1、 第三章：单自由度体系单自由度体系 主要内容主要内容 单自由度体系的自由振动反应单自由度体系的自由振动反应 单自由度体系简谐荷载的反应单自由度体系简谐荷载的反应 单自由度体系周期荷载的反应单自由度体系周期荷载的反应 单自由度体系冲击荷载的反应单自由度体系冲击荷载的反应 单自由度体系任意荷载的反应单自由度体系任意荷载的反应 振动的能量振动的能量 结构振动试验结构振动试验 地震反应分析地震反应分析单自由度体系：单自由度体系：动力自由度数为一个的动力系统动力自由度数为一个的动力系统 分析单自由度体系的分析单自由度体系的意义：意义： 第一、具有一般动力系统的基本特征第一、具有一般动力系统的基本特征 第
2、二，很多实际动力问题直接为单自由度体系。第二，很多实际动力问题直接为单自由度体系。 第三，是多自由度体系分析的基础。第三，是多自由度体系分析的基础。图图3.1 单自由度体系单自由度体系3.1 3.1 自由振动反应自由振动反应 自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后， 不再受任何外力影响的振动过程。 即运动方程：无阻尼自由振动：不考虑阻尼无阻尼自由振动：不考虑阻尼有阻尼自由振动：考虑阻尼有阻尼自由振动：考虑阻尼( )P t0( )( )( )0mu tcu tku t3.1.1 3.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 运动方程（无阻尼）初始条件： 0 kuum )0(),0(00uuuutt3
3、.1.1 无阻尼自由振动 设无阻尼自由振动解的形式为： 其中：s 为待定系数； A 为常数系数方程：两个虚根： stAetu)(0kuum 0)(2stAekmsnnisis21,mkin，122/nmks3.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 运动方程的通解为运动方程的通解为 指数函数与三角函数的关系：运动方程的解：A，B待定常数，由初始条件确定。stAetu)(nnisis21,tititstsnneAeAeAeAtu212121)(xixexixeixixsincossincostBtAtunnsincos)(3.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 将位移 和速度初始条件代入：得待定
4、常数为：tBtAtunnsincos)(tBtAtunnnncossin)(BuuAuuntt)0()0(00nuBuA)0(),0(3.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 体系无阻尼自由振动的解 其中无阻尼振动是一个简谐运动（Simple harmonic motion） n自振频率。 tututunnnsin)0(cos)0()(mkn3.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 图3.1 无阻尼体系的自由振动 22)0()0()(maxnmuutuunnT23.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期 自振频率：Natural frequency (of vibrati
5、on) 自振周期：Natural Period (of vibration) 结构的重要动力特性 3.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 结构自振频率和自振周期及其关系 自振圆频率： (单位：弧度/秒, rad/s)自振周期： (单位：秒, sec)自振频率： (单位：周/秒, 赫兹, Hz)mknnnT22nnf 1.（国家一级注册结构师试题）国家一级注册结构师试题）图示三个单跨梁的自图示三个单跨梁的自振频率振频率之间关系之间关系分别为分别为:aamEIEImEIaEIa(a)(b)mEIaEIa(c) A. ac b B. ab c C. ba c D. c a bA例题例题lmDEA=
6、EI=EIEIACBll2. 图图a所示刚架不计分布质量，则其自振频率为：所示刚架不计分布质量，则其自振频率为： 3712mlEIA.31112mlEIB.C.33mlEID.3710mlEI解解: :此结构相当于图此结构相当于图b。mACB（b b）（a a）3.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 运动方程：初始条件： )0(),0(00uuuutt0)()()(tkutuctum 3.2 有阻尼自由振动 令 ，代入运动方程 得： 222 , 1)2(2nmcmcsmkn0)()()(tkutuctum stAetu)(3.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 当 体系不发生往复的振动当
7、体系产生往复的振动使 成立的阻尼c称为临界阻尼 临界阻尼记为ccr： 0)2(22nmc222 , 1)2(2nmcmcs0)2(22nmc0)2(22nmckmmcncr22stAetu)(3.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 临界阻尼和阻尼比定义 1 临界阻尼：体系自由振动反应中不出现振荡所需的最小阻尼值。 临界阻尼完全由结构的刚度和质量决定的常数。2 阻尼比：阻尼系数c和临界阻尼ccr的比值， 用表示 kmmcncr22ncrmccc23.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 （1）当当 时，时，1， 称为称为低阻尼低阻尼（Under damped），）， 结构体系称为低阻尼体系；结
8、构体系称为低阻尼体系；（2）当）当 时，时，1， 称为称为临界阻尼临界阻尼（Critically damped），），（3）当）当 时，时，1， 称为称为过阻尼过阻尼（Over damped），）， 结构体系称为过阻尼体系。结构体系称为过阻尼体系。 对于钢结构：对于钢结构： 钢筋混凝土结构：钢筋混凝土结构： 减震结构：减震结构：左右02. 0左右05. 0crcccrcccrcc0.10 0.203.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线低阻尼、临界阻尼和高阻尼体系的自由振动曲线 3.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 3.低阻尼体系（Underda
9、mped Systems） 将：代入： 得： 低阻尼体系满足初始条件的自由振动解：D阻尼体系的自振频率 nmc222 , 11nnis222 , 1)2(2nmcmcssin)0()0(cos)0()(tuutuetuDDnDtn3.4图不同阻尼比对自由振动运动过程的影响3.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 3.3.低阻尼体系低阻尼体系 D阻尼体系的自振频率 TD阻尼体系的自振周期 n和和Tn分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期分别为无阻尼体系的自振频率和自振周期(1) 阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小阻尼的存在使体系自由振动的自振频率变小(2) 阻尼的存在使体系的自振周期变长，阻尼
10、的存在使体系的自振周期变长，当当1时，自振周期时，自振周期TD= 21nD22112nnDTT3.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 3.低阻尼体系现场实测：D 和 TD理论计算：n 和 Tn工程中结构的阻尼比在15%之间，一般不超过20%，因此可以用无阻尼体系的结果代替有阻尼结果。21nD21nDTT图3.6 阻尼对自振频率和自振周期的影响DnDnTT3.1.2 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 4.超阻尼体系结构的阻尼大于临界阻尼，即结构的阻尼大于临界阻尼，即 ，阻尼比，阻尼比两个特征根为两个负实数两个特征根为两个负实数 crcc121,21nnnDs (0)(0)( )(sinh(0)co
11、sh)ntnDDDuuu tetut由于阻尼过大，系统的运动为按指数规律衰减的非周期运动由于阻尼过大，系统的运动为按指数规律衰减的非周期运动 例3.1 如图3.5所示为一单层建筑的计算简图。设横梁的刚度 ，屋盖系统和横梁重量以及柱子的部分重量可以认为集 中 在 横 梁 处 ， 设 总 重为 。为了确定水平振动时门架的动力特性，我们进行以下振动实验：在横梁处加一水平力 ，门架发生侧移 ；然后突然释放，使结构自由振动。求解相应的无阻尼体系的自振频率。若结构阻尼比为0.03，求解结构的自振频率、阻尼系数及自由振动反应表达式。 图3.5 单层建筑计算简图EI41 10mkg 98PkN00.5ucm3
12、42098 101.96 10/0.5 10PkkN musradmkn/2719.44101096. 147当当 ，自振频率，自振频率0.0321244.2719 1 0.0344.2520/Dnrad sDn阻尼系数阻尼系数22.6563 . /ncmN s m 自由振动反应自由振动反应1.3283(0)(0)( )(0)cossin5cos44.2520.15sin44.25210ntnDDDtuuu teuttettm3.1.3 阻尼及其测量阻尼及其测量 1.阻尼的形式粘性阻尼粘性阻尼复阻尼复阻尼摩擦阻尼摩擦阻尼( )( )DFtcu t ( )( )DFti ku t( )( )(
13、)Du tF tNu t 2.运动的衰减与阻尼比的测量结构的振动反应受阻尼比影响较大结构的振动反应受阻尼比影响较大( )sin()ntDu tCet)(sin)sin()(sin)sin()(1ttetttCetCeuunDtnDnDttnDtnnnn()1sin()sin()sin()sin()iitiD iD itttiDiDDiDuCettuCetTetT2DDT11DDTiTiueue2112lniiuu相邻振动峰值比仅与阻尼比有关相邻振动峰值比仅与阻尼比有关而与而与i i的取值无关的取值无关 22Dm 小阻尼比时小阻尼比时%50%5011. 02ln21JJ3.3.自由振动试验自由振
14、动试验实际中不能通过理论确定，必须通过试验确定。实际中不能通过理论确定，必须通过试验确定。理论：理论：试验：试验： 加速度传感器加速度传感器1ln2ii mumu1ln2ii mumu可以通过三角可以通过三角函数举例证实函数举例证实 结构及有关参数同例结构及有关参数同例3.13.1，若用，若用千斤顶使产生侧移千斤顶使产生侧移20mm20mm，然后，然后突然放开，体系产生自由振动，突然放开，体系产生自由振动，振动振动4 4周后测得侧移为周后测得侧移为10mm10mm。试。试求：（求：（1 1）结构的阻尼比和阻尼）结构的阻尼比和阻尼系数；（系数；（2 2）振动）振动1010周后的振幅。周后的振幅。
15、 图3.5 单层建筑计算简图41.96 10/kkN m7220.00141.96 10mmTmkmTn3104880. 420276. 01020ln81ln24140uu34.4880 10220.0276 247.737624773.76ncmmmm0102020203.531uummee强迫振动：强迫振动：结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。( )F t F t R( )m( )1F t ( )cF t dy11kmstm静平衡位置dyym( )1F t ( )cF t dy11kmstm静平衡位置dyy设质点设质点m受干扰力受干扰力
16、F（t）作用，则质点）作用，则质点m的动力平衡方程为：的动力平衡方程为：1( )0RcFFFF t即：即：11( )myyk yF t或或212( )yyyF tm ( (14-18) ) 3-2 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力F(t)的特解的特解212( )yyyF tm ( (14-18) ) 通解通解012(cossin)tyeBtBt 特解特解 随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周期荷载时的情况，如随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简
17、谐周期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：力等，表达为：y( )sinF tFt(14-19) 其中其中 为干扰力的频率，为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式为干扰力最大值。此时式(14-18)写为：写为：22sinFyyytm ( (14-20) ) 设方程的特解为：设方程的特解为：12sincosyCtCt（b）（a）式式(b) 代入式代入式(14 -20)，得到，得到2212222222222222()()42()4FCmFCm 式式(a)+式式(b)
18、 ，并引入初始条件，得到，并引入初始条件，得到000222222222222222222cossin2() 2cossin()4 ()sin2cos()4ttyyyeyttFettmFttm (14-21)由初始条件决定的自由初始条件决定的自由振动由振动伴生自由振动伴生自由振动按干扰力频率按干扰力频率振动的纯强迫振动或稳态强迫振动振动的纯强迫振动或稳态强迫振动由初始条件决定的自由振动阶段和伴生自由振动阶段会随时间很快由初始条件决定的自由振动阶段和伴生自由振动阶段会随时间很快衰减掉，故称为过渡阶段；最后只剩下按干扰力频率振动的纯强迫衰减掉，故称为过渡阶段；最后只剩下按干扰力频率振动的纯强迫振动，
19、故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。振动，故称为平稳阶段。实际问题中，一般只讨论纯强迫振动。1. 1. 不考虑阻尼的纯强迫振动不考虑阻尼的纯强迫振动22 sin()Fytm 0(14-22)因此，最大动力位移（振幅）为因此，最大动力位移（振幅）为2222211221 ()11 =1stFFAmmFy(14-23)11 styF其中其中:代表将干扰力最大值代表将干扰力最大值F作为静载作用于结构上作为静载作用于结构上时引起的静力位移时引起的静力位移221 1stAy位移动力系数位移动力系数，代表最大动力位移与静力位移之比，代表最大动力位移与静力位移之比当当时，时，值为负，表示动力位移
20、与动力荷载的指向值为负，表示动力位移与动力荷载的指向相反相反, 这种现象仅在不计阻尼时出现。这种现象仅在不计阻尼时出现。o31240.511.523 动力反应谱（动力放大系数动力反应谱（动力放大系数随频比随频比/变化的关系曲线）变化的关系曲线）动力放大系数动力放大系数的大小反映了结构动力反的大小反映了结构动力反应的强弱。单自由度结构，当干扰力与应的强弱。单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是完全一样的。与内力动力系数是完全一样的。041. 1242525111当当 ，51 通常通常, ,当动力荷载当动力荷载(即干扰力即干扰力
21、)的的周期周期大于结构自振周期的大于结构自振周期的五、六倍五、六倍以上以上时，可将其时，可将其视为静力荷载视为静力荷载。 (1) 当当时，即时，即/0，这时这时1。这种情况相当于静力作用。这种情况相当于静力作用。321.510.54321o 动力反应谱动力反应谱 (2) 当当时，即时，即/1，这时这时。即振幅趋于无限大即振幅趋于无限大,这种现象称为这种现象称为共振共振。2) 实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。 t0y1) 共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。 注意注意: :3) 应
22、避开应避开0.75/ 时，即时，即/1，这时这时值为负值为负值值, ,并且趋近于零。并且趋近于零。 这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止 状态。状态。 工程设计中，要求的是振幅绝对值工程设计中，要求的是振幅绝对值, ,动力反应谱中动力反应谱中/1 1 部部分的分的画在横坐标的上方。画在横坐标的上方。注意注意: :在单自由度体系上，当干扰力作用在质量上、扰力作用线与质体的振在单自由度体系上，当干扰力作用在质量上、扰力作用线与质体的振动位移方向重合时，其位移动力系数与内力动力系数是完全相同的，动位移方向重合时，其位移动力系数与内力
23、动力系数是完全相同的，结构的最大动内力可以采用动力系数法求得。结构的最大动内力可以采用动力系数法求得。如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用建立动力建立动力微分方程的微分方程的方法计算。方法计算。 tFsinm解：在发电机重量作用下，梁中解：在发电机重量作用下，梁中 点的最大静力位移为：点的最大静力位移为：3st113925434835 10448210 10/8.8 102.53 10 mGlGEINmN mm33s
24、t9.81/62.3rad/s2.53 10gm sm故自振频率为故自振频率为例例14-2 简支梁中点装有一台电动机，电动机重量简支梁中点装有一台电动机，电动机重量G=35kN。已知梁的惯性矩。已知梁的惯性矩 I=8.810-5 m4， E=210GPa。发电机转动时离心力的垂直分力为。发电机转动时离心力的垂直分力为F=sint， 且且F=10KN。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为n=500r/min时，时，梁的最大弯矩和挠度。梁的最大弯矩和挠度。rml/Ft2l/22250052.3rad/s6060n干扰力频率干扰力频率:22113.452.31162.3
25、动力系数动力系数:梁中点的最大弯矩为梁中点的最大弯矩为max69GFstMMMKN m梁中点的最大挠度为梁中点的最大挠度为max4.98GFstyyymmstxmy静平衡位置 质体的动位移质体的动位移 y(t) 是以静力平衡位置为零是以静力平衡位置为零点来计算的，因此点来计算的，因此 y(t) 中不包括质体的重力影中不包括质体的重力影响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上这部分（这部分（st=11G）的影响。的影响。注意：注意：运用运用图乘法图乘法可求得可求得EIl48311EIl322EIl1622112 (a) (1) 设惯性力和动力荷载分别为单位
26、力和设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图. 例例14-3 图示简支梁跨中有一集中质量图示简支梁跨中有一集中质量m，支座支座A 处受动力矩处受动力矩Msint 的作用，的作用， 不计梁的质量，试求质点的动位移和支座不计梁的质量，试求质点的动位移和支座A 处的动转角的幅值。处的动转角的幅值。 解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。由建立体系的振动方程来求解。ml/MEIAB1411MMABABl/2l/212ml/MEIAB1411MMABABl/2l/
27、212tMymtMtFtysin)( sin)()(121112I11 lMMF311123248mlEI式中式中 代代ij入上式，经整理后得入上式，经整理后得tmFyysin2 (b)解式解式(b)得稳态解为得稳态解为tEIMltmFtysin16sin11)(2222(c)(2) 根据根据叠加原理叠加原理列出动位移列出动位移 质点的动位移是惯性力质点的动位移是惯性力FI(t) 和动力荷载共同作用下产生的，按叠和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为加原理可表示为这说明质体动位移尚可应用放大系数计算这说明质体动位移尚可应用放大系数计算。 质点的动位移幅值为质点的动位移幅值为 ，其中，其
28、中 为动荷载幅为动荷载幅值值M所引起的质点静位移所引起的质点静位移yst，动力系数。动力系数。EIMl162EIMl162 支座支座A处的动转角也是由惯性力处的动转角也是由惯性力FI(t)和动力荷载共同作用下产生和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为的，按叠加原理可表示为tMtymtMtFtAsin)(sin)()(222122I21 由稳态解式由稳态解式(c)可知可知tEIMltEIMltEIMLtAsin3sin)(1)(1671(3sin)11169(3)(222222对式对式(c)求导两次后代入上式，可得求导两次后代入上式，可得tMFtAsin)()(222221将式将式(a)
29、和和F *=3M/l代入上式代入上式, 得得tEIMltmFtysin16sin11)(2222(c) 可见可见, 质点位移的动力系数质点位移的动力系数和支座处动转角的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的。是不同的。tEIMltEIMltEIMLtAsin3sin)(1)(1671(3sin)11169(3)(222222)(1)(1671(22 支座支座A处的动转角幅值为处的动转角幅值为 , 为动荷载幅值为动荷载幅值M所引起的静转角，所引起的静转角，为该动力系数。为该动力系数。EIMl3EIMl3其中其中2211而而 动荷载不作用在质量上动荷载不作用在质量上时，体系不能用一个统时，体系不
30、能用一个统一的动力系数来表示。一的动力系数来表示。22222222()sin2cos()4Fyttm 由式由式(14-21)的第三项，有：的第三项，有：命命222222122142FAmtg （14-27）（14-28）令令 和和 ，则振幅，则振幅A可写为可写为22222114stFAym （14-29） st2Fym2. 有阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动 动力系数动力系数不仅与频不仅与频比比有关，而且还与阻尼有关，而且还与阻尼比比 有关。有关。 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图2222221
31、14 在在0.75时，则时，则很小，表明质量很小，表明质量m接近于不动或只作极微小的振动接近于不动或只作极微小的振动。 (1) 阻尼对简谐荷载的动力系数阻尼对简谐荷载的动力系数影响较大影响较大简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：12(2) 在在=1的共振情况下的共振情况下, 动力系数为动力系数为 2222114 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图 在考虑阻尼的影响时，在考虑阻尼的影响时，共振时动力系数不是无穷共振时动力系数不是无穷大大, 而是一个有限值
32、。在研而是一个有限值。在研究共振时的动力反应时，究共振时的动力反应时，阻尼的影响是不容忽略的。阻尼的影响是不容忽略的。 用求极值的方法确定用求极值的方法确定的最大值发生在的最大值发生在 处处, 因因的值通常都很小，近似地将的值通常都很小，近似地将=1时的值作为最大值。时的值作为最大值。221(3) 最大值并不发生在最大值并不发生在=1处。处。2222114 0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图当当1时，时，01时，时，/ /2；当当=1时，时， =/2。 (4) 阻尼体系的位移阻尼体系的位移y(t
33、)=Asin(t-)和干扰力和干扰力F(t)=sint 不同步，不同步， 其相位角为其相位角为。1122222tantan1 只要有阻尼存在只要有阻尼存在, 位移总是滞后于振动荷载。位移总是滞后于振动荷载。共振时共振时, =/2, 位移方程式为位移方程式为 y(t)= ystcos st tytysinst tFtymtymtyctFsinsinsin212st2stD= 1/(2)，=，c=cc=2m阻尼力为阻尼力为注意到共振时注意到共振时可见共振时干扰力与阻尼力互相平衡。可见共振时干扰力与阻尼力互相平衡。共振时受力特点讨论共振时受力特点讨论: 为了减小动力放大系数为了减小动力放大系数， 当
34、当 =/ 1时称时称为为(共振后区共振后区) ，这时，应设法减小结构的自振频，这时，应设法减小结构的自振频率率。这种方法称为这种方法称为“柔性方案柔性方案”。0.51.01.52.03.04.01.02.0=0=0.2=0.5=10动力系数动力系数与频比与频比和阻尼比和阻尼比的关系图的关系图讨论：讨论：采用冲量方法首先讨论瞬时冲量的动力反应，在此基础上讨采用冲量方法首先讨论瞬时冲量的动力反应，在此基础上讨论一般动力荷载下的动力反应。论一般动力荷载下的动力反应。1. 强迫力为一般动力荷载强迫力为一般动力荷载-无阻尼无阻尼(1) 瞬时冲量的动力反应瞬时冲量的动力反应F tF(t)S冲量Ft o=t
35、假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。由于荷载作用时间极短，可以认由于荷载作用时间极短，可以认为在冲击荷载作用为在冲击荷载作用完毕的瞬间，完毕的瞬间，体系的位移仍为零。但冲击荷载体系的位移仍为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静止状态的有冲量，可以使处于静止状态的质点获得速度而引起自由振动。质点获得速度而引起自由振动。 思考：思考：体系在冲击荷载作用下获得的是位移体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？还是速度？ 根据动量定律，质点在瞬时冲量根据动量定律，质点在瞬时冲量F t 作用下作用下的动量变化为的动量变化为tFmvmv0mtFv由
36、于由于v0=0, 所以有所以有 原来初位移、初速度为零的体系原来初位移、初速度为零的体系, ,在冲击荷载作用在冲击荷载作用后的瞬间后的瞬间, ,变成了初位移为零变成了初位移为零, ,初速度为初速度为 的自由振的自由振动问题。动问题。mtFtvtytysincos)(00由由tmtFysin(14-30)得得F tF(t)S冲量Ft o=t 若冲击荷载不是在若冲击荷载不是在t0，而而是在是在t时作用，则上式中的时作用，则上式中的t 应改为应改为(t - )。)(t)(sintmtFy(14-31) t dS=F ttFodF(t) 由式由式(14-30)可得在可得在t 时作用瞬时冲量时作用瞬时冲
37、量S引起的动力反引起的动力反应。应。tmtFysin(14-30)oF (t)=StF (t)F(t)tddd(2)一般动力荷载一般动力荷载F(t)的动力反应。的动力反应。 把整个加载过程看成是由一把整个加载过程看成是由一系列瞬时冲量所组成的。在时刻系列瞬时冲量所组成的。在时刻t 作用的荷载为作用的荷载为F(t) ，此荷载此荷载在微分时段在微分时段 d内产生的冲量为内产生的冲量为dS=F(t)d 。根据式根据式(14-31)，此，此微分冲量引起的动力反应为：微分冲量引起的动力反应为：)(sind)(dtmtFy(g)对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：对加载过程中产生的微分反应
38、进行叠加，得出总反应如下：称为称为杜哈梅杜哈梅(Duhamel)积分积分。d)(sin)(1)(0ttFmtyt (14-32) d)(sin)(1sincos)(000ttFmtvtytyt(14-33) 式中第一、二项代表自由振动部分，第三项代式中第一、二项代表自由振动部分，第三项代表强迫振动部分。表强迫振动部分。d)(sin)(1)(0ttFmtyt(14-32)如果初始位移如果初始位移y0和初始速度和初始速度v0 不为零，则总位移应为：不为零，则总位移应为：2.几种动荷载的动力反应几种动荷载的动力反应 (1) 突加长期荷载突加长期荷载 o F(t)t0F 突加长期荷载就是指突然施突加长
39、期荷载就是指突然施加于结构并继续作用在结构上的加于结构并继续作用在结构上的荷载，它可表示为：荷载，它可表示为： 如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，将式（如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，将式（h）代入式代入式(9-32)并进行积分后，可得动力位移如下：并进行积分后，可得动力位移如下： 000)(0tFttF（h） (14-34) )cos1 ()cos1 (d)(sin1)(st2000tytmFtFmtytd)(sin)(1)(0ttFmtyt (14-32)当当t=T/2时，时，y(t)max=2yst，动力系数为动力系数为=2。yystT/2T2T/2t位移时程曲线图位移时程
40、曲线图 (14-34) )cos1 ()cos1 (d)(sin1)(st2000tytmFtFmtyt 式中式中 表示在静力荷载表示在静力荷载F0作用下所产作用下所产生的静力位移。生的静力位移。11020stFmFy 当突加荷载作用当突加荷载作用在系统上的时间超过在系统上的时间超过t=T/2 时就算作长期荷时就算作长期荷载载, 这时引起的最大动这时引起的最大动力位移为相应静力位力位移为相应静力位移的两倍。移的两倍。F(t)toF0t 1 其特点是当其特点是当t=0时，时，在质体上突然施加常在质体上突然施加常量荷裁量荷裁F0，而且一直而且一直保持不变，直到保持不变，直到t=t1时时突然卸去。突
41、然卸去。 (2) 突加短期荷载突加短期荷载 体系在这种荷载作用下的位移反应，可按两个阶体系在这种荷载作用下的位移反应，可按两个阶段分别计算再叠加。段分别计算再叠加。 第一阶段（第一阶段（0tt1）：）：此阶段与突加长期荷载相同，此阶段与突加长期荷载相同，因此动力位移反应仍按公式因此动力位移反应仍按公式(9-34)计算。计算。 荷载可以看作突加长期荷载荷载可以看作突加长期荷载F0 (图中坐标上方图中坐标上方实线及所续虚线部分实线及所续虚线部分)叠加上叠加上t=t1 时突加上来的负时突加上来的负长期荷载长期荷载(F0 )(图坐标下方虚线部分图坐标下方虚线部分)。)2(sin2sin2cos)(co
42、s)cos1)cos1 ()(1111tttytttyttytytystststst（(14-35)ot 1 tF(t)F 第二阶段第二阶段(tt1)：荷载可以看作突加长期荷载荷载可以看作突加长期荷载F0 (图中坐标上方实线所续虚线部分图中坐标上方实线所续虚线部分)叠加上叠加上t=t1 时的负突时的负突加长期荷载加长期荷载(-F0) (图图9中坐标下方虚线部分中坐标下方虚线部分)。当。当tt1时，时，有有)cos1 ()(sttyty 第一阶段（第一阶段（0tt1）与与突加长期荷载相同，动力位突加长期荷载相同，动力位移反应为移反应为tot1冲击荷载FF (t)11st1st12001sin21
43、2cos1)sin(1cos1 )sin(1)cos1(d)(sin)1 (1)(ttTttTTtyttttyttttmFttFmtyt 质点位移反应可分为两个阶段按式（质点位移反应可分为两个阶段按式（14-3314-33）积分求得。）积分求得。(3) 爆炸冲击荷载爆炸冲击荷载变化规律为变化规律为第一阶段第一阶段（0tt1）ttttttFtF0)1 ()(110tots冲 击 荷 载FF (t)(14-37) )(2cos)(2sin)(2)sin(21cos)(sinsin1d)(sin)1 (1)(11st11st01tttttytttttyttFmtyt 第二阶段（第二阶段（t t1）
44、当当(t1T)0.4时时，最大位移反应在第一阶段出现，最大位移反应在第一阶段出现，否则就出现在第二阶段出。否则就出现在第二阶段出。 从前面几种动力荷载作用下单自由度体系的位移从前面几种动力荷载作用下单自由度体系的位移反应可反应可知，最大位移反应与知，最大位移反应与与与t1T有关有关。 最大位移反应可用速度为零（即位移的导数）这最大位移反应可用速度为零（即位移的导数）这个条件下的时间值来计算。个条件下的时间值来计算。3. . 当强迫力为一般动力荷载情况当强迫力为一般动力荷载情况-有阻尼有阻尼有阻尼体系在一般动力荷载有阻尼体系在一般动力荷载 F(t) 作用时，其动作用时，其动力位移也可表示为杜哈梅
45、积分。力位移也可表示为杜哈梅积分。由于冲量由于冲量S=mv0 ，故在初始时刻由冲量故在初始时刻由冲量S 引起的振动为引起的振动为 tmSeytsin （9-46）tveytsin0 单独由初始速度单独由初始速度v0(初始位移为零初始位移为零)所引起的振动为所引起的振动为 把一般动力荷载把一般动力荷载F 的加载过的加载过程看作是由无限多个瞬时冲量所程看作是由无限多个瞬时冲量所组成，对组成，对t =到到 t = +d的时间分的时间分段上的微分冲量段上的微分冲量dS=F()d来说，来说，它所引起的动位移为它所引起的动位移为 dsind temFyt(t ) oF (t)=StF (t)F(t)tdd
46、dtmSeytsin 积分后即得开始处于静止状态的单自由度体积分后即得开始处于静止状态的单自由度体系有阻尼的受迫振动方程为系有阻尼的受迫振动方程为 dsin)(1)(0tetFmtytt(14-47)3.4 频域分析法基本思路 步骤1：将周期荷载展开成Fourier级数,求Fourier级数的各项系数 步骤2：频率响应系数 Hn,计算不同 n 下的系数 步骤3：频域响应转换到时域响应,求各模态叠加结果 由于由于问题问题的复杂性的复杂性, ,为了为了确定确定地震作用地震作用, ,必须对地必须对地震作用的影响因素进行归纳，从而对问题做出适当震作用的影响因素进行归纳，从而对问题做出适当的的简化简化。
47、 地震地面运动是多维的，地震地面运动是多维的，但经验表明地震的水平运但经验表明地震的水平运动是导致结构破坏的主要因素动是导致结构破坏的主要因素。因此，要求抗震结。因此，要求抗震结构必须具有一定的抗侧力的强度、刚度、延性和耗构必须具有一定的抗侧力的强度、刚度、延性和耗能能力。能能力。在震中区、高烈度区的地震的竖向运动影响也较为在震中区、高烈度区的地震的竖向运动影响也较为显著，所以对一些大跨结构、高耸悬臂结构和靠自显著，所以对一些大跨结构、高耸悬臂结构和靠自重平衡的结构，我国规定要考虑竖向地震作用。重平衡的结构，我国规定要考虑竖向地震作用。由于问题的复杂性，地震作用理论的研究经历了由于问题的复杂性
48、，地震作用理论的研究经历了一个艰难的发展历程一个艰难的发展历程 1) 1) 静力理论静力理论 这是本世纪初日本大森房吉提出的这是本世纪初日本大森房吉提出的, ,为了简化他为了简化他把结构视作刚体把结构视作刚体. . kWygWF max,gP tatxg cos)( teatxniitigi 1sin)( 3) 3) 反应谱理论反应谱理论 以单自由度线性体系在实际地面运动作用下的反以单自由度线性体系在实际地面运动作用下的反应为基础应为基础, ,对结构进行分析的对结构进行分析的“拟静力理论拟静力理论”。我国。我国和许多国家的抗震设计规范都以这种理论为依据。和许多国家的抗震设计规范都以这种理论为依
49、据。4) 4) 时程分析理论时程分析理论 以体系运动方程为基础，用数值积分方法求体系以体系运动方程为基础，用数值积分方法求体系反应时间历程的反应时间历程的“动力理论动力理论”( (也称直接积分理论也称直接积分理论) )。随着电算技术的发展随着电算技术的发展, ,我国抗震设计规范已规定我国抗震设计规范已规定, ,对一对一些高层和大型重要建筑要用时程分析法进行补充计算，些高层和大型重要建筑要用时程分析法进行补充计算，今后还将得到更广泛的应用和发展。今后还将得到更广泛的应用和发展。5) 5) 其他理论其他理论 地震、脉动风荷载等都是随机荷载，因此可以用地震、脉动风荷载等都是随机荷载，因此可以用随机振
50、动理论来进行地震反应的统计特征分析。随机振动理论来进行地震反应的统计特征分析。 从地震时结构不破坏条件下所能吸收的能量来进从地震时结构不破坏条件下所能吸收的能量来进行设计。行设计。 但这些地震作用理论都还未被列入规范但这些地震作用理论都还未被列入规范, ,因此都因此都未能在抗震设计中普遍应用。未能在抗震设计中普遍应用。1sF)(gtymkyycym g2sFCFIFgyy)(22tyyyyg )(1gtyMYKYCYM )(1gtyYMYCY 地震作用反应谱理论基于三点假定地震作用反应谱理论基于三点假定： 结构物的地基为一刚性盘体，因此基础各结构物的地基为一刚性盘体，因此基础各点的运动完全一致
