1、第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积一、平面图形的面积,d)(dxxfA 1.1.直角坐标情形直角坐标情形面积元素面积元素:)(xfy byoxaxxx baxxfAd)(面积面积(1) 由连续曲线由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线直线 x=a, x=b (ab)及及x轴所围成的平面图形的面积轴所围成的平面图形的面积若若f (x)有正有负有正有负,则曲边梯形面积为则曲边梯形面积为.d)( baxxfA)(xfy )(xfy xyoab，若若)()(xgxf xyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(xxx ,d
2、)()(dxxgxfA 面积元素面积元素: (2) 由连续曲线由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线直线 x=a, x=b (ab)所围成的平面图形的面积所围成的平面图形的面积:cxyoab)(xfy )(xgy baxxgxfAd)()(一般地，一般地， dcyyAd)( ( (3 3) ) 由由曲曲线线0)( yx 、直直线线)(,dcdycy dcxyo)(yx 及及y轴轴围成的平面图形的面积为围成的平面图形的面积为 .d)( dcyyA )(yx xyodc一般地，一般地， dcyyyAd)()( ( (4 4) ) 由由曲曲线线)(yx 、)(yx 直直线线)(,dcdyc
3、y 及及y轴轴围成的平面图形的面积为：围成的平面图形的面积为： ,)()(yy 若若.d)()( dcyyyA dcxyo)(yx )(yx dcxyo)(yx )(yx 一般地，一般地，计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解先求两曲线的交点先求两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素，xxxAd)(d2 选选x为积分变量为积分变量,1 , 0 xxxxAd)(210 103)332(23xx .31 2xy 2yx 例例1 1 22xy 211xy 例例2 2 求求曲曲线线22xy , ,211xy 与与直直线线3 x
4、所所 围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积. . xoy33 1 1解解 由对称性由对称性, 1022d)211(2xxxA.3233 交点交点,1 x 3122d)112(2xxx计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy 20d)2(2xxxA例例3 3 .18 82d)4(2xxx此题选此题选y为积分变量比较好为积分变量比较好, 422d)24(yyyA.18 20d)2(2xxxA 82d)4(2xxx选择积分变量的原则：选择积分变量的原则：
5、(1)(1)积分容易；积分容易；(2)(2)尽量少分块尽量少分块. . ?, 10,102和最小和最小图中两阴影部分的面积图中两阴影部分的面积为何值时为何值时当当一点一点上的任上的任是区间是区间上上定义在定义在设设，ttxxy y = x2t12tyx11S2S21SSS 解解例例4 4 122022d)(d)(ttxtxxxt12303233ttxtxxxt ，313423 tt，令令0)12(224 2 ttttS10 t，得驻点得驻点21, 0: tt.21时两面积和最小时两面积和最小当当 t有时需要把边界函数有时需要把边界函数参数化参数化.由由参参数数曲曲线线 )()(tyytxx,
6、, t及及直直线线 ax , ,bx 和和x轴轴围围成成的的平平面面图图形形面面积积为为： ；则则 ttxtyAd)()(，若若0 x.d)()( ttxtyA则则，若若0 x求求椭椭圆圆12222 byax的的面面积积. 解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于第一象限部分面积的由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍倍, axyA0d4 02)cos(dsin4 tatbttabdsin4202 .ab 例例5 5 的奇数的奇数为大于为大于为正偶数为正偶数1 , 3254231 , 22143231dsin20nnnnnnnnnnxxn 求求星星形形
7、线线 taytax33sincos围围成成的的面面积积. . 解解例例6 6 345345页页 2/023dsincos3sin4 tttataA 2/0242d)sin1(sin12 ttta)221436522143(122 a.832a 设由曲线设由曲线 )( r及射及射线线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素面积元素， d)(21d2 A曲边扇形的面积曲边扇形的面积.d)(212 A2.2.极坐标情形极坐标情形)( r扇形面积公式扇形面积公式 ， 221RA 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 ar
8、 )0( a第第一一圈圈2 , 0 与与极极轴轴所所围围图图形形的的面面积积. . 解解例例7 7 202d)(21aA.3432 a 求求心心脏脏线线)cos1( ar所所围围面面积积. . 解解例例8 8 022d)cos1(212aA.232a 求双纽线求双纽线 2cos22a 所围平面图形的面积所围平面图形的面积. ，14AA 2cos22a 1A解解例例9 9 4/02d2cos214 aA.2a 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、
9、体积1. 1. 旋转体的体积旋转体的体积一般地一般地, 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？轴旋转一周而成的立体，体积为多少？ abox y)(xfy xxxd 2)()(xfxA 体积元素体积元素:xxfVd)(d2 旋转体的体积为旋转体的体积为 baxxfVd)(2 连接坐标原点连接坐标原点 O 及点及点),(rhP的直线、直线的直线、直线hx 及及x轴围成一个直角三角形 将它绕轴围成一个直角三角形 将它绕x轴轴旋转构成一个底半径为旋转构成一个底半径为r、高为
10、、高为h的圆锥体，的圆锥体，计算圆锥体的体积计算圆锥体的体积 xhry yrhPxo直线直线OP的方程为的方程为解解例例1 1 hxxhrV02d)( .32hr 求求椭椭圆圆12222 byax绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体( (称称旋旋转转椭椭球球体体) )体体积积. . 例例2 2 x yOab22xaaby 解解 axaxbV0222d)1(2 .342ab 特特别别, ,ba 时时, ,得得到到球球体体的的体体积积为为334R . . 求圆求圆)0( )(222 ababyx绕绕x轴旋转轴旋转而成的旋转体体积而成的旋转体体积. 例例3 3 解解 aaxxabVd)(222
11、 axxab022d8 .222ba aaxxabd)(222 xy利用圆面积利用圆面积 类类似似地地, 如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线 )(yx 、直直线线cy 、dy 及及y轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕y轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为 dcyyyVd)(2 x y)(yx cdox ydc求求由由抛抛物物线线22xy , ,直直线线1 x及及x轴轴所所围围图图形形, ,绕绕x轴轴及及y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积. . 例例4 4 解解 1022d)2(xxVx .54 202d221yyVy . 下面再补充介绍一个方法
12、下面再补充介绍一个方法.d22102 xxxVy上例上例:ox yab)(xfy 套筒法套筒法: :由由平平面面图图形形)(0,0 xfybxa 绕绕y轴轴旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体的的体体积积为为 bayxxxfVd)(2 求由摆线求由摆线 )cos1()sin(tayttax一拱一拱)20( t绕绕x轴及轴及y轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积. . 解解 axxxyV 202d)(.532a a 2a )(xy例例5 5 绕绕 x 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积 2022d)cos1()cos1(ttata 2033d)cos1(tta 2063d2sin8tta
13、2063dsin32 xxa2214365323 ayyxyyxVaayd)(d)(22022012 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 0222dsin)sin()(ttatta 2023dsin)sin(tttta.633a 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积: :可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y 轴旋转构成旋转体轴旋转构成旋转体的体积之差的体积之差. 最最高高点点对对应应 t, , oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 绕绕 y 轴旋转的旋转体体积轴旋转的旋转体体积: :可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕
14、 y 轴旋转构成旋转体轴旋转构成旋转体的体积之差的体积之差. 或用或用“套筒套筒法法”: ayxxyV 20d2 20d)cos1()cos1()sin(2ttatatta 2023d)cos1)(sin(2xttta.633a .d)( baxxAV2. 2. 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积一一个个立立体体, ,夹夹在在平平面面ax 和和bx 之之间间, ,被被垂垂直直于于x轴轴的的平平面面所所截截的的截截面面积积为为)(xA, ,则则该该立立体体的的体体积积为为 xx x+dxA(x)ab一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中的圆柱体的底圆中心
15、心, 并与底面交成角并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所计算这平面截圆柱体所得立体的体积得立体的体积. RR xyo解解 建立坐标系如图建立坐标系如图,x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 所以立体体积所以立体体积xxRVRRdtan)(2122 .tan323 R 例例6 6 垂直于垂直于 x 轴的截面为直角轴的截面为直角三角形三角形, , xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110三、平面曲线弧长三、平面曲线弧长，记记iiniMM11max ，存在存在若若 niiiM
16、M110lim 并依次连接相邻分点得一内接折线，并依次连接相邻分点得一内接折线， 则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧AB的的弧长弧长. 此时称弧为此时称弧为可求可求长的长的.若曲线段若曲线段l的方程是的方程是)(xfy , ,bxa , ,且且)(xf 连续连续, ,则弧长为则弧长为 设设曲曲线线段段l的的方方程程为为)(),(tyytxx , , t, ,并并设设)(),(tytx 连连续续, ,则则l是是可可求求长长的的, ,且且弧弧长长为为 定理定理( (弧长公式弧长公式) ) .d)()(22 ttytxs证证在第三章在第三章“导数的应用导数的应用”中弧微分一节中弧微分一节知知, ,
17、 ，tyxyxsttd)(d)d(d2222 即得证即得证. . 推论推论1 1 .d)(12 baxxfs若若曲曲线线段段l的的方方程程是是极极坐坐标标形形式式)( , , , ,且且)( 连连续续可可导导, ,则则弧弧长长为为 ， ttytxsd)()(22.d)(12 baxxfs推论推论2 2 .d22 s证证， sincosyx， sincosdd x， cossindd y.)dd()dd( 2222 yx解解例例1 1 计计算算悬悬链链线线cxcych 介介于于,bb 的的一一段段弧弧的的弧弧长长. . ，cxysh ，cxcxychsh1122 bbxcxsdchbcxc0sh
18、2 .sh2cbc 例例2 2 求求2xy 在在10 x的的一一段段弧弧长长. . 解解 ， 102d41xxs，令令txtan2 2arctan02dsec21sec ttts则则. )25ln(21 例例3 3 求求星星形形线线)20( sincos33 ttaytax的的周周长长. . 解解 2/022d4 tyxs 2/0dcossin34 ttta 2/0)ind(sin12 tsta.6)(sin62/02ata 例例4 4 解解 求求阿阿基基米米德德螺螺线线 a 第第一一圈圈)20( 的弧长的弧长. . 2022ds 20222daa 202d1a.)412ln(412222 a练习：练习：P279 习题习题6-21. 2.(1)(3) 3. 5.(1)(2) 6. 7. 8.(1)12. 13. 14. 15.(1)(3) 18. 20.22. 26. 28. 30.
