1、第八章立体几何8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图专题2三视图与直观图(2015辽宁大连高三双基测试,三视图与直观图,选择题,理6)六个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体,该几何体的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图不可能为()答案:D8.2空间几何体的表面积与体积专题1空间几何体的表面积(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,空间几何体的表面积,选择题,理9)一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为()A.9B.C.8D.7解析:由三视图还原出原几何体如图所示,可将其视为正三棱柱的一部分,底面中心到顶点的距离为,外接球的球心到底面中心的距离为1,所以球的半径为R2=+
2、1=,外接球的表面积为4R2=,故选B.答案:B(2015东北三省四市教研联合体高三模拟一,空间几何体的表面积,选择题,理7)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是圆心角为60的扇形,则该几何体的侧面积为()A.12+B.6+C.12+2D.6+4解析:将该几何体侧面展开,可知其侧面展开图为一矩形,其中矩形的一边长为3,另一边长为2+2+2=4+,故所求侧面积S=3=12+2,故选C.答案:C(2015银川一中高三二模,空间几何体的表面积,选择题,理11)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,BAC=60,则球O的表面积为
3、()A.4B.12C.16D.64解析:依题意,BC2=AB2+AC2-2ABACcos60=3,因此AC2=4=BC2+AB2,ABBC;又SA平面ABC,因此SAAC,BCSB;取SC的中点M,连接MA,MB,则有MA=SC=MB,点M到该三棱锥的各顶点的距离相等,点M即为球心O,OA=SC=2,球O的表面积等于422=16,故选C.答案:C(2015江西八所重点中学高三联考,空间几何体的表面积,选择题,理11)正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,此时四面体ABCD外接球的表面积为()A.7B.19C.D.解析:由题意可得AD底面BDC,且底面三角形是等腰三
4、角形,其外接圆的直径为=2,过底面BCD的外心O作底面的垂线,在垂线上取OP=,则点P为四面体ABCD的外接球的球心,所以外接球的半径R2=|PA|2=|PO|2+|OB|2=+1=,该球的表面积为4R2=7,故选A.答案:A(2015东北三省三校高三二模,空间几何体的表面积,选择题,理9)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为()A.16B.9C.4D.解析:由三视图可知该几何体是一个三棱锥A-BCD(如图所示),其中BCCD,BC=CD=2,顶点A在底面BCD上的射影M是BD的中点,AM=2,则有AB=AC=AD
5、=,记三棱锥A-BCD的外接球的球心为O,半径为R,则有OA=OB=OD=R,O在底面BCD上的射影为M.在RtDOM中,R2=()2+(2-R)2,解得R=,因此此三棱锥的外接球的表面积等于4R2=9,故选B.答案:B(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,空间几何体的表面积,选择题,理6)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积为()A.+4B.36+2C.32+2D.44+2解析:依题意,题中的几何体是在一个半球的上面放置一个圆锥所形成的组合体,其中球的半径是4,圆锥的底面半径是2、高是3,因此其表面积为442+2+(42-22)=44+2,故选D.答案:D(2015辽宁东北育才高三第
6、五次模拟,空间几何体的表面积,选择题,理7)如图,一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的侧面积为()A.2B.6C.2()D.2()+2解析:作出该四棱锥的直观图如图所示,观察可知,PB=,SPAB=SPAD=PAAD=2.因为BC平面PAB,故SPBC=SPDC=PBBC=.故该四棱锥的侧面积为2(),故选C.答案:C专题2空间几何体的体积(2015辽宁大连高三双基测试,空间几何体的体积,填空题,理16)如图,ACB=90,DA平面ABC,AEDB交DB于点E,AFDC交DC于点F,且AD=AB=2,则三棱锥D-AEF体积的最大值为.解析:依题意,设AC=b,BC=a,则
7、有a2+b2=4,由已知得BC平面ACD,又AFCD,CDBC=C,因此AF平面BCD,所以AFBD,又由AEBD,AEAF=A,得BD平面AEF,所以EFBD,易知AF=,AD2=DFCD,DF=.由BCDFED得SEFD=SBCD=,VD-EFA=VA-DEF=AFSEFD=,当且仅当a2=2b2=时取等号,因此三棱锥D-AEF的体积的最大值是.答案:(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,空间几何体的体积,选择题,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.B.64C.D.解析:根据三视图得几何体,再利用体积公式求解.由三视图可得该
8、几何体是一个四棱锥,其底面是边长为4的正方形,有一条长度为4的侧棱垂直于底面,所以该四棱锥的体积为424=,故选D.答案:D(2015银川二中高三一模,空间几何体的体积,选择题,理8)把一个三棱锥适当调整位置,可以使它的三视图(正视图,侧视图,俯视图)都是矩形,形状及尺寸如图所示,则这个三棱锥的体积是()A.1B.2C.3D.6解析:作出该几何体的直观图如图中的三棱锥A-BCD所示,由割补法可知所求三棱锥的体积V=321-4=2,故选B.答案:B(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,空间几何体的体积,填空题,理16)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD.若
9、BPC=90,PB=,PC=2,则四棱锥P-ABCD的体积的最大值为.解析:依题意,过点P作PEAD于点E,PFBC于点F,连接EF,则有PE平面ABCD,EFBC,EF=AB,PF=.设AB=x,则矩形ABCD的面积等于ABBC=xx,PE=,V四棱锥P-ABCD=x.又因为,当且仅当x2=-x2,即x2=时取等号,所以四棱锥P-ABCD的体积的最大值是.答案:(2015东北三省三校高三第一次联考,空间几何体的体积,选择题,理7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()A.6B.8C.10D.12解析:由三视图得该几何体为三棱锥,其底面积S=4
10、5=10,三棱锥的高h=3,故所求体积V=103=10,故选C.答案:C(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,空间几何体的体积,选择题,理11)若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为()A.B.2C.3D.4解析:过圆锥的旋转轴作轴截面,得到ABC及其内切圆O1和外接圆O2,且两圆同心,即ABC的内心与外心重合,故ABC为正三角形.依题意,O1的半径为1,故圆锥的底面半径为,高为3,故圆锥的体积V=()23=3,故选C.答案:C8.3空间点、直线、平面之间的位置关系专题2空间两条直线的位置关系(2015东北三省三校高三二模,空间两条直线的位置关系,选择题,理4)已
11、知a,b,m,n是四条不同的直线,其中a,b是异面直线,则下列命题正确的个数为()若ma,mb,na,nb,则mn;若ma,nb,则m,n是异面直线;若m与a,b都相交,n与a,b都相交,则m,n是异面直线.A.0B.1C.2D.3解析:对于,过直线a上一点O作直线a1b,则直线a,a1确定平面,ma,ma1,所以m,同理na,因此mn,正确;对于,m,n可能相交或异面,错误;对于,m,n可能相交或异面,错误.综上所述,其中正确的命题的个数是1,故选B.答案:B8.7空间几何中的向量方法专题2利用空间向量解决探索性问题(2015辽宁重点中学协作体高考模拟,利用空间向量解决探索性问题,解答题,理
12、19)如图,四棱锥E-ABCD中,平面EAD平面ABCD,CDAB,BCCD,EAED,且AB=4,BC=CD=EA=ED=2.(1)求证:BD平面ADE;(2)求直线BE和平面CDE所成角的正弦值;(3)在线段CE上是否存在一点F,使得平面BDF平面CDE?如果存在点F,请指出点F的位置;如果不存在,请说明理由.解:(1)证明:由BCCD,BC=CD=2可得BD=2,由EAED,且EA=ED=2,可得AD=2.又AB=4,所以BDAD.又平面EAD平面ABCD,平面ADE平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD平面ADE.(2)如图,建立空间直角坐标系D-xyz,D(0,0,0),B(
13、0,2,0),C(-,0),E(,0,),=(,-2),=(,0,),=(-,0).设平面CDE的法向量为n=(x,y,z).则取x=1,则y=1,z=-1.n=(1,1,-1),设直线BE与平面CDE所成的角为.则sin=|cos|=,即直线BE与平面CDE所成的角的正弦值为.(3)设=,0,1.=(-,0),=(2,-),=(0,2,0),所以+(2-1,-+1,).设平面BDF的法向量为m=(x,y,z),则取x=1,则z=.m=.由(2)可知平面CDE的一个法向量n=(1,1,-1),且平面BDF平面CDE,所以mn=0,所以=0,1.故在线段CE上存在一点F(靠近C点处的三等分点处)
14、,使得平面BDF平面CDE.专题3利用空间向量求空间角(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,利用空间向量求空间角,解答题,理19)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO平面ABB1A1.(1)证明:BCAB1;(2)若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.解:(1)证明:由题意tanABD=,tanAB1B=,又0ABD,AB1B,ABD=AB1B,AB1B+BAB1=ABD+BAB1=.AOB=,AB1BD.又CO平面ABB1A1,AB1CO.BD与CO交于点O,AB1平面CBD.又BC平面
15、CBD,AB1BC.(2)如图,分别以OD,OB1,OC所在直线为x,y,z轴,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A,B,C,D.设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则z=-1,x=,n=.设直线CD与平面ABC所成角为,则sin=cos=.直线CD与平面ABC所成角的正弦值为.(2015辽宁大连高三双基测试,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为正方形,AE平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DE的中点.(1)求证:CD平面ADE;(2)求二面角C-BF-E的平面角的余弦值.解:(1)证明:AE平面CD
16、E,CD平面CDE,AECD,四边形ABCD为正方形,CDAD,AEAD=A,AD,AE平面DAE,CD平面DAE.(2)由(1)知CD平面DAE,又DE平面DAE,CDDE.以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E(2,0,0),F(1,0,0),A(2,0,2),D(0,0,0).AE平面CDE,DE平面CDE,AEDE.AE=DE=2,AD=2.四边形ABCD为正方形,CD=2,C(0,2,0).由四边形ABCD为正方形可得=(2,2,2),B(2,2,2).设平面BEF的法向量为n1=(x1,y1,z1).=(0,-2,-2),=(1,0,0).由令y1=1,
17、则z1=-.n1=(0,1,-).设平面BCF的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(-2,0,-2),=(1,-2,0).由令y2=1,则x2=2,z2=-2.n2=(2,1,-2).设二面角C-BF-E的平面角的大小为,则cos=cos(-)=-cos=-=-=-.二面角C-BF-E的平面角的余弦值为-.(2015东北三省四市教研联合体高三模拟二,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD的中点.(1)求证:AF平面PEC;(2)求PC与平面PAB所成角的余弦值.解:(1
18、)证明:如图,取PC的中点M,连接FM,ME,则FMCD,且FM=CD,AE=AB=FM,AEFM,四边形AEMF为平行四边形,AFEM,AF平面PEC,EM平面PEC,直线AF平面PEC.(2)连接DE,底面ABCD是菱形,DAB=60,DEDC.如图,以点D为原点,分别以DE,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-ECP.则P(0,0,1),C(0,1,0),E,A,B.=(0,1,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z).n=0,n=0,即令x=1,则z=.平面PAB的一个法向量为n=.=(0,1,-1),设向量n与所成的角为,cos=-,PC与平面PAB所成角
19、的正弦值为.(2015银川一中高三二模,利用利用空间向量求空间角,解答题,理18)已知四边形ABCD满足ADBC,BA=AD=DC=BC=a,E是BC的中点,将BAE沿AE翻折成B1AE,使平面B1AE平面AECD,F为B1D的中点.(1)求四棱锥B1-AECD的体积;(2)证明:B1E平面ACF;(3)求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值.解:(1)取AE的中点M,连接B1M.因为BA=AD=DC=BC=a,ABE为等边三角形,则B1M=a,又因为平面B1AE平面AECD,所以B1M平面AECD,所以V=aaasin.(2)证明:连接ED交AC于点O,连接OF.因为四边形AECD
20、为菱形,OE=OD,所以FOB1E,所以B1E平面ACF.(3)连接MD,则AMD=90,分别以ME,MD,MB1所在的直线为x,y,z轴建系.则E,C,A,D,B1.所以,设平面ECB1的法向量为u=(x,y,z),则有令x=1,可得u=;同理可得平面ADB1的一个法向量为v=,所以cos=,故平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值为.(2015银川二中高三一模,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,BAD=90,A1C1B1D,BC=1,AD=AA1=3.(1)证明:平面ACD1平面B1BDD1;(2)求直线B1C1与平面ACD
21、1所成角的正弦值.解法一:(1)证明:因为AA1CC1且AA1=CC1,所以ACA1C1,因为A1C1B1D,所以ACB1D,因为BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1,所以AC平面B1BDD1,又因为AC平面ACD1,所以平面ACD1平面B1BDD1.(2)因为B1C1AD,所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为).如图,连接A1D,因为棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1=BAD=90,所以A1B1平面ADD1A1,从而A1B1AD1,又AD=AA1=3,所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1,故AD1平面A
22、1B1D,于是AD1B1D.由(1)知ACB1D,所以B1D平面ACD1.故ADB1=90-,在直角梯形ABCD中,因为ACBD,所以BAC=ADB.从而RtABCRtDAB,故.即AB=.连接AB1,易知AB1D是直角三角形.且B1D2=B+BD2=B+AB2+AD2=21,即B1D=.在RtAB1D中,cosADB1=,即cos(90-)=,从而sin=.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.解法二:(1)证明:由题易知直线AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系A-xyz.设AB=t,则A(0,0,0)
23、,B(t,0,0),B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3),从而=(-t,3,-3),=(t,1,0),=(-t,3,0).因为ACBD,所以-t2+3+0=0,解得t=或t=-(舍去).于是=(-,3,-3),=(,1,0).因为=-3+3+0=0,所以ACB1D.因为BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1,所以AC平面B1BDD1,又因为AC平面ACD1,所以平面ACD1平面B1BDD1.(2)由(1)知=(0,3,3),=(,1,0),=(0,1,0),设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量.则令x=1,则n=
24、(1,-).设直线B1C1与平面ACD1所成角为,则sin=|cos|=,即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.(2015江西八所重点中学高三联考,利用空间向量求空间角,解答题,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,DAB=90,ADBC,AD侧面PAB,PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=AD,E是线段AB的中点.(1)求证:PECD;(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值.解:(1)证明:因为AD侧面PAB,PE平面PAB,所以ADPE.又因为PAB是等边三角形,E是线段AB的中点,所以PEAB.因为ADAB=A,所以PE平面ABCD.而CD平面ABCD
25、,所以PECD.(2)以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,则E(0,0,0),C(1,-1,0),D(2,1,0),P(0,0,).=(2,1,0),=(0,0,),=(1,-1,-).设n=(x,y,z)为平面PDE的法向量.由令x=1,可得n=(1,-2,0).设PC与平面PDE所成的角为,sin=|cos|=,所以PC与平面PDE所成角的正弦值为.(2015东北三省三校高三二模,利用空间向量求空间角,解答题,理19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为正三角形,点M在棱BB1上,AB=4,AA1=5,平面A1MC平面ACC1A1.(1)求证:M是棱BB1的中点;
26、(2)求平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值.解:(1)证明:取AC的中点O,连接OB.在平面ACC1A1上,过点O作AC的垂线交A1C1于点N.平面ACC1A1平面ABC,ON平面ABC.以O为坐标原点,OA,OB,ON所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz.A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),A1(2,0,5),B1(0,2,5),C1(-2,0,5),M(0,2,m).设n=(x,y,z)为平面A1MC的法向量,则取x=5,则z=-4,y=2m-5.则平面A1MC的一个法向量n=(5,2m-5,-4).又m=(0,1,0)为平面ACC1A
27、1的一个法向量,依题意mn=2m-5=0,m=,M为棱BB1的中点.(2)由(1)知n=(5,0,-4)为平面A1MC的一个法向量,又a=(0,0,1)为平面ABC的一个法向量,cos=.平面A1MC与平面ABC所成锐二面角的余弦值为.(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,利用空间向量求空间角,解答题,理18)在直三棱柱ABC-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,D是棱AC的中点,且AA=2.(1)试在棱CC上确定一点M,使AM平面ABD;(2)当点M在棱CC的中点时,求直线AB与平面ABM所成角的大小.解:(1)取AC的中点O,连接OB,OD.底面ABC是边长为2的正三角形,OBAC.
28、D是边AC的中点,ODAC,ODOB.以O为坐标原点,OB,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则有O(0,0,0),A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),B(,0,2),A(0,-1,2),D(0,0,2),C(0,1,2).设M(0,1,t),则=(0,2,t-2),=(0,1,2),=(,1,2).若AM平面ABD,则有AMAD,AMAB.解得t=.即当CM=时,AM平面ABD.(2)当点M在棱CC的中点时,M(0,1,).=(-,1,),=(0,2,-),设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),则令z=,得y=1,x=,n=(,1,).设直线AB与平面ABM所成的角为,则sin=|cos|=.所以直线AB与平面ABM所成的角=arcsin.19
