1、 1 勾股定理勾股定理 一选择题一选择题 1 （2015菏泽）将一副直角三角尺如图放置，若AOD=20，则BOC 的大小为（ ） A 140 B 160 C 170 D 150 考点： 直角三角形的性质 分析： 利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出COA 的度数，即可得出答案 解答： 将一副直角三角尺如图放置，AOD=20，COA=9020=70， BOC=90+70=160故选：B 点评： 此题主要考查了直角三角形的性质，得出COA 的度数是解题关键 2（2015大连） 如图， 在 ABC 中， C=90， AC=2， 点 D 在 BC 上， ADC=2B， AD=， 则 BC 的长
2、为（ ） A 1 B +1 C 1 D +1 考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质 分析： 根据ADC=2B，ADC=B+BAD 判断出 DB=DA，根据勾股定理求出 DC 的长，从而求出 BC 的长 解答： ADC=2B，ADC=B+BAD，B=DAB，DB=DA=， 在 Rt ADC 中，DC=1；BC=+1故选 D 点评： 本题主要考查了勾股定理，同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题 3（2015黑龙江） ABC 中， AB=AC=5， BC=8， 点 P 是 BC 边上的动点， 过点 P 作 PDAB 于点 D，PEAC 于点 E，则 PD+PE 的长是（ ） A 4.8
3、 B 4.8 或 3.8 C 3.8 D 5 考点： 勾股定理；等腰三角形的性质 专题： 动点型 分析： 过 A 点作 AFBC 于 F，连结 AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可 得 AF 的长，由图形得 SABC=SABP+SACP，代入数值，解答出即可 解答：过 A 点作 AFBC 于 F，连结 AP， 2 ABC 中，AB=AC=5，BC=8，BF=4，ABF 中，AF=3， 83= 5PD+ 5PE，12= 5（PD+PE）PD+PE=4.8故选：A 点评： 本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积 转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想
4、4 （2015淄博）如图，在 Rt ABC 中，BAC=90，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， DE 是 BC 的垂直平分线，点 E 是垂足已知 DC=5，AD=3，则图中长为 4 的线段有（ ） A 4 条 B 3 条 C 2 条 D 1 条 考点： 勾股定理；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角形 分析： 利用线段垂直平分线的性质得出 BE=EC=4，再利用全等三角形的判定与性质得出 AB=BE=4，进而得出答案 解答： BAC=90，ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，DE 是 BC 的垂直平分线，点 E 是垂足， AD=DE=3，BE=EC，DC=5，AD=3，
5、BE=EC=4， 在 ABD 和 EBD 中， ABDEBD （AAS） ， AB=BE=4， 图中长为 4 的线段有 3 条故选：B 点评： 此题主要考查了勾股定理以及角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确 得出 BE=AB 是解题关键 5 （2015天水）如图，在四边形 ABCD 中，BAD=ADC=90，AB=AD=2，CD=， 点 P 在四边形 ABCD 的边上若点 P 到 BD 的距离为 ，则点 P 的个数为（ ） 3 A 2 B 3 C 4 D 5 考点： 等腰直角三角形；点到直线的距离 分析： 首先作出 AB、AD 边上的点 P（点 A）到 BD 的垂线段 AE，即点 P
6、 到 BD 的最长距 离，作出 BC、CD 的点 P（点 C）到 BD 的垂线段 CF，即点 P 到 BD 的最长距离，由已知 计算出 AE、CF 的长与 比较得出答案 解答： 过点 A 作 AEBD 于 E，过点 C 作 CFBD 于 F， BAD=ADC=90，AB=AD=2，CD=，ABD=ADB=45，CDF=90 ADB=45， sinABD=，AE=ABsinABD=2sin45=2=2 ， 所以在 AB 和 AD 边上有符合 P 到 BD 的距离为 的点 2 个，故选 A 点评： 本题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到 BD 的最大距离比较得出答案
7、6 （2015烟台）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，其面积标记为 S1，以 CD 为斜边作等腰 直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为 S2，按 照此规律继续下去，则 S2015的值为（ ） A （）2012 B （）2013 C （ ）2012 D （ ）2013 考点： 等腰直角三角形；正方形的性质 专题： 规律型 分析： 根据题意可知第 2 个正方形的边长是，则第 3 个正方形的边长是 ，进而可找出规律，第 n 个正方形的边长是，那么易求 S2015的值 4 解答： 根据题意：第一个正方形的边长为 2；第二个正方形的边长为：； 第三个正方形的边长为
8、：， 第 n 个正方形的边长是，所以 S2015的值是（ ）2012，故选 C 点评： 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理解题的关键是找出 第 n 个正方形的边长 7 （2015桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（ ） A 30，40，50 B 7，12，13 C 5，9，12 D 3，4，6 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个 是直角三角形判定则可如果有这种关系，这个就是直角三角形 解答： 解：A、302+402=502，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故 正确； B、72+12
9、2132，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； C、52+92122，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； D、32+4262，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选 A 点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边 的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而 作出判断 8 （2015淮安）下列四组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A a=1，b=2，c=3 B a=2，b=3，c=4 C a=2，b=4，c=5 D a=3，b=4，c=5 考点：
10、勾股定理的逆定理 分析： 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可 解答： 解：A、12+22=532，不能构成直角三角形，故本选项错误； B、22+32=1342，不能构成直角三角形，故本选项错误； C、22+42=2052，不能构成直角三角形，故本选项错误； D、32+42=25=52，能构成直角三角形，故本选项正确 故选 D 点评： 本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键 9 （2015广西）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A 1，2，3 B 2，3，4 C 4，5，6
11、 D 1， 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个 三角形是直角三角形判定则可 5 解答： 解：A、12+2232，不能组成直角三角形，故错误； B、22+3242，不能组成直角三角形，故错误； C、42+5262，不能组成直角三角形，故错误； D、12+（）2=（）2，能够组成直角三角形，故正确 故选 D 点评： 本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边 的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而 作出判断 10 （2015毕节市）下列各组数据中的三个数作
12、为三角形的边长，其中能构成直角三角形的 是（ ） A ， B 1， C 6，7，8 D 2，3，4 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等， 则三角形为直角三角形；否则不是 解答： 解：A、 （）2+（）2（）2，不能构成直角三角形，故错误； B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确； C、62+7282，不能构成直角三角形，故错误； D、22+3242，不能构成直角三角形，故错误 故选：B 点评： 本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三 边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可 1
13、1 （2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为 12cm，底面周长 为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁， 且离容器上沿 3cm 的点 A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） A 13cm B 2cm C cm D 2cm 考点： 平面展开-最短路径问题 分析： 将容器侧面展开，建立 A 关于 EF 的对称点 A，根据两点之间线段最短可知 AB 的 长度即为所求 解答： 解：如图： 高为 12cm，底面周长为 10cm，在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿
14、3cm 与饭粒相对的点 A 处， AD=5cm，BD=123+AE=12cm， 6 将容器侧面展开，作 A 关于 EF 的对称点 A， 连接 AB，则 AB 即为最短距离， AB= = =13（Cm） 故选：A 点评： 本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股 定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 二填空题二填空题 12 （2015南昌）如图，在 ABC 中，AB=BC=4，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点， AOC=60，则当 PAB 为直角三角形时，AP 的长为 2或 2或 2 考点： 勾股定理；含 30 度角的直角三角形；直角三角
15、形斜边上的中线 专题： 分类讨论 分析： 利用分类讨论，当APB=90时，易得PAB=30，利用锐角三角函数得 AP 的长； 当ABP=90时，分两种情况讨论，情况一：如图 2 易得 BP，利用勾股定理可得 AP 的长； 情况二：如图 3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出结论 解答： 解：当APB=90时（如图 1） ， AO=BO， PO=BO， AOC=60， BOP=60， BOP 为等边三角形， AB=BC=4， 7 AP=ABsin60=4=2； 当ABP=90时，情况一： （如图 2） ， AOC=BOP=60， BPO=30， BP=2， 在直角三角形 ABP 中， A
16、P=2， 情况二：如图 3，AO=BO，APB=90， PO=AO， AOC=60， AOP 为等边三角形， AP=AO=2， 故答案为：2或 2或 2 点评： 本题主要考查了勾股定理，含 30直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分 类讨论，数形结合是解答此题的关键 8 13 （2015黑龙江）正方形 ABCD 的边长是 4，点 P 是 AD 边的中点，点 E 是正方形边上 的一点若 PBE 是等腰三角形，则腰长为 2，或 ，或 考点： 勾股定理；等腰三角形的判定；正方形的性质 专题： 分类讨论 分析： 分情况讨论： （1）当 BP=BE 时，由正方形的性质得出 AB=BC=CD=AD=4
17、， A=C=D=90，根据勾股定理求出 BP 即可； （2）当 BE=PE 时，E 在 BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点 E；由题 意得出 BM= BP=， 证明 BMEBAP， 得出比例式， 即可求出 BE； 设 CE=x， 则 DE=4x，根据勾股定理得出方程求出 CE，再由勾股定理求出 BE 即可 解答： 解：分情况讨论： （1）当 BP=BE 时，如图 1 所示： 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD=4，A=C=D=90， P 是 AD 的中点， AP=DP=2， 根据勾股定理得：BP=2； （2）当 BE=PE 时，E 在 BP 的垂直平分线上，与
18、正方形的边交于两点，即为点 E； 当 E 在 AB 上时，如图 2 所示： 则 BM= BP=， BME=A=90，MEB=ABP， BMEBAP， ，即， BE= ；当 E 在 CD 上时，如图 3 所示： 设 CE=x，则 DE=4x， 根据勾股定理得：BE2=BC2+CE2，PE2=DP2+DE2， 42+x2=22+（4x）2， 解得：x= ， CE= ， BE=； 综上所述：腰长为：2，或 ，或； 故答案为：2，或 ，或 9 点评： 本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质， 并能进行推理计算是解决问题的关键 14 （2015苏州）如图，四边形 ABC
19、D 为矩形，过点 D 作对角线 BD 的垂线，交 BC 的延 长线于点 E，取 BE 的中点 F，连接 DF，DF=4设 AB=x，AD=y，则 x2+（y4）2的值为 16 考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线；矩形的性质 分析： 根据矩形的性质得到 CD=AB=x，BC=AD=y，然后利用直角 BDE 的斜边上的中线 等于斜边的一半得到：BF=DF=EF=4，则在直角 DCF 中，利用勾股定理求得 x2+（y4）2=DF2 解答： 解：四边形 ABCD 是矩形，AB=x，AD=y， CD=AB=x，BC=AD=y，BCD=90 又BDDE，点 F 是 BE 的中点，DF=4， BF=D
20、F=EF=4 CF=4BC=4y 在直角 DCF 中，DC2+CF2=DF2，即 x2+（4y）2=42=16， x2+（y4）2=x2+（4y）2=16 故答案是：16 点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线以及矩形的性质根据“直角 BDE 的斜边上的中线等于斜边的一半”求得 BF 的长度是解题的突破口 15 （2015通辽）如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点 在矩形的边上） ，则剪下的等腰三角形的面积为 8cm2或 2cm2或 2cm2 10 考点： 勾股
21、定理；等腰三角形的判定；矩形的性质 专题： 分类讨论 分析： 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： （1） AEF 为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可； （2）先利用勾股定理求出 AE 边上的高 BF，再代入面积公式求解； （3）先求出 AE 边上的高 DF，再代入面积公式求解 解答： 解：分三种情况计算： （1）当 AE=AF=4 时，如图： S AEF= AEAF= 44=8（cm2） ； （2）当 AE=EF=4 时，如图： 则 BE=54=1， BF=， S AEF= AEBF= 4=2（cm2） ； （3）当 AE=EF=4 时，如图： 则 DE=74=3，
22、 DF=， S AEF= AEDF= 4=2（cm2） ； 故答案为：8 或 2或 2 点评： 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不 确定分情况讨论，有一定的难度 11 16 （2015黄冈）在 ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为 12cm，则 ABC 的面积为 126 或 66 cm2 考点： 勾股定理 分析： 此题分两种情况：B 为锐角或B 为钝角已知 AB、AC 的值，利用勾股定理即可 求出 BC 的长，利用三角形的面积公式得结果 解答： 解：当B 为锐角时（如图 1） ， 在 Rt ABD 中， BD=5cm， 在 Rt A
23、DC 中， CD=16cm， BC=21， S ABC= 2112=126cm2； 当B 为钝角时（如图 2） ， 在 Rt ABD 中， BD=5cm， 在 Rt ADC 中， CD=16cm， BC=CDBD=165=11cm， S ABC= 1112=66cm2， 故答案为：126 或 66 点评： 本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的 关键 17 （2015哈尔滨）如图，点 D 在 ABC 的边 BC 上，C+BAD=DAC，tanBAD= ， AD=，CD=13，则线段 AC 的长为 4 12 考点： 勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性
24、质；解直角三角形 分析： 作DAE=BAD 交 BC 于 E，作 AFBC 交 BC 于 F，作 AGBC 交 BC 于 G根 据三角函数设 DF=4x， 则 AF=7x， 在 Rt ADF 中， 根据勾股定理得到 DF=4， AF=7， 设 EF=y， 则 CE=7+y，则 DE=6y，在 Rt DEF 中，根据勾股定理得到 DE=，AE=，设 DG=z， 则 EG=z，则（）2z2=（）2（z）2，依此可得 CG=12，在 Rt ADG 中，据勾股定理得到 AG=8，在 Rt ACG 中，据勾股定理得到 AC=4 解答： 解： 作DAE=BAD 交 BC 于 E， 作 DFAE 交 AE
25、于 F， 作 AGBC 交 BC 于 G C+BAD=DAC， CAE=ACB， AE=EC， tanBAD= ， 设 DF=4x，则 AF=7x， 在 Rt ADF 中，AD2=DF2+AF2，即（）2=（4x）2+（7x）2， 解得 x1=1（不合题意舍去） ，x2=1， DF=4，AF=7， 设 EF=y，则 CE=7+y，则 DE=6y， 在 Rt DEF 中，DE2=DF2+EF2，即（6y）2=42+y2， 解得 y= ， DE=6y=，AE=， 设 DG=z，则 EG=z，则 （）2z2=（）2（z）2， 解得 z=1， CG=12， 在 Rt ADG 中，AG=8， 在 Rt
26、ACG 中，AC=4 故答案为：4 点评： 考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾 股定理得到 AG 和 CG 的长 13 18 （2015遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为 “赵爽弦图”（如图（1） ） 图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成， 记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S3若正方形 EFGH 的边长为 2，则 S1+S2+S3= 12 考点： 勾股定理的证明 分析： 根据八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形，得
27、出 CG=NG， CF=DG=NF， 再根据 S1= （CG+DG） 2， S2=GF2， S3= （NGNF）2， S1+S2+S3=12 得出 3GF2=12 解答： 解：八个直角三角形全等，四边形 ABCD，EFGH，MNKT 是正方形， CG=NG，CF=DG=NF， S1=（CG+DG）2 =CG2+DG2+2CGDG =GF2+2CGDG， S2=GF2， S3=（NGNF）2=NG2+NF22NGNF， S1+S2+S3=GF2+2CGDG+GF2+NG2+NF22NGNF=3GF2=12， 故答案是：12 点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全
28、等三角形 的性质，根据已知得出 S1+S2+S3=3GF2=12 是解题的难点 19 （2015株洲）如图是“赵爽弦图”， ABH、 BCG、 CDF 和 DAE 是四个全等的直 角三角形，四边形 ABCD 和 EFGH 都是正方形如果 AB=10，EF=2，那么 AH 等于 6 考点： 勾股定理的证明 分析： 根据面积的差得出 a+b 的值，再利用 ab=2，解得 a，b 的值代入即可 解答： 解：AB=10，EF=2， 大正方形的面积是 100，小正方形的面积是 4， 四个直角三角形面积和为 1004=96，设 AE 为 a，DE 为 b，即 4 ab=96， 14 2ab=96，a2+b
29、2=100， （a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196， a+b=14， ab=2， 解得：a=8，b=6， AE=8，DE=6， AH=82=6 故答案为：6 点评： 此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得 ab 的值 20 （2015淄博）如图，等腰直角三角形 BDC 的顶点 D 在等边三角形 ABC 的内部， BDC=90，连接 AD，过点 D 作一条直线将 ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的 这两个等腰三角形的顶角分别是 120，150 度 考点： 等腰直角三角形；等腰三角形的性质；等边三角形的性质 分析： 根据等边三角形和等腰直角三角形的
30、性质得出ABD=15，利用全等三角形的判定 和性质得出BAD=30，再利用等腰三角形解答即可 解答： 解：等腰直角三角形 BDC 的顶点 D 在等边三角形 ABC 的内部，BDC=90， ABD=ABCDBC=6045=15， 在 ABD 与 ACD 中， ， ABDACD（SAS） ， BAD=CAD=30， 过点 D 作一条直线将 ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶 角分别是 1801515=150；1803030=120， 故答案为：120，150 点评： 此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得出 ABD=15 21 （2015山
31、西）太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位公 共自行车车桩的截面示意图如图所示，ABAD，ADDC，点 B，C 在 EF 上，EFHG， EHHG， AB=80cm， AD=24cm， BC=25cm， EH=4cm， 则点 A 到地面的距离是 cm 15 考点： 勾股定理的应用 分析： 分别过点 A 作 AMBF 于点 M，过点 F 作 FNAB 于点 N，利用勾股定理得出 BN 的长，再利用相似三角形的判定与性质得出即可 解答： 解：过点 A 作 AMBF 于点 M，过点 F 作 FNAB 于点 N， AD=24cm，则 BF=24cm， BN=7（cm） ， AMB
32、=FNB=90，ABM=FBN， BNFBMA， =， =， 则：AM=， 故点 A 到地面的距离是：+4=（m） 故答案为： 点评： 此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，得出 BNFBMA 是解题关键 22 （2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于 坐标原点 O， 古塔位于点 A （400， 300） ， 从古塔出发沿射线 OA 方向前行 300m 是盆景园 B， 从盆景园 B 向左转 90后直行 400m 到达梅花阁 C，则点 C 的坐标是 （400，800） 16 考点： 勾股定理的应用；坐标确定位置；全等三角形的应用 分析：
33、根据题意结合全等三角形的判定与性质得出 AODACB（SAS） ，进而得出 C， A，D 也在一条直线上，求出 CD 的长即可得出 C 点坐标 解答： 解：连接 AC， 由题意可得：AB=300m，BC=400m， 在 AOD 和 ACB 中 ， AODACB（SAS） ， CAB=OAD， B、O 在一条直线上， C，A，D 也在一条直线上， AC=AO=500m，则 CD=AC=AD=800m， C 点坐标为： （400，800） 故答案为： （400，800） 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出 C，A，D 也在一条 直线上是解题关键 23 （2015厦门）已
34、知 A，B，C 三地位置如图所示，C=90，A，C 两地的距离是 4km， B，C 两地的距离是 3km，则 A，B 两地的距离是 5 km；若 A 地在 C 地的正东方向，则 B 地在 C 地的 正北 方向 17 考点： 勾股定理的应用；方向角 分析： 根据勾股定理来求 AB 的长度由于C=90，A 地在 C 地的正东方向，则 B 地在 C 地的正北方向 解答： 解：C=90，A，C 两地的距离是 4km，B，C 两地的距离是 3km， AB=5（km） 又A 地在 C 地的正东方向，则 B 地在 C 地的 正北方向 故答案是：5；正北 点评： 本题考查了勾股定理的应用和方向角勾股定理在实际
35、问题中的应用：运用勾股定 理的数学模型解决现实世界的实际问题 24 （2015朝阳） 如图， 是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌， 经测量得到如下数据： AM=4 米，AB=8 米，MAD=45，MBC=30，则警示牌的高 CD 为 2.9 米（结果精 确到 0.1 米，参考数据：=1.41，=1.73） 考点： 勾股定理的应用 分析： 首先根据等腰直角三角形的性质可得DM=AM=4m， 再根据勾股定理可得 MC2+MB2= （2MC）2，代入数可得答案 解答： 解：由题意可得：AM=4 米，MAD=45， DM=4m， AM=4 米，AB=8 米， MB=12 米， MBC=30， BC
36、=2MC， MC2+MB2=（2MC）2， MC2+122=（2MC）2， MC=442.9（米） ， 故答案为：2.9 点评： 此题主要考查了勾股定理得应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等 于斜边的平方 18 25 （2015东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经过 3 个面爬 到点 B，如果它运动的路径是最短的，则 AC 的长为 考点： 平面展开-最短路径问题 专题： 计算题 分析： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时 AB 最短， 根据三角形 MCB 与三角形 ACN 相似，由相似得比例得到 MC=2NC，求出 CN 的
37、长，利用 勾股定理求出 AC 的长即可 解答： 解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图 所示，此时 AB 最短， BCMACN， =，即 =2，即 MC=2NC， CN= MN= ， 在 Rt ACN 中，根据勾股定理得：AC=， 故答案为： 点评： 此题考查了平面展开最短路径问题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质， 勾股定理，熟练求出 CN 的长是解本题的关键 26 （2015庆阳）在底面直径为 2cm，高为 3cm 的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从 A 至 C 按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm （结果保留 ） 19 考点： 平面展开-
38、最短路径问题 分析： 根据绕两圈到 C，则展开后相当于求出直角三角形 ACB 的斜边长，并且 AB 的长为 圆柱的底面圆的周长，BC 的长为圆柱的高，根据勾股定理求出即可 解答： 解：如图所示， 无弹性的丝带从 A 至 C， 展开后 AB=2cm，BC=3cm， 由勾股定理得：AC=cm 故答案为： 点评： 本题考查了平面展开最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题 的关键，用了数形结合思想 三解答题三解答题 27 （2015牡丹江）在 ABC 中，AB=AC=4，BAC=30，以 AC 为一边作等边 ACD， 连接 BD请画出图形，并直接写出 BCD 的面积 考点： 勾股定理；等
39、腰三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 专题： 分类讨论 分析： 根据题意画出图形，进而利用勾股定理以及锐角三角函数关系求出 BC 的长，进而 求出答案 解答： 解：如图所示：过点 D 作 DEBC 延长线于点 E， AB=AC=4，BAC=30，以 AC 为一边作等边 ACD， BAD=90，ABC=ACB=75，AB=AD=DC=4， ABD=ADB=45，DBE=30，DCE=45， DB=4，则 DE=EC=2，BE=BDcos30=2， 则 BC=BEEC=22， 则 BCD 的面积为： 2（22）=44 点评： 此题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质和锐角三
40、角函数关系等知识，得出 BC 的长是解题关键 20 28 （2015柳州）如图，在 ABC 中，D 为 AC 边的中点，且 DBBC，BC=4，CD=5 （1）求 DB 的长； （2）在 ABC 中，求 BC 边上高的长 考点： 勾股定理；三角形中位线定理 分析： （1）直接利用勾股定理得出 BD 的长即可； （2）利用平行线分线段成比例定理得出 BD= AE，进而求出即可 解答： 解： （1）DBBC，BC=4，CD=5， BD=3； （2）延长 CB，过点 A 作 AECB 延长线于点 E， DBBC，AEBC， AEDB， D 为 AC 边的中点， BD= AE， AE=6，即 BC 边
41、上高的长为 6 点评： 此题主要考查了勾股定理以及平行线分线段成比例定理， 得出 BD= AE 是解题关键 29 （2015常州）如图，在四边形 ABCD 中，A=C=45，ADB=ABC=105 （1）若 AD=2，求 AB； （2）若 AB+CD=2+2，求 AB 21 考点： 勾股定理；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 分析： （1） 在四边形 ABCD 中， 由A=C=45， ADB=ABC=105， 得BDF=ADC ADB=165105=60， ADE 与 BCF 为等腰直角三角形，求得 AE，利用锐角三角 函数得 BE，得 AB； （2）设 DE=x，利用（1）的某些结
42、论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示 AB，CD，得 结果 解答： 解： （1）过 A 点作 DEAB，过点 B 作 BFCD， A=C=45，ADB=ABC=105， ADC=360ACABC=3604545105=165， BDF=ADCADB=165105=60， ADE 与 BCF 为等腰直角三角形， AD=2， AE=DE=， ABC=105， ABD=1054530=30， BE=， AB=； （2）设 DE=x，则 AE=x，BE=， BD=2x， BDF=60， DBF=30， DF=x， BF=， CF=， AB=AE+BE=， CD=DF+CF=x， AB+CD=2+2，
43、AB=+1 22 点评： 本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有 30角的直角三角形的 性质，解题的关键是作辅助线 DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数 30 （2015娄底）“为了安全，请勿超速”如图，一条公路建成通车，在某直线路段 MN 限 速 60 千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路 MN 旁设立了观测点 C，从观测点 C 测得 一小车从点 A 到达点 B 行驶了 5 秒钟，已知CAN=45，CBN=60，BC=200 米，此车超 速了吗？请说明理由 （参考数据：1.41，1.73） 考点： 勾股定理的应用 分析： 根据题意结合锐角三角函数关系得出 BH，CH
44、，AB 的长进而求出汽车的速度，进 而得出答案 解答： 解：此车没有超速 理由：过 C 作 CHMN， CBN=60，BC=200 米， CH=BCsin60=200=100（米） ， BH=BCcos60=100（米） ， CAN=45， AH=CH=100米， AB=10010073（m） ， 60 千米/小时=m/s， =14.6（m/s）16.7（m/s） ， 此车没有超速 点评： 此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出 AB 的长是解题关键 31 （2015永州）如图，有两条公路 OM、ON 相交成 30角，沿公路 OM 方向离 O 点 80 米处有一所学校 A当重型
45、运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心 50 米长为半 径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响， 且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大 若 一直重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为 18 千米/时 （1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离； （2）求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间 23 考点： 勾股定理的应用；垂径定理的应用 分析： （1）直接利用直角三角形中 30所对的边等于斜边的一半求出即可； （2）根据题意可知，图中 AB=50m，ADBC，且 BD=CD，AOD=30，OA=80m；再利
46、用垂径定理及勾股定理解答即可 解答： 解： （1）过点 A 作 ADON 于点 D， NOM=30，AO=80m， AD=40m， 即对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离为 40 米； （2）由图可知：以 50m 为半径画圆，分别交 ON 于 B，C 两点，ADBC，BD=CD= BC， OA=80m， 在 Rt AOD 中，AOB=30， AD= OA= 80=40m， 在 Rt ABD 中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m， 故 BC=230=60 米，即重型运输卡车在经过 BD 时对学校产生影响 重型运输卡车的速度为 18 千米/小时，即=300 米/分钟， 重型运输卡车经过 BD 时需要 60300=0.2（分钟）=12（秒） 答：卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12 秒 点评： 此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用，
