)且趋近于1时，h(x1)无限增大，所以a的取值范围是(ln 21，)故当函
10、数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(ln 21，)10B3，B122013四川卷 设函数f(x)(aR，e为自然对数的底数)若曲线ysinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0)y0，则a的取值范围是()A1，e Be11，1C1，e1 De11，e110A解析 因为y0sin x01，1，且f(x)在1，1上(有意义时)是增函数，对于y01，1，如果f(y0)cy0，则f(f(y0)f(c)f(y0)cy0，不可能有f(f(y0)y0.同理，当f(y0)dy0时，则f(f(y0)f(d)f(y0)dy0，也不可能有f(f(y0)y0，因此必有f(y0)y0，即方程f(x
11、)x在1，1上有解，即x在1，1上有解显然，当x0时，方程无解，即需要x在0，1上有解当x0时，两边平方得exxax2，故aexx2x.记g(x)exx2x，则g(x)ex2x1.当x时，ex0，2x10，故g(x)0，当x时，ex1，02x11，故g(x)0.综上，g(x)在x0，1上恒大于0，所以g(x)在0，1上为增函数，值域为1，e，从而a的取值范围是1，e7B1，B3，B122013四川卷 函数y的图像大致是()图157C解析 函数的定义域是xR|x0，排除选项A；当x0时，x30，3x10，排除选项B；当x时，y0且y0，故为选项C中的图像10B3，B5，B8，B122013新课标
12、全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)010C解析 x 时，f(x)0，f(x) 连续，x0R ，f(x0)0，A正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)x3c ，从而函数yf(x)的图像是中心对称图形，B正确； 若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1 ，则f(x)在区间(x1 ，x0)单调递减C错误D正确故答案为C.B4函数的奇偶性与周期性2B42013广东卷 定义域为R的四个函数yx3，y2x，
13、yx21，y2 sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D12C解析 函数yx3，y2sin x是奇函数11B42013江苏卷 已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_11(5，0)(5，)解析 设x0.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)(x24x)又f(0)0，于是不等式f(x)x等价于或解得x5或5x0时，f(x)x2，则f(1)()A2 B0 C1 D23A解析 f为奇函数，ff(1)2.14B4，E32013四川卷 已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)x24x，那么，不等式f(x2)5的解集是_
14、14(7，3)解析 当x20时，f(x2)(x2)24(x2)x24，由f(x2)5，得x245，即x29，解得3x3，又x20，故2x3为所求又因为f(x)为偶函数，故f(x2)的图像关于直线x2对称，于是7x2也满足不等式(注：本题还可以借助函数的图像及平移变换求解)B5二次函数4A2、B52013安徽卷 “a0”是“函数f(x)|(ax1)x|在区间(0，)内单调递增”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4C解析 f(x)|(ax1)x|ax2x|，若a0，则f(x)|x|，此时f(x)在区间(0，)上单调递增；若a0，则二次函数yax2x的对称
15、轴x0，且x0时y0，此时yax2x在区间(0，)上单调递减且y0，则二次函数yax2x的对称轴x0，且在区间0，上y1ln 425g(x)x24x5215可知它们有2个交点，选B.10B3，B5，B8，B122013新课标全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)010C解析 x 时，f(x)0，f(x) 连续，x0R ，f(x0)0，A正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)x3c ，从而函数yf(x)的图像
16、是中心对称图形，B正确； 若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1 ，则f(x)在区间(x1 ，x0)单调递减C错误D正确故答案为C.B6指数与指数函数6E3、B6、B72013安徽卷 已知一元二次不等式f(x)0的解集为x)x，则f(10x)0的解集为()Ax|xlg 2 Bx|1xlg 2 Dx|x0的解是1x，故110x，解得xa0，cb0.(1)记集合M(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且ab，则(a，b，c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_；(2)若a，b，c是ABC的三条边长，则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)x(，1)，f(x)0；
17、xR，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形，则x(1，2)，使f(x)0.16(1)x|0a0，cb0，故ab2ac，令f(x)2axcx0，即f(x)cx0，故可知，又0，结合指数函数性质可知0x1，即取值集合为x|0a0，cb0，则01，0，所以，又a，b，c为三角形三边，则定有abc，故对x(，1)，10，即f(x)axbxcxcx0，故正确；取x2，则，取x3，则，由此递推，必然存在xn时，有1，即anbn0，f(2)a2b2c20(C为钝角)，根据零点存在性定理可知，x(1，2)，使f(x)0，故正确故填.3B6，B72013浙江卷 已知x，y为正实数
18、，则()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg y D2lg(xy)2lg x2lg y3D解析 lg(xy)lg xlg y，2lg(xy)2lg xlg y2lgx2lgy，故选择D.B7对数与指数函数6E3、B6、B72013安徽卷 已知一元二次不等式f(x)0的解集为x)x，则f(10x)0的解集为()Ax|xlg 2 Bx|1xlg 2 Dx|x0的解是1x，故110x，解得x0，b0，则ln(ab)blna；若a0，b0，则ln(ab)lnalnb；若a0，b0，则lnlnalnb；若a0，b0，则ln(a
19、b)lnalnbln 2.其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)16解析 中，当ab1时，b0，a1，ln(ab)ln abbln ablna；当0ab0，0a1，ln(ab)blna0，正确；中，当0ab1时，左边ln(ab)0，右边lnalnbln a0ln a0，不成立；中，当1，即ab时，左边0，右边lnalnb0，左边右边成立；当1时，左边lnln aln b0，若ab1时，右边ln aln b，左边右边成立；若0ba1b0，左边lnln aln bln a，右边ln a，左边右边成立，正确；中，若0ab0，左边右边；若ab1，lnln 2lnln 2ln，又a或b，a，b至少有1
20、个大于1，lnln a或lnln b，即有lnln 2lnln 2lnlnalnb，正确8B7，E12013新课标全国卷 设alog36，blog510，clog714，则()Acba BbcaCacb Dabc8D解析 ablog36log510(1log32)(1log52)log32log520，bclog510log714(1log52)(1log72)log52log720，所以abc，选D.3B6，B72013浙江卷 已知x，y为正实数，则()A2lg xlg y2lg x2lg y B2lg(xy)2lg x2lg yC2lg xlg y2lg x2lg y D2lg(xy)2l
21、g x2lg y3D解析 lg(xy)lg xlg y，2lg(xy)2lg xlg y2lgx2lgy，故选择D.B8幂函数与函数的图像5B82013北京卷 函数f(x)的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1 Cex1 Dex15D解析 依题意，f(x)向右平移一个单位长度得到f(x1)的图像，又yex的图像关于y轴对称的图像的解析式为yex，所以f(x1)ex，所以f(x)ex1.10B1，B82013江西卷 如图13所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，ll1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两
22、边相交于E，D两点设弧FG的长为x(0x)，yEBBCCD，若l从l1平行移动到l2，则函数yf(x)的图像大致是()图13图1410D解析 设l，l2距离为t，cos x2t21，得t.ABC的边长为，得BE(1t)，则y2BEBC2(1t)2，当x(0，)时，非线性单调递增，排除A，B，求证x的情况可知选D.10B3，B5，B8，B122013新课标全国卷 已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图像是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)010C解析 x
23、时，f(x)0，f(x) 连续，x0R ，f(x0)0，A正确；通过平移变换，函数可以化为f(x)x3c ，从而函数yf(x)的图像是中心对称图形，B正确； 若x0是f(x)的极小值点，可能还有极大值点x1 ，则f(x)在区间(x1 ，x0)单调递减C错误D正确故答案为C.B9函数与方程11B9，B112013新课标全国卷 已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2，1 D2，011D解析 方法一：若x0，|f(x)|x22x|x22x，x0时，不等式恒成立，x0时，不等式可变为ax2，而x20，|f(x)|ln(x1)|ln(x1)，由ln(x1)ax，可
24、得a恒成立，令h(x)，则h(x)，再令g(x)ln(x1)，则g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(0)0，可得h(x)0，a0.综上可知，2a0，故选D.方法二：数形结合：画出函数|f(x)|与直线yax的图像，如下图，要使|f(x)|ax恒成立，只要使直线yax的斜率最小时与函数yx22x，x0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x轴的斜率相等即可，因为y2x2，所以y|x02，所以2a0.10B9，B122013安徽卷 若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3 B4C5
25、 D610A解析 因为f(x)3x22axb，3(f(x)22af(x)b0且3x22axb0的两根分别为x1，x2，所以f(x)x1或f(x)x2，当x1是极大值点时，f(x1)x1，x2为极小值点，且x2x1，如图(1)所示，可知方程f(x)x1有两个实根，f(x)x2有一个实根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3个不同实根；当x1是极小值点时，f(x1)x1，x2为极大值点，且x21ln 425g(x)x24x5215可知它们有2个交点，选B.21B9、B122013山东卷 设函数f(x)c(e2.718 28是自然对数的底数，cR)(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论
26、关于x的方程|ln x|f(x)根的个数21解：(1)f(x)(12x)e2x.由f(x)0，解得x，当x0，f(x)单调递增；当x时，f(x)0，则g(x)lnxxe2xc，所以g(x)e2x2x1.因为2x10，0，所以g(x)0.因此g(x)在(1，)上单调递增当x(0，1)时，lnx1x0，所以1.又2x11，所以2x10，即g(x)0，即ce2时，g(x)没有零点，故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为0；当g(1)e2c0，即ce2时，g(x)只有一个零点，故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为1；当g(1)e2ce2时，()当x(1，)时，由(1)知g(x)lnxxe2x
27、clnxe1clnx1c，要使g(x)0，只需使lnx1c0，即x(e1c，)；()当x(0，1)时，由(1)知g(x)lnxxe2xclnxe1clnx1c，要使g(x)0，只需lnx1c0，即x(0，e1c)；所以ce2时，g(x)有两个零点，故关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为2.综上所述，当ce2时，关于x的方程|lnx|f(x)根的个数为2.21B3，B9，B122013四川卷 已知函数f(x)其中a是实数设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图像上的两点，且x1x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直，且x20
28、，求x2x1的最小值；(3)若函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合，求a的取值范围21解：(1)函数f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1，0)，(0，)(2)由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f(x1)，点B处的切线斜率为f(x2)，故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f(x1)f(x2)1.当x0时，对函数f(x)求导，得f(x)2x2.因为x1x20，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x120.因此x2x1(2x12)2x221，当且仅当(2x12)2x221，即x1且x2时等号成立所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为1
29、.(3)当x1x2x10时，f(x1)f(x2)，故x10x2.当x10时，函数f(x)的图像在点(x2，f(x2)处的切线方程为yln x2(xx2)，即yxln x21.两切线重合的充要条件是由及x10x2，知1x10.由得，axln1xln(2x12)1.设h(x1)xln(2x12)1(1x10)，则h(x1)2x10.所以，h(x1)(1x1h(0)ln 21，所以aln 21.又当x1(1，0)且趋近于1时，h(x1)无限增大，所以a的取值范围是(ln 21，)故当函数f(x)的图像在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是(ln 21，)7B92013天津卷 函数f(x)2x|lo
30、g0.5x|1的零点个数为()A1 B2 C3 D47B解析 f(x)2x|log0.5 x|1f(x)2xlog2x1在(0，1上递减且x接近于0时，f(x)接近于正无穷大，f(1)10，f(x)在(1，)上有一零点故f(x)共有2个零点B10函数模型及其应用10B102013陕西卷 设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有()Axx B2x2xCxyxy Dxyxy10D解析 可取特值x3.5，则x3.54，x3.53，故A错2x77，2x23.56，故B错再取y3.8，则xy7.37，而3.53.8336，故C错只有D正确6B102013重庆卷 若abc，则函数f(x)(xa)
31、(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内6A解析 因为f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以函数的两个零点分别在(a，b)和(b，c)内，故选A.B11导数及其运算11B9，B112013新课标全国卷 已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()A(，0 B(，1C2，1 D2，011D解析 方法一：若x0，|f(x)|x22x|x22x，x0时，不等式恒成立，x0时，不等式可变为ax2，而x20，|f(x)|ln(x1)|ln(x1)，由ln(x1)ax，可得a恒成立，令h(x)，则h(x)，再令g(x)ln(x1)，则g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(0)0，可得h(x)0，故h(x)在(0，)上单调递
