1、第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题2直线的方程(2015河南省六市高考数学二模,直线的方程,填空题,理14)曲线C1:=1与曲线C2:=1所围成图形的面积为.解:对于曲线C1:=1,当x0,y0时,=1,当x0,y0时,=1,当x0,y0时,=-1,当x0时,=-1;对于曲线C2:=1,当x0,y0时,=1,当x0,y0时,=1,当x0,y0时,=-1,当x0时,=-1.在同一坐标系中画出这8条线段,它们所围成的图形是四边形ABCD和四边形EFGH,如图所示.由得点A;ABC的面积为SABD=BDyA=4;四边形ABCD的面积为=2;由C1,C2所围成的图形的面积为S=2.
2、故答案为.答案:9.2点与直线、两条直线的位置关系专题3距离公式(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,距离公式,选择题,理12)已知实数a,b,c,d满足=1,其中e是自然对数的底数,则(a-c)2+(b-d)2的最小值为()A.4B.8C.12D.18解析:实数a,b,c,d满足=1,b=a-2ea,d=2-c,点(a,b)在曲线y=x-2ex上,点(c,d)在曲线y=2-x上,(a-c)2+(b-d)2的几何意义就是曲线y=x-2ex到曲线y=2-x上点的距离最小值的平方.考查曲线y=x-2ex平行于直线y=2-x的切线,y=1-2ex,令y=1-2ex=-1,解得x=0,切点为(0,
3、-2),该切点到直线y=2-x的距离d=2就是所要求的两曲线间的最小距离,故(a-c)2+(b-d)2的最小值为d2=8.故选B.答案:B9.3圆的方程专题3与圆有关的最值问题(2015甘肃省张掖市高考数学4月模拟,与圆有关的最值问题,选择题,理10)圆心在曲线y=(x0)上,且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-2)2=5B.(x-2)2+(y-1)2=5C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x-2)2+(y-1)2=25解析:设圆心为(a0),则r=,当且仅当a=1时等号成立.当r最小时,圆的面积S=r2最小,此时圆的方程为(x-1)2+(y-2
4、)2=5.故选A.答案:A9.4直线与圆、圆与圆的位置关系专题1直线与圆的位置关系(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,直线与圆的位置关系,填空题,理16)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,半径为1的圆与圆C有公共点,则k的最小值是.解析:圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,即圆C的方程为(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需圆C:(x-4)2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可.设圆心C
5、(4,0)到直线y=kx+2的距离为d,则d=2,即3k2-4k,求得-k0,故k的最小值是-,故答案为-.答案:-(2015甘肃省嘉峪关一中高考数学三模,直线与圆的位置关系,填空题,理16)在平面直角坐标系xOy中,设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数,使得=+,则2+(-3)2的取值范围是.解析:因为A,B,C互异,所以-122-8+102.f()=22-6-2+10b0)的左右两个焦点,P为椭圆上的一点,且=c2,则椭圆的离心率的取值范围为()A.B.C.D.解析:设P(x0,y0),则=1,=b2.=c2,(-c-x0,-y0)(c-x0,-y0)=c2,化为-c2+
6、=c2,+b2=2c2,化为(3c2-a2),0a2,0(3c2-a2)a2,解得e.故选D.答案:D专题3直线与椭圆的位置关系(2015河南省洛阳市高考数学二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)设M是焦距为2的椭圆E:=1(ab0)上一点,A,B是其左右顶点,直线MA与MB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=-.(1)求椭圆E的方程;(2)已知椭圆E:=1(ab0)上点N(x,y)处切线方程为=1,若与椭圆E相切于C(x1,y1),D(x2,y2)两点的切线相交于P点,且=0,求证:点P到原点距离为定值.(1)解:设A(-a,0),B(a,0),M(m,n),则=1,即n2=b2,由k
7、1k2=-,即=-,即有=-,即为a2=2b2,又c2=a2-b2=1,解得a2=2,b2=1.即有椭圆E的方程为+y2=1.(2)证明:设切点C(x1,y1),D(x2,y2),则两切线方程PC,PD分别为+y1y=1,+y2y=1,解得P,由=0,则PCPD,即有kPC=,由于+2=2,即有-2=-2,1-,代入上式,可得kPC=,同理可得kPD=,即有kPCkPD=-1,即为x1x2=-4y1y2,又=2-2=2-2,即有|PO|2=,又(x1x2)2=16(y1y2)2,即有(2-2)(2-2)=16(y1y2)2,即(1-)(1-)=4(y1y2)2,即(1-),则|PO|2=3,即
8、|PO|=,故P到原点距离为定值.(2015甘肃省兰州一中三模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)如图,椭圆C:=1(ab0)的离心率e=,左焦点为F,A,B,C为其三个顶点,直线CF与AB交于点D,若ADC的面积为15.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在分别以AD,AC为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的圆心坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设左焦点F的坐标为(-c,0),其中c=,e=,a=c,b=c.A,B,C,AB:-=1,CF:-=1,联立解得D点的坐标为.ADC的面积为15,|xD|AC|=15,即c2c=15,解得c=3,a=5,b=4,椭圆C的方程为=1.(
9、2)由(1)知,A点的坐标为(0,4),D点的坐标为.假设存在这样的两个圆M与圆N,其中AD是圆M的弦,AC是圆N的弦,则点M在线段AD的垂直平分线上,点N在线段AC的垂直平分线y=0上.当圆M和圆N是两个相外切的等圆时,一定有A,M,N在一条直线上,且AM=AN.M,N关于点A对称,设M(x1,y1),则N(-x1,8-y1),根据点N在直线y=0上,y1=8.M(x1,8),N(-x1,0),而点M在线段AD的垂直平分线y-=-上,可求得x1=-.故存在这样的两个圆,且这两个圆的圆心坐标分别为M,N.9.6双曲线专题2双曲线的几何性质(2015河南省洛阳市高考数学二模,双曲线的几何性质,选
10、择题,理9)已知双曲线C:=1(a0,b0),斜率为1的直线过双曲线C的左焦点且与该曲线交于A,B两点,若与向量n=(-3,-1)共线,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.解析:双曲线C:=1(a0,b0)的左焦点为(-c,0),斜率为1的直线方程设为y=x+c,代入双曲线的方程得(b2-a2)x2-2a2cx-a2c2-a2b2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=x1+x2+2c=+2c=,若与向量n=(-3,-1)共线,则有y1+y2=(x1+x2),即有a2=3b2,即c2=a2+b2=a2,即e=.故选B.答案:B(2015河南省六市高考数学二模
11、,双曲线的几何性质,选择题,理11)如图,已知双曲线C:=1(a0,b0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若PAQ=60且=3,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.2解析:因为PAQ=60且=3,所以QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=.由勾股定理可得(2R)2-R2=,所以(ab)2=3R2(a2+b2).在OQA中,所以7R2=a2,结合c2=a2+b2,可得e=.故选B.答案:B(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,双曲线的几何性质,选择题,理11)已知F2,F1是双
12、曲线=1(a0,b0)的上、下焦点,点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF1|为半径的圆上,则双曲线的离心率为()A.3B.C.2D.解析:由题意,F1(0,-c),F2(0,c),一条渐近线方程为y=x,则F2到渐近线的距离为=b.设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于A,|MF2|=2b,A为F2M的中点,又O是F1F2的中点,OAF1M,F1MF2为直角,MF1F2为直角三角形,由勾股定理得4c2=c2+4b2,3c2=4(c2-a2),c2=4a2,c=2a,e=2.故选C.答案:C(2015甘肃省兰州一中三模,双曲线的几何性质,选择题,理10)已知双曲线=1(
13、a0,b0),被方向向量m=(6,6)的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值为()A.B.C.D.2解析:设l与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有两式相减,得kAB=-,由直线方向向量m=(6,6)得kAB=1,截得的弦的中点为(4,1),得x1+x2=4,y1+y2=2,=1,a2=4b2得双曲线的离心率.故选A.答案:A9.7抛物线专题2抛物线的几何性质(2015河南省洛阳市高考数学二模,抛物线的几何性质,填空题,理16)已知F1,F2分别是双曲线3x2-y2=3a2(a0)的左、右焦点,P是抛物线y2=8ax与双曲线的一个交点,若|PF1|+|PF2|
14、=12,则抛物线的准线方程为.解析:由双曲线方程=1(a0)得c=2a,F1(-2a,0),F2(2a,0),由抛物线方程y2=8ax,设F2(2a,0)为抛物线的焦点,其准线为x=-2a,过F1点,则有|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|=12,|PF1|=6+a,|PF2|=6-a,又双曲线左准线为x=-a,离心率e=2,|PF1|=2xP+a=6+a,xP=3,|PF2|=xP+2a=6-a,a=1,抛物线方程为y2=8x,抛物线的准线方程为x=-2.故答案为x=-2.答案:x=-2(2015河南省六市高考数学二模,抛物线的几何性质,选择题,理6)从抛物线y2=4x图象上
15、一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=3,设抛物线焦点为F,则MPF周长为()A.6+3B.5+2C.8D.6+2解析:设P(x0,y0),依题意可知抛物线准线x=-1,焦点F为(1,0),由抛物线的定义可得,|PM|=|PF|=3,即x0=3-1=2,|y0|=2,即有M(-2,2),MPF的周长为|PF|+|PM|+|FM|=6+=6+2.故选D.答案:D(2015甘肃省河西五地市高三第一次联考,抛物线的几何性质,选择题,理8)抛物线x2=y在第一象限内图象上一点(ai,2)处的切线与x轴交点的横坐标记为ai+1,其中iN*,若a2=32,则a2+a4+a6等于()A.64B.4
16、2C.32D.21解析:y=2x2(x0),y=4x,x2=y在第一象限内图象上一点(ai,2)处的切线方程是y-2=4ai(x-ai),整理,得4aix-y-2=0,切线与x轴交点的横坐标为ai+1,ai+1=ai,a2k是首项为a2=32,公比q=的等比数列,a2+a4+a6=32+8+2=42.故选B.答案:B专题3直线与抛物线的位置关系(2015甘肃省兰州一中三模,直线与抛物线的位置关系,选择题,理7)设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p0)交于A,B两点,若OAOB,则OAB的面积为()A.1B.C.D.2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2p
17、x,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OAOB得,x1x2+y1y2=0,整理得2p=1,即p=,从而A,B,|OA|2=5-2,|OB|2=5+2,OAB的面积S=|OA|OB|=.故选B.答案:B9.8直线与圆锥曲线专题1轨迹与轨迹方程(2015河南省六市高考数学二模,轨迹与轨迹方程,解答题,理20)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(1,0),动点C满足条件:ABC的周长为2+2.记动点C的轨迹为曲线T.(1)求曲线T的方程;(2)已知点M(,0),N(0,1),是否存在经过点(0,)且斜率为k的直线l与曲线T有两
18、个不同的交点P和Q,使得向量共线?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)设C(x,y),|AC|+|BC|+|AB|=2+2,|AB|=2,|AC|+|BC|=22,由椭圆的定义可知:动点C的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为2的椭圆,除去与x轴的两个交点,a=,c=1,b2=a2-c2=1.曲线T的方程为+y2=1(y0).(2)设直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程可得:x2+2kx+1=0,直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q,=8k2-40,解得k或kb0),由题意可得:椭圆C两焦点坐标分别为F1(-1,0),F2(1,0).2a=.a=2,又c=1,b2=4-1=3,故
19、椭圆的方程为=1.(1)当直线lx轴时,计算得到:A,B|AB|F1F2|=32=3,不符合题意.当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,显然0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,又|AB|=即|AB|=,又圆F2的半径r=,所以|AB|r=,化简,得17k4+k2-18=0,即(k2-1)(17k2+18)=0,解得k=1,所以,r=,故圆F2的方程为(x-1)2+y2=2.(2015甘肃省兰州一中三模,轨迹与轨迹方程,填空题,理15)如果双曲线x2-y2=a2经过圆(x-3)2+(y-1)2=5的直径AB的两个端点,则正实数a的值等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程作差得(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),x1+x2=6,y1+y2=2,=3,AB的方程为y=3x-8,与圆方程联立得10(x-3)2=5,(x-3)2=,a2=(x+y)(x-y)=(4x-8)(8-2x)=8-8(x-3)2=4.a=2.故答案为2.答案:214
