1、第4讲 数列求和一、选择题1.在等差数列中，,则的前5项和=( )A.7 B.15 C.20 D.25 解析 .答案B2若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10()A15 B12 C12 D15解析设bn3n2，则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.答案A3在数列an中，an，若an的前n项和为，则项数n为()A2 011 B2 012 C2 013 D2 014解析an，Sn1，解得n2 013.答案C4数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3
2、 690 B3 660 C1 845 D1 830解析当n2k时，a2k1a2k4k1，当n2k1时，a2ka2k14k3，a2k1a2k12，a2k1a2k32，a2k1a2k3，a1a5a61.a1a2a3a60(a2a3)(a4a5)(a60a61)3711(4301)30611 830.答案D5. 已知数列an的通项公式为an2n1，令bn(a1a2an)，则数列bn的前10项和T10()A70 B75C80 D85解析 由已知an2n1，得a13，a1a2ann(n2)，则bnn2，T1075，故选B.答案B6数列an满足anan1(nN*)，且a11，Sn是数列an的前n项和，则S
3、21()A. B6 C10 D11解析依题意得anan1an1an2，则an2an，即数列an中的奇数项、偶数项分别相等，则a21a11，S21(a1a2)(a3a4)(a19a20)a2110(a1a2)a211016，故选B.答案B二、填空题7在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_.解析设等比数列an的公比为q，则a4a1q3，代入数据解得q38，所以q2；等比数列|an|的公比为|q|2，则|an|2n1，所以|a1|a2|a3|an|(12222n1)(2n1)2n1.答案22n18等比数列an的前n项和Sn2n1，则aaa_.解析当n1时，a1S11，当
4、n2时，anSnSn12n1(2n11)2n1，又a11适合上式an2n1，a4n1.数列a是以a1为首项，以4为公比的等比数列aaa(4n1)答案(4n1)9已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn_.解析设等比数列an的公比为q，则q327，解得q3.所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.则Sn11.答案10设f(x)，利用倒序相加法，可求得fff的值为_解析当x1x21时，f(x1)f(x2)1.设Sfff，倒序相加有2Sff10，即S5.答案5三、解答题11等差数列an的各项均为正数，a13，前n项和为Sn，bn为
5、等比数列，b11，且b2S264，b3S3960.(1)求an与bn；(2)求.解(1)设an的公差为d，bn的公比为q，则d为正数，an3(n1)d，bnqn1.依题意有解得或(舍去)故an32(n1)2n1，bn8n1.(2)Sn35(2n1)n(n2)，所以.12已知数列an的前n项和为Sn，且a11，an1Sn(n1,2,3，)(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog(3an1)时，求数列的前n项和Tn.解(1)由已知得得到an1an(n2)数列an是以a2为首项，以为公比的等比数列又a2S1a1，ana2n2n2(n2)又a11不适合上式，an(2)bnlog(3an1)log
6、n.Tn1.13设数列an满足a13a232a33n1an，nN*.(1)求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.思维启迪：(1)由已知写出前n1项之和，两式相减(2)bnn3n的特点是数列n与3n之积，可用错位相减法解(1)a13a232a33n1an，当n2时，a13a232a33n2an1，得3n1an，an.在中，令n1，得a1，适合an，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1，Sn.探究提高解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3n1an的前n项和，从而利用an与
7、Sn的关系求出通项3n1an，进而求得an；另外乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养14将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9已知表中的第一列数a1，a2，a5，构成一个等差数列，记为bn，且b24，b510.表中每一行正中间一个数a1，a3，a7，构成数列cn，其前n项和为Sn.(1)求数列bn的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a131.求Sn；记Mn|(n1)cn，nN*，若集合M的元素个数为3，求实数的取值范围解(1)设等差数列bn的公差为d，则解得所以bn2n.(2)设每一行组成的等比数列的公比为q.由于前n行共有135(2n1)n2个数，且321342，a10b48，所以a13a10q38q3，又a131，所以解得q.由已知可得cnbnqn1，因此cn2nn1.所以Snc1c2c3cn，Sn，因此Sn44，解得Sn8.由知cn，不等式(n1)cn，可化为.设f(n)，计算得f(1)4，f(2)f(3)6，f(4)5，f(5).因为f(n1)f(n)，所以当n3时，f(n1)f(n)因为集合M的元素个数为3，所以的取值范围是(4,5.
