1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 题组训练 30 平面向量基本定理及坐标运算 1 已知点 A( 1， 1)， B(2， y)， 向量 a (1， 2)， 若 AB a， 则实数 y 的 值为 ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 答案 C 解析 AB (3， y 1)， a (1， 2)， AB a， 则 23 1(y 1)， 解得 y 7， 故选 C. 2 已知 M(3， 2)， N( 5， 1)，且 MP 12MN ， 则 P 点的坐标为 ( ) A ( 8， 1) B ( 1， 32) C (1， 32) D (8， 1) 答案 B 解析 设 P(x， y)， 则 MP (x 3， y
2、 2) 而 12MN 12( 8， 1) ( 4， 12)， ?x 3 4，y 2 12. 解得 ?x 1，y 32. P( 1， 32)故选 B. 3 如果 e1， e2是平面 内一组不共线的向量 ， 那么下列四组向量中 ， 不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( ) A e1与 e1 e2 B e1 2e2与 e1 2e2 C e1 e2与 e1 e2 D e1 3e2与 6e2 2e1 答案 D 解析 选项 A 中 ， 设 e1 e2 e1， 则?1 ，1 0， 无解；选项 B 中 ， 设 e1 2e2 ( e1 2e2)，则? 1， 2 2 ， 无解；选项 C 中 ， 设 e1 e2
3、 ( e1 e2)， 则 ? 1，1 ， 无解；选项 D 中 ， e1 3e2 12(6e2 2e1)， 所以两向量是共线向量 4 设向量 a (1， 3)， b ( 2， 4)， 若表示向量 4a， 3b 2a， c 的有向线段首尾相接能构成三角形 ， 则向量 c 为 ( ) A (1， 1) B ( 1， 1) C ( 4， 6) D (4， 6) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 由题知 4a (4， 12)， 3b 2a ( 6， 12) (2， 6) ( 8， 18)， 由 4a (3b2a) c 0， 知 c (4， 6)， 选 D. 5 (2018 河北唐山一模
4、)在 ABC 中 ， B 90， AB (1， 2)， AC (3， )， 则 ( ) A 1 B 1 C.32 D 4 答案 A 解析 在 ABC 中 ， AB (1， 2)， AC (3， )， BC AC AB (2， 2) 又 B 90， AB BC ， AB BC 0， 即 2 2( 2) 0， 解得 1.故选 A. 6 (2018 湖北襄阳模拟 )设向量 a (m， 2)， b (1， m 1)， 且 a 与 b 的方向相反 ， 则实数 m 的值为 ( ) A 2 B 1 C 2 或 1 D m 的值不存在 答案 A 解析 向量 a (m， 2)， b (1， m 1)， 因为 a
5、 b， 所以 m(m 1) 21 ， 解得 m 2 或1.当 m 1 时 ， a (1， 2)， b (1， 2)， a 与 b 的方向相同 ， 舍去；当 m 2 时 ， a ( 2，2)， b (1， 1)， a 与 b 的方向相反 ， 符合题意故选 A. 7 在 ?ABCD 中 ， 若 AD (3， 7)， AB ( 2， 3)， 对角线交点为 O， 则 CO 等于 ( ) A ( 12， 5) B ( 12， 5) C (12， 5) D (12， 5) 答案 B 解析 CO 12AC 12(AD AB ) 12(1， 10) ( 12， 5) 8 (2018 湖北襄樊一模 )已知 OA
6、 (1， 3)， OB (2， 1)， OC (k 1， k 2)， 若 A， B，C 三点不能构成三角形 ， 则实数 k 应满足的条件是 ( ) A k 2 B k 12 C k 1 D k 1 答案 C 解析 若点 A， B， C 不能构成三角形 ， 则向量 AB 与 AC 共线 . 因为 AB OB OA (2， 1) (1，=【 ;精品教育资源文库 】 = 3) (1， 2)， AC OC OA (k 1， k 2) (1， 3) (k， k 1)所以 1(k 1) 2k 0， 解得 k 1， 故选 C. 9 在平面直角坐标系中 ， O 为坐标原点 ， 设向量 OA a， OB b，
7、其中 a (3， 1)， b (1，3)若 OC a b， 且 01 ， 则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( ) 答案 A 解析 由题意知 OC (3 ， 3) ， 取特殊值 ， 0， 0， 知所求区域包含原点 ，取 0， 1， 知所求区域包含 (1， 3)， 从而选 A. 10 (2017 安徽合肥一模 )已知 a (1， 3)， b ( 2， k)， 且 (a 2b)(3 a b)， 则实数 k _ 答案 6 解析 a (1， 3)， b ( 2， k)， a 2b ( 3， 3 2k)， 3a b (5， 9 k) ( a2b)(3 a b)， 3(9 k) 5(3 2k)
8、 0， 解得 k 6. 11 已知梯形 ABCD， 其中 ABCD ， 且 DC 2AB， 三个顶点 A(1， 2)， B(2， 1)， C(4， 2)， 则点 D 的坐标为 _ 答 案 (2， 4) 解析 在梯形 ABCD 中 ， DC 2AB， DC 2AB . 设点 D 的坐标为 (x， y)， 则 DC (4， 2) (x， y) (4 x， 2 y)， AB (2， 1) (1， 2) (1， 1)， (4 x， 2 y) 2(1， 1)， 即 (4 x， 2 y) (2， 2)， ?4 x 2，2 y 2， 解得 ?x 2，y 4， 故点 D 的坐标为 (2， 4) =【 ;精品教
9、育资源文库 】 = 12 已知 A( 3， 0)， B(0， 3)， O 为坐标原点 ， C 在第二象限 ， 且 AOC 30， OC OA OB ， 则实数 的值为 _ 答案 1 解析 由题意知 OA ( 3， 0)， OB (0， 3)， 则 OC ( 3 ， 3) 由 AOC 30 知以 x 轴的非负半轴为始边 ， OC 为终边的一个角为 150， tan150 3 3 ， 即 33 33 ， 1. 13 (2018 河北联盟二模 )已知点 A(1， 0)， B(1， 3)， 点 C 在第二象限 ， 且 AOC 150，OC 4OA OB ， 则 _ 答案 1 解析 点 A(1， 0)，
10、 B(1， 3)， 点 C 在第二象限 ， OC 4OA OB ， C( 4， 3 ) AOC 150， COx 150， tan150 3 4 33 ， 解得 1. 14 已知 |OA | 1， |OB | 3， OA OB 0， 点 C 在 AOB 内 ， 且 AOC 30 .设 OC mOA nOB (m， n R)， 则 mn _ 答案 3 解析 方法一：如图所示 ， OA OB 0， OB OA . 不妨设 |OC | 2， 过 C 作 CD OA 于 D， CE OB 于 E， 则四边形 ODCE 是矩形 OC OD DC OD OE . |OC | 2， COD 30， |DC
11、| 1， |OD | 3. 又 | OB | 3， |OA | 1， 故 OD 3 OA ， OE 33 OB . OC 3 OA 33 OB ， 此时 m 3， n 33 . =【 ;精品教育资源文库 】 = mn 333 3. 方法二：由 OA OB 0 知 AOB 为 直角三角形 ，以 OA， OB 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系 ， 则可知 OA (1， 0)， OB (0， 3)又由 OC mOA nOB ， 可知 OC (m， 3n)， 故由 tan30 3nm 33 ， 可知 mn 3. 15 (2018 湖南长沙一模 )在矩形 ABCD 中 ， AB 3， AD
12、2， P 是矩形内部一点 (不含边界 )，且 AP 1.若 AP xAB yAD ， 则 3x 2y 的取值范围是 _ 答案 (1， 2 解析 在矩形 ABCD 中 ， AB 3， AD 2， 如图 ， 以 A 为原点 ， AB 所在直线为 x 轴 ， AD 所在直线为 y 轴 ， 建立平面直角坐标系 ， 则 A(0，0)， B(3， 0)， D(0， 2)， AP xAB yAD x(3， 0) y(0， 2) (3x，2y) |AP | 1， (3x)2 (2y)2 1.令 3x cos， 2y sin， (0， 2)， 则 3x 2y cos sin 2sin( 4)， 4 434， 2
13、2 sin( 4 )1 ， 13x 2y 2， 即 3x 2y 的取值范围是 (1， 2 16 已知 A， B， C 三点的坐标分别为 ( 1， 0)， (3， 1)， (1， 2)， 并且 AE 13AC ， BF 13BC . (1)求 E， F 的坐标； (2)求证： EF AB . 答案 (1)E( 13， 23)， F(73， 0) (2)略 解析 (1)设 E， F 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， 则依题意 ， 得 AC (2， 2)， BC (2， 3)， AB (4， 1) AE 13AC (23， 23)， BF 13BC ( 23， 1) AE (
14、x1， y1) ( 1， 0) (23， 23)， BF (x2， y2) (3， 1) ( 23， 1) =【 ;精品教育资源文库 】 = (x1， y1) (23， 23) ( 1， 0) ( 13， 23)， (x2， y2) ( 23， 1) (3， 1) (73， 0) E 的坐标为 ( 13， 23)， F 的坐标为 (73， 0) (2)由 (1)知 (x1， y1) ( 13， 23)， (x2， y2) (73， 0) EF (x2， y2) (x1， y1) (83， 23) 又 AB (4， 1)， 4 ( 23) ( 1) 83 0， EF AB . 17 已知向量 a (sin， cos 2sin )， b (1， 2) (1)若 ab ， 求 tan 的值； (2)若 |a| |b|， 0 ， 求 的值 答案 (1)14 (2) 2 或 34 解析 (1)因为 ab ， 所以 2sin cos 2sin， 于是 4sin cos， 故 tan 14. (2)由 |a| |b|知 ， sin2 (cos 2sin )2 5， 所 以 1 2sin2 4sin2 5. 从而 2sin2 2(1 cos2 ) 4， 即 sin2 cos2 1， 于是 sin(2 4) 22 . 又由 0 知 ， 42
