1、1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它
2、们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)nn0时结论成立.第二步(归纳递推)假设nk时，结论成立，推得nk1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考
3、何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A.28 B.76 C.123 D.199答案C解析记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2
4、)(nN*，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列
5、则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142 B.2 0152C.2 0132 014 D.2 0142 015答案D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；第一行第n个数为(n1)21；第n行从第1个数至第n个数依次递减1；第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为(2 0151)212 0132 0142 015.题型二直接证明与间接证明例2已知ab0，求证.证明欲证，只需证，ab0，只需证，即1，欲证
6、1，只需证2，即，该式显然成立.欲证1，只需证2，即，该式显然成立.1成立.成立.反思与感悟直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用.跟踪训练2已知等差数列an中，首项a10，公差d0.(1)若a11，d2，且，成等比数列，求正整数m的值；(2)求证对任意正整数n，都不成等差数列.(1)解an是等差数列，a11，d2，a47，am2m1.，成等比数列，即2m149.m25.(2)证明假设存在nN*，使，成等差数列，即，化简得d23a
7、.(*)又a10，d0，an1a1ndd，3a3d2d2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证.题型三数学归纳法及应用例3已知ai0(i1,2，n)，考察：a11；(a1a2)4；(a1a2a3)9.归纳出对a1，a2，an都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解结论：(a1a2an)n2(nN*).证明：当n1时，显然成立.假设当nk时，不等式成立，即(a1a2ak)k2.当nk1时，(a1a2akak1)(a1a2ak)ak1(a1a2ak)1k21k22k1(k1)2.由可知，不等式对任意正整数n都成立.反思与感悟数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证
8、，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当nk1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的.跟踪训练3数列an满足Sn2nan(nN*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.(1)解当n1时，a1S12a1，a11；当n2时，a1a2S222a2，a2；当n3时，a1a2a3S323a3，a3；当n4时，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*).(2)证明当n1时，a11，结论成立.假设nk(k1
9、且kN*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.所以当nk1时，结论成立.由知猜想an(nN*)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4已知x，yR，且x2y20，求证x，y全为0.错解假设结论不成立，则x，y全不为0，即x0且y0，x2y20，与x2y20矛盾，故x，y全为0.错因分析x，y全为0的否定应为x，y不全为0，即至少有一个不是0，得x2y20与已知矛盾.正解假设x，y不全为0，则有以下三种可能：x0，y0，得x2y20，与x2y20矛盾；x0，y0，得x2y20, 与x2y20矛盾；x0，y
10、0，得x2y20，与x2y20矛盾.假设是错误的，x，y全为0.防范措施应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是()A.把a(bc)与loga(xy)类比，则loga(xy)logaxlogayB.把a(bc)与sin(xy)类比，则sin(xy)sin xsin yC.把(ab)n与(xy)n类比，则(xy)nxnynD.把(ab)c与(xy)z类比，则(xy)zx(yz)答案D2.在ABC中，若sin Asin Ccos Acos C，则ABC一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝
11、角三角形 D.不确定答案D解析由sin Asin Ccos Acos C，得cos(AC)0，即cos B0, 所以B为锐角，但并不能确定角A和C的情况，故选D.3.猜想数列，的通项公式是_.答案an(nN*)解析分析式子，的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n个图形中的花盆数an_.答案3n23n1解析观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，其中第n个图案中间一行的花盆数为2n1，往上一侧花盆数依次是2n2,2n3，它们的和为，往下一侧(含中间一行)花盆数为，所以an2(2n1)3n23n1.5.函数列fn(x)
12、满足f1(x)(x0)，fn1(x)f1(fn(x).(1)求f2(x)，f3(x)；(2)猜想fn(x)的表达式，并证明.解(1)f1(x)(x0)，f2(x)，f3(x).(2)猜想fn(x)(nN*)，下面用数学归纳法证明：当n1时，命题显然成立；假设当nk(kN*)时，fk(x)，那么fk1(x).这就是说当nk1时命题也成立.由可知，fn(x)对所有nN*均成立.故fn(x)(nN*).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、
13、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n个三角形数为()A.n B.C.n21 D.答案B解析观察图形可知，这些三角形数的特点是第n个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n，于是第n个三角形数为12n.2.有这样
14、一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案C解析演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆1(ab0)的左焦点为F(c,0)，当时，由b2ac得其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”1中，由ba1c1(c1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为()A. B.C. D.答案A解析ba1c1，caba1c1，1，e2e10
15、，e(e1).故选A.4.设函数f(x)2x1(x0)，则f(x)()A.有最大值 B.有最小值C.为增函数 D.为减函数答案A解析x0，x0，则(2x)22，2.f(x)121.当且仅当2x，即x时取最大值.故选A.5.设集合SA0，A1，A2，A3，在S上定义运算为：AiAjAk，其中k为ij被4除的余数，i，j0,1,2,3.则满足关系式(xx)A2A0的x(xS)的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析当xA0时，(xx)A2A2A0，当xA1时，(xx)A2A2A2A0，成立；当xA2时，(xx)A2A0A2A2A0；当xA3时，(xx)A2A2A2A0，成立.故选B.6
16、.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案B解析如图，为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线AD的方向.又0，)，的方向与的方向相同.而，点P在AD上移动，P的轨迹一定通过ABC的内心.二、填空题7.已知pa(a2)，q2a24a2(a2)，则p，q的大小关系为_.答案pq解析pa22224，a24a22(a2)22，q224p.8.，是两个不同的平面，m，n是平面及平面外两条不同的直线，给出下列四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一
17、个你认为正确的命题_.答案(或)9.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1在区间1,1内至少存在一点c，使f(c)0，则实数p的取值范围是_.答案解析方法一(补集法)：令即即p3或p，符合题意的解是3p.方法二(直接法)：依题意，有f(1)0或f(1)0，即2p2p10或2p23p90，p1或3p，3p.10.设函数yf(x)在(0，)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)若函数f(x)，且恒有fK(x)f(x)，则K的最小值为_.答案解析由于f(x)，所以f(x)，令g(x)ln x1，则g(x)x20，所以g(x)在(0，)上单调递减，而g(1)0，所以当x(0,1)时，g
18、(x)0，此时，f(x)0，当x(1，)时，g(x)0，此时f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1，)上单调递减，故f(x)maxf(1)，又函数f(x)，且恒有fK(x)f(x)，结合新定义可知，K的最小值为.三、解答题11.如图所示，设在四面体PABC中，ABC90，PAPBPC，D是AC的中点，求证：PD平面ABC.证明要证明PD平面ABC，只需证明PD与平面ABC内的两条相交直线垂直即可，由于已知ACP为等腰三角形，APPC，D为AC的中点，故PDAC，从而有PAD为直角三角形，且ADBD，PDPD，APPB，于是APDBPD.因此PDAPDB90，PDBD.又
19、知AC交BD于D，可知PD平面ABC.12.求证：不论x，y取何非零实数，等式总不成立.证明假设存在非零实数x，y使得等式成立.于是有y(xy)x(xy)xy，即x2y2xy0，即2y20.由y0，得y20.又20，所以2y20.与x2y2xy0矛盾，故原命题成立.13.在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN*).(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)求证.(1)解由条件得2bnanan1，abnbn1，a12，b14.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当n1时，由上可得结论成立.假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么，当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.当nk1时，结论也成立.由可知ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数n都成立.(2)证明当n1时，.n2时，由(1)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n.，.综上，对nN*，成立.
