1、1一、（30分） 1.简述波函数的统计解释，并讨论应对波函数提出哪些要求？ 2.证明在体系的任何状态下，厄米算符的平均值是实数。 3.证明厄米算符的本征值是实数。 4.证明厄米算符不同本征态相交。北京理工大学北京理工大学20042004年年参考讲义参考讲义1.教材教材3.4.2.证明：证明： 设厄米算符 的本征方程 （ 为实数） FnnnFn设体系处在 态，),(txdxtxFtxF),(*),(dxFtctcmnmmnn*)(*)(,nnnnmmmmnntctctc2,)()(*)(为实数为实数2二、（二、（4040分）粒子处于一维无限深势阱中分）粒子处于一维无限深势阱中axxaxxV, 0
2、,0, 0)(1.求粒子能量本征值和本征函数。2.若粒子处于基态，计算坐标平均值和量子涨落 。x3.若粒子波函数为 ，求粒子处于基态的概率。)()(axxx4.若粒子受到微扰 的作用， 求基态能量一级修正。axaaxaxaxH2),1 (220,211H5.当粒子处于基态时，设阱宽突然变为 ，粒子波函数来不及改变，求粒子仍处在基态的概率。a23 解：解： 1. 粒子能量本征值和本征函数为： 22222 anEnaxnaxnsin2)(, 2 , 1n 2. 粒子处于基态时，计算坐标平均值和量子涨落xaadxaxxadxaxxax002)2cos1 (1sin22cos2102adxaxxaa2
3、2cos22sin2120aaxaaxxaaaaadxaxxax0222sin2adxaxxa02)2cos1 (12cos31023adxaxxaa2sin22sin2130022aadxaxxaxxaaa)2131(222132222aaa42ax )2131(222 ax22221121axxx所以3.若粒子波函数为 ，求粒子处于基态的概率。)()(axxx先将波函数归一化，1304235)(52432520222aAaaaaaAdxaxxAa)(30)(5axxax所以aadxaxaxxadxxxc026011sin)(60*)()(5aadxaxaxxadxxxc026011sin)
4、(60*)()(aaaxaaxxaaxxadxaxx0202)cossin(2cossin)41 (23a3020sincossinaaxaaxxadxaxaxaa31460c621960c6aaadxaaxadxaaxaaHE2220211)1(1sin22sin22大连理工04年4.若粒子受到微扰 的作用， 求基态能量一级修正。axaaxaxaxH2),1 (220,211H75.当粒子处于基态时，设阱宽突然变为 ，粒子波函数来不及改变，求粒子仍处在基态的概率。a25.5.)22(axa)2(sin2)(axanaxn作坐标平移，在 势阱中粒子的波函数22axa而 势阱中粒子波函数 axa
5、)(2sin1)(axanaxn将 按 展开， )(1x)(xnnnnxcx)()(12222111)2sin()22sin(2*aaaadxaxaxadxc22)cos()2cos(2aadxaxaxa38)2cos()23cos(2222aadxaxaxa粒子仍处在基态的概率 964211 cw8三、（三、（4040分）分） 为泡利算符为泡利算符yxz,1.在 本征值为1的态下，计算 和 。z2)(x2)(y2.在 表象中，求 的本征态。 zx3.求 表象变换到 表象的变换矩阵。zx4.证明sincos)exp(zzii 2sin2cos)exp()exp(yxzxzii5.证明解：解：1
6、. 本征值为1的态： z010100101011001x101010101100110012x1)(222xxx90001010001iiiy10101010000012iiiiy1)(2y2.在 表象中，求 的本征态。 zxbaba0110011ba有解的条件 01111001111baba 归一化后得 11211时，代入011ba1121同理， 时，得1113.求 表象变换到 表象的变换矩阵。zx 从A表象变换到B表象的变换矩阵，就是算符B在A表象的本征矢按列排列得到的矩阵，故 表象变换到 表象的变换矩阵为zx111121S4.证明sincos)exp(zzii参考大连理工参考大连理工20
7、04年题二（年题二（3） nznoddevennnzininiez)(!)()(!)(01)(2z，所以 为偶数时， ； 为奇数时， 1)(nznznz)(n()()!znnizevenoddiienn122sin2cos)exp()exp(yxzxzii5.证明cos)!2() 1()!2()(!)(02022kkkkkkevennkkinisin)!12() 1(!)(012ikinikkkoddnsincosziiezoddnyevennininiez!)(!)()sin(cos)sin(cos)exp()exp(zxzzxziiii22sincossinsincoscoszxzxzzx
8、xii22sin)(sincoscoszxzxzzxxi1)( , 0, ,2,2zxzyxzisincos2sincos22yxx2sin2cosyx13四、（四、（4040分）设体系处于归一化波函数分）设体系处于归一化波函数 , ,求求202111YcYc1. 的可测值及相应的概率。 zL2. 的可测值及相应的概率。 2L2)(zL3.计算 4.在 态下，求 的平均值。 11YxL2)(xL5.在 态下，求 的平均值。 11Y解：解：1.相应概率0 , zL2221, cc2226 ,2L2.相应概率2221, cc142)(zL3.计算 21cLz202111YcYc22120211122021112)(*)(cdYcYcLYcYcLzz22221221212)1 ()(ccccLz4.在 态下，求 的平均值。 11YxL利用升降算符 ，得yxLiLL)(21LLLx1,) 1)(,mlmlmlmlL01 , 11 , 1211 , 11 , 1LLLLxx15)(41222LLLLLLLx2)(xL5.在 态下，求 的平均值。 11Y1 , 1)(1 , 1411 , 11 , 122LLLLLLxx1 , 1)(1 , 14122LLLLLL01 , 1L22411 , 11 , 14122 LL2)(2222xxxLLL
