1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 47 专题研究 2 数学归纳法 1 在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 12n(n 3)条时 ， 第一步检验第一个值 n0等于( ) A 1 B 2 C 3 D 0 答案 C 解析 边数最少的凸 n 边形是三角形 2 (2017 山东德州一模 )用数学归纳法证明 1 2 22 2n 2 2n 3 1， 在验证 n 1 时 ，左边的式子为 ( ) A 1 B 1 2 C 1 2 22 D 1 2 22 23 答案 D 解析 当 n 1 时 ， 左边 1 2 22 23.故选 D. 3 用数学归纳法证明不等式 1 12 14 12n 112764
2、 (n N*)成立 ， 其初始值至少应取 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 答案 B 解析 1 12 14 12n 11 12n1 1212764 ， 整理得 2n128， 解得 n7. 初始值至少应取 8. 4 设 f(n) 1 12 13 13n 1(n N*)， 那么 f(n 1) f(n)等于 ( ) A. 13n 2 B.13n 13n 1 C. 13n 1 13n 2 D.13n 13n 1 13n 2 答案 D 5 用 数学归纳法证明 34n 1 52n 1(n N)能被 8 整除时 ， 当 n k 1 时 ， 对于 34(k 1) 1 52(k1) 1可变形为 ( )
3、A 56 34k 1 25(34k 1 52k 1) B 34 34k 1 52 52k =【 ;精品教育资源文库 】 = C 34k 1 52k 1 D 25(34k 1 52k 1) 答案 A 解析 因为要使用归纳假设 ， 必须将 34(k 1) 1 52(k 1) 1分解为归纳假设和能被 8 整除的两部分所以应变形为 563 4k 1 25(34k 1 52k 1) 6 若数列 an的通项公式 an 1（ n 1） 2， 记 cn 2(1 a1)(1 a2)(1 an)， 试通过计算c1， c2， c3的值 ， 推测 cn _ 答案 n 2n 1 解析 c1 2(1 a1) 2(1 14
4、) 32， c2 2(1 a1)(1 a2) 2(1 14)(1 19) 43， c3 2(1 a1)(1 a2)(1 a3) 2(1 14)(1 19)(1 116) 54， 故由归纳推理得 cn n 2n 1. 7 设数列 an的前 n 项和为 Sn， 且对任意的自然数 n 都有： (Sn 1)2 anSn. (1)求 S1， S2， S3； (2)猜想 Sn的表达式并证明 答案 (1)S1 12， S2 23， S3 34 (2)Sn nn 1， 证明略 解析 (1)由 (S1 1)2 S12， 得 S1 12； 由 (S2 1)2 (S2 S1)S2， 得 S2 23； 由 (S3 1
5、)2 (S3 S2)S3， 得 S3 34. (2)猜想： Sn nn 1. 证明： 当 n 1 时 ， 显然成立； 假设当 n k(k1 且 k N*)时 ， Sk kk 1成立 则当 n k 1 时 ， 由 (Sk 1 1)2 ak 1Sk 1， 得 Sk 1 12 Sk 12 kk 1 k 1k 2. 从而 n k 1 时 ， 猜想也成立 综合 得结论成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 8 已知函数 f(x) x sinx， 数列 an满足： 00， 所以 f(x)在 (0， 1)上是增函数 又 f(x)在 0， 1上连续 ， 从而 f(0)0， 所以 ak ak 12(n 1)n.
6、 故 1a1 b1 1a2 b2 1an bn16 12( 123 134 1n（ n 1） ) 16 12(12 13 13 14 1n 1n 1) 16 12(12 1n 1)16 14 512. 1 用数学归纳法证明不等式 1n 1 1n 2 1n n 1324的 过程中，由 n k 推导 n k 1时 ， 不等式的左边增加的式子是 _ 答 案 1（ 2k 1）（ 2k 2） 解析 不等式的左边增加的式子是 12k 1 12k 2 1k 1 1（ 2k 1）（ 2k 2） ， 故填1（ 2k 1）（ 2k 2） . =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 用数学归纳法证明：对任意 的 n
7、N*， 113 135 1（ 2n 1）（ 2n 1） n2n 1. 答案 略 解析 (1)当 n 1 时 ， 左边 113 13， 右边 121 1 13， 左边右边 ， 所以等式成立 (2)假设当 n k(k N*且 k1) 时等式成立 ， 即有 113 135 1（ 2k 1）（ 2k 1） k2k 1， 则当 n k 1 时 ， 113 135 1（ 2k 1）（ 2k 1） 1（ 2k 1）（ 2k 3） k2k 1 1（ 2k 1）（ 2k 3） k（ 2k 3） 1（ 2k 1）（ 2k 3） 2k2 3k 1（ 2k 1）（ 2k 3） k 12k 3k 12（ k 1） 1，
8、 所以当 n k 1 时 ， 等式也成立 由 (1)(2)可知 ， 对一切 n N*等式都成立 3 (2017 湖北宜昌一中模拟 )已知函数 f(x) 13x3 x，数列 an满足条件： a1 1， an 1 f(an 1)试比较 11 a1 11 a2 11 a3 11 an与 1 的大小 ， 并说明理由 答案 11 a1 11 a2 11 a3 11 an1 解析 f (x) x2 1， an 1 f (an 1)， an 1 (an 1)2 1. 函数 g(x) (x 1)2 1 x2 2x 在区间 1， ) 上单调递增 ， 于是由 a1 1， 得 a2 (a1 1)2 12 2 1，
9、进而得 a3 (a2 1)2 12 4 1 23 1. 由此猜想： an 2n 1. 下面用数学归纳法证明这个猜想： 当 n 1 时 ， a1 21 1 1， 结论成立； 假设 n k(k1 且 k N*)时结论成立 ， 即 ak2 k 1， 则当 n k 1 时 ， 由 g(x) (x 1)2 1 在区间 1， ) 上单调递增知 ， ak 1 (ak 1)2 12 2k 12 k 1 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 n k 1 时 ， 结论也成立 由 、 知 ， 对任意 n N*， 都有 an 2n 1. 即 1 an 2n， 11 an 12n. 11 a1 11 a2 11 a3 11 an 12 122 123 12n 1 (12)n 1.
