1、高中数学概念教学研究以函数的单调性与奇偶性为例摘要高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容。数学是高中阶段的主要学科，是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。而函数是高中数学的核心，它贯穿了高中数学的始终，是高中数学教学的一条主线，是学习很多数学知识的根本；同时，函数也为其他学科的学习奠定了基础。单调性和奇偶性是函数的两大基本性质，是函数教学过程中的重要部分，也是高中数学概念教学的一大难点。在教学过程中，不能流于形式，只看到概念的表象；而是要深入理解概念的本质及其内涵，要结合学生认知发展的特点，强调数学思维的建构以及数学思
2、想的把握。本文以函数单调性和奇偶性的概念教学为背景，以概念的形成过程为重点，以相关的数学概念教学理论为指导，针对目前函数单调性和奇偶性概念教学过程中出现的问题进行分析和研究，并提出相应的教学建议和教学策略。首先，结合相关的文献书籍对概念教学的一般理论进行研究，明确本文所要研究的问题及其思路，意在指出研究的意义和价值所在。详细解读概念学习的心理过程，强调学生认知发展的重要性，通过对概念学习方式和概念教学方式的研究，针对现阶段教学过程中的问题与不足，提出数学概念教学的基本策略以及优化思路。 其次，从知识本身，课程要求，教学的角度等不同方面去认识函数的单调性和奇偶性，结合学生认知发展的特点分析概念教
3、学过程中的重难点以及问题所在，研读课程标准对函数单调性和奇偶性教学的要求，明确教学目标，准确把握教学过程中的重难点，以教材为依据，在教学过程中注重重难点，切实落实教学目标，实现教学目标对概念教学的要求。再次，针对函数单调性与奇偶性进行访谈研究，更好的把握函数单调性与奇偶性的教学现状，明确教学过程中的不足之处和问题所在并给出改进方法。通过对教材的分析研读，提出具体的教学建议。在概念教学过程中，不能只关注结果，应该重视概念教学的过程，教师要善于启发和引导，鼓励学生积极参与到概念形成的过程中，全面理解概念并形成概念系。留给学生独立思考的时间和空间，领悟概念的本质及内涵；同时，在概念教学过程中，教师要
4、注重数学思想方法的渗透和教学。最后，对本次教学研究进行总结概括，并反思研究过程中出现的问题以及不足的地方，为下一步的研究提供方向性的指导。关键词：数学概念，概念教学，函数单调性，函数奇偶性ABSTRACTHigh school mathematics course is compulsory education,a main course in senior secondary school,which contains the most basic content of mathematics.Mathematics is the main subject of high school,is
5、 an important part of human culture,and the mathematical accomplishment is the basic accomplishment of every citizen in the modern society. And the function is the coure of high school mathematics, it runs through the high school mathematics, is a main line of mathematics teaching in high school, is
6、 to lean a lot of mathematics knowledge fundamental; At the same time, the function also lays the foundation for the study of other subject. Monotonicity and parity are two basic properties of functions, which is an important part of function teaching process and a difficult poin in the teaching of
7、mathematical concepts in high school. In the process of teaching,we cant be in the form, but only the appearance of the concept; it is to understand the essence of concept and its connotation,to combine the characteristics of studentscognitive development, to emphasize the construction of mathematic
8、al thinking and the grasp of mathematical thought. Based on the functional monotonicity and parity as the background, the concept of teaching , focusing on the formation of the concept of guided by the related theory of mathematics concept teaching, aiming at the functional monotonicity and parity c
9、oncept in the teaching process of problem analysis and research, and put forward the corresponding teaching suggestions and stratedies.Firstly, this paper studies the general theory of concept teaching in combination with related literature books, and clarifies the problems and ideas that are to be
10、studied in this paper , aiming at to point out the significance and value of research. Detailed interpretation of the psychological process of concept learning, emphasize the importance of students congnitive development. Through the study of concept leaning methods and concept teaching method, in v
11、iew of the present problems and deticiencies in the process of teaching, puts forward the basic strategr of mathematics concept teaching and optimization idea.Secondly, from the knowledge itself, course requirements, the angel of teaching to realize the monotonicity of the function and difficult asp
12、ects, such as parity, according to the characterristics of the students cognitive development analysis of the difficult point in the process of concept teaching and the problem, the study of curriculum standard for functional monotonicity and parity of instruction to request, clear teaching goal, ac
13、curately grasp the difficult point in the process of teaching, based on teaching materials, pay attention to the difficult point in the process of teaching, earnestly implement the teaching goal, achieve the teaching goal of concept teaching requirements.Again, in view of the functional monotonicity
14、 parity with interview research, function monotonicity and better grasp the teaching situation of parity, clear deficiencies and problems in the process of teaching and improving method is given. Through analyzing the teaching material, the author puts forward specific teaching suggestions.In the pr
15、ocess of concept teaching, not only focus on results, should pay attention to the process of concept teaching, the teacher muet be good at inspire and guide, encourage students to actively participate in the process of concept formation, to fully understand the concept and form. The time and space f
16、or students to think independently and understand the nature and connotation of the concept; meanwhile,in the process of concept teaching, teacher should pay attention to the infiltration and teaching of mathematical thought methods.Finally, we summarize the teaching research and reflect on the prob
17、lems and shortcomings in the research process, and provide direction for the next step.Keywords:mathematical concepts;Concept teaching;Monotonic function;parity of function目录摘要.ABSTRACT第一章 绪论.1.1研究背景.1.2文献综述.1.3研究的问题及思路.1.4研究的意义及创新点.第二章 数学概念教学的相关理论研究.2.1数学概念的相关研究.2.2概念学习的方式.2.3概念教学的方式.2.4数学概念教学的基本策略
18、.第三章 对函数单调性和奇偶性的认识.3.1从知识的角度认识函数单调性和奇偶性.3.2从课程的角度认识函数单调性和奇偶性.3.3从教学的角度认识函数单调性和奇偶性.第四章 函数单调性和奇偶性教学现状研究.4.1教学现状的访谈研究.4.2结论及原因分析.第五章 函数单调性与奇偶性概念教学的思考.5.1教材分析.5.2教学思路.5.3具体建议.第六章 总结与反思.6.1总结.6.2反思.参考文献.附录.第一章 绪论1.1研究背景1.1.1高中数学课改要求在课程改革的形势下，高中数学课程在内容，编排等多方面发生了很大变化。普通高中数学课程标准指出：“理解基本的数学概念，数学结论的本质，了解概念，结论
19、等产生的背景，应用，体会其中所蕴含的数学思想方法，以及在后续学习中的作用”1。由此可知，新课标将数学概念的教学放在了最为重要的位置。函数的单调性是学生学习的第一个函数性质，其研究方法对后续函数的学习有重要的启示意义；函数的单调性与函数的奇偶性是研究函数的重点，其中包含了多种数学思想方法，对数学思想的贯彻起到了至关重要的作用。函数思想渗透到了数学学科的每一个分支，所以函数单调性与奇偶性的教学为后续数学课程的学习奠定了基础。反观高考，在历年高考中，函数一直是考查的热点和重点，同时也是一大难点。历年高考中主要把函数的概念，函数的单调性与奇偶性作为了考查的重点。题目大多以函数为背景与导数，不等式等知识
20、综合考查；同时也将函数与最值问题相结合，要求利用定义和图像来判定函数的单调性与奇偶性。无论是在新课标中还是在高考中，函数都是很重要的一部分，函数的性质更是其中的重点所在。因此对函数的单调性与奇偶性的概念教学进行研究具有重大意义。1.1.2函数单调性与奇偶性是高中数学中的重要概念20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分的总和。”函数单调性是一个从“形”到“数”的数学概念，是高中学生接触到的
21、第一个函数的基本性质，它包含了数形结合，抽象概括等多种数学方法，函数单调性的学习对学生的数学思维能力有很大的提高。在学习了单调性的基础上，高中数学课本中的第二个函数的基本性质是函数的奇偶性。函数的单调性与奇偶性架起了数学中“数”与“形”沟通的桥梁，实现了数与形的相互转化。函数是贯穿整个高中数学课程始终的主线。函数是数学的基本研究对象，函数思想渗透到了整个数学学习的过程中。数列简单的幂函数具体的函数模型指数函数对数函数三角函数分段函数从函数图像认识函数概念从对应关系认识函数函数概念及性质变量和变量间的关系函数单调性性质周期性奇偶性光滑性运算研究函数的思想方法求导数学中的应用函数应用实际中的应用函
22、数主线结构图函数是高中数学课程的核心，同时函数也是历年高考的重点和热点。考试内容主要集中在函数的概念，函数的单调性以及奇偶性等。客观题主要考察函数的性质，解答题多以函数为背景与导数，不等式，数列等知识点联立设计题目。高考中，对函数单调性的考察，往往与导数，最值问题相结合。这要求考生要会利用定义和图像来判定函数的奇偶性，特别注意函数的对称性对解题的帮助。例如：1，（20105全国 理12）设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是（ ）A.-3/(2e)，1 B.-3/(2e)，3/4 C.3/(2e)，3/4 D.3/(2e)
23、，1） 2，（2017全国 理5）函数f(x)在（-，+）单调递减，且为奇函数，若f(1)=-1，则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是（）A.-2,2 B.-1,1 C.0,4 D.1,31.1.3函数单调性与奇偶性教学现状与存在的问题通过对函数单调性与奇偶性的相关教学案例进行研究发现，教师只是注重对概念的字面意思的讲解，不注重概念产生的过程与意义。忽视了学生独立思考的环节，没有意识到构建知识体系的重要性。只注重解题方法的灌输，而轻视了数学思想方法的渗透。要求学生能够运用概念定理解题就行，忽视了对概念的内涵与本质的理解和掌握。一些高级中学的一线教师意识到了函数单调性与奇偶性教学过程中存在的
24、问题与不足，他们试图改变自己的教学方式，在教学过程中注重探究引导的环节，使学生从根本上来把握概念产生的过程，深刻理解概念的本质，但往往达不到教师预期的结果。在函数单调性与奇偶性概念教学的过程中，仍存在一些问题需要改进与提高。1.2文献综述1.2.1数学概念教学的研究现状通过搜索文献和查阅书籍，找到了很多国内外关于概念教学的研究理论。目前，很多教师愿意选择概念同化的教学模式，其基本步骤如下：给出定义和符号呈现概念的内涵与外延巩固数学概念应用概念解决问题。2也有学者以皮亚杰的学习理论为基础，进行进一步的研究。教师应该视具体情况而定，根据具体的教学情境灵活运用教学模式。荷兰数学家，数学教育家H.弗罗
25、登塔尔提出如下教育思想：“强调数学教育必须面向社会现实，必须联系日常生活实际，注意培养和发展学生从客观实际现象找出数学问题，以及把具体材料经过组织而走向高一级水平的能力；要求必须用再创造的方法去进行教学。而竭力反对灌输式和死记硬背；提倡讨论式，指导式的教学形式，而反对传统的演讲式的教学形式。”3美籍匈牙利数学家，数学教育家乔治波利亚的数学教育宗旨是：“教会思考”，“培养创造精神”，“向导探究式教学”，既要注重智能因素的培养，又不忽视非智能因素的作用。3波利亚提出了学习的三条原则：（1）主动学习原则。学习任何知识的最佳途径都是自己去发现。（2）最佳动机原则，使学生感兴趣的学习材料是教学内容本身的
26、内在魅力，而最佳动机则是学生期望在学习，探索心理活动中找到乐趣的心理状态。（3）阶段序进原则。波利亚把人类学习全过程分为3个阶段：探索，形式化和同化。探索，是对事物的观察和初步了解，处于比较直观和启发式的水平上；形式化，是对所接触的事物进行分类整理，引入适当的定义，术语，认识了其中的规律性，上升到较为概念化的水平上；同化，学者已经消化了学习材料，事物的规律性在更广的范围内被认识，推广和应用。1.2.2数学概念教学的文献综述在知网上搜索了近几年有关数学概念教学的的论文和期刊，作者从不同视角来阐述概念教学的规律，大致可以概括为以下几方面。1.2.2.1教学方式数学概念的形成式是指，在行为主义和建构
27、主义的理论指导下，经过刺激，辨别，类化，抽象，概括等阶段，最终得到形式化概念的过程。数学概念的同化式是指，以奥苏贝尔的认知同化理论和皮亚杰的认知发展阶段论为理论基础产生的教学方式。具体过程可以概括为：揭示概念的本质属性，新旧概念的对比，明确概念的外延，形成概念系。美国的杜宾斯基等人还提出了APOS概念教学理论，特别强调教学过程中学生的积极主动。要求学生经历操作，过程，对象，概型等几个阶段，最终得到概念。1.2.2.2教学策略汤炳兴在在概念教学中“学数学，做数学，用数学”一文中提出“学数学，做数学，用数学”的教学策略。其中包括怎样引导学生由日常概念向科学概念进行发展，怎样引导学生用精确的语言来刻
28、画一个数学概念，以及为学生学习符号语言提供条件。1.2.2.3概念学习心理的研究根据奥苏贝尔的学习理论，可以依据学习的深度把数学学习划分为机械学习和有意义学习。4数学有意义学习是通过思考，理解了符号所表示的知识并能融会贯通的学习形式。以函数为例，如果不仅理解了函数的文字意义和符号意义，而且还能以映射以及具体的基本初等函数融会贯通，这样的学习才是有意义的学习。奥苏贝尔认为，有意义的学习过程的实质就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当知识建立非人为的和实质性的联系，这里“非人为的和实质性的”是衡量一种学习是机械学习还是有意义学习的根本标准。奥苏贝尔指出，实现有意义的学习必须具备三个条件
29、：（1）学习者须具备积极主动的把符号所代表的新知识与其认知结构中原有的适当观念加以联系的倾向。（2）学习者的认知结构中必须具有适当的知识，以便与新知识进行联系。（3）学习材料必须符合非人为的实质性的标准，即对学习者具有潜在的意义。1.2.3函数单调性与奇偶性教学的文献综述在知网上对函数单调性与奇偶性的教学研究进行检索，得到了一些关于关于函数单调性与奇偶性教学的相关研究。杨利刚等认为在函数单调性教学中应从学生的已有知识经验和认知规律出发，充分认识非形式化数学所具有的优点，有时适当淡化形式，却能更有利于促使学生通过自身努力去发现概念的本质所在，然后再回到形式化的轨道上来，使学生真正在理解的意义上建
30、构数学概念。5瞿高海在“函数的奇偶性”教学过程中，让学生从现实生活出发，结合学生已有的认知结构，从“直观感知”，“数量具体描述刻画”，“构建函数奇偶性的概念”和“加深理解”等几个方面循序渐进的进行教学的完整过程。6他们从不同的视角提出了函数单调性与奇偶性教学的建议，即将成为一名数学教师的我对此有不同的想法，在以后的教学过程中一定要面对函数单调性与奇偶性的教学，为此，我以函数的单调性与奇偶性的概念教学研究为题，希望通过自己粗略的研究，能为概念教学提供参考。1.3研究的问题及思路1.3.1研究问题本文主要研究函数单调性与奇偶性概念教学的相关问题，函数单调性和函数的奇偶性作为概念课，是研究函数性质的
31、开始。函数的单调性是学生所接触到的第一个函数性质，要求学生能够用精确的语言来概括函数的变化趋势，它的学习对后续函数性质的学习具有重大的启示意义。此外，函数思想渗透到了每一个数学分支。由此可见，学习函数的单调性与奇偶性，打好知识根基尤为重要。因此研究函数的单调性与奇偶性的概念教学有很大意义，本文主要研究以下几方面：一，函数的单调性与奇偶性作为概念课，教学时要抓住概念教学的要点，教学过程要符合概念教学的程序。因此，本文首先对概念教学的的相关理论进行研究。二，函数单调性与奇偶性的教学要符合新课程标准的要求。因此，本文接下来研究新课程标准对它的要求以及教材中的编排结构，学生学习这部分知识时存在怎样的困
32、难。三，函数单调性与奇偶性作为高中数学必修部分，中学教师是如何把握教学过程的？教学现状如何？教学结果有如何？四，以函数单调性和奇偶性的教学为背景，结合自身的特点，探讨什么样的教学方式符合。1.3.2研究思路一，通过文献搜索，资料书籍的查阅对相关理论进行归纳整理，作为本文的理论支撑。找到适合函数单调性与奇偶性概念教学的教学方式。二，分别从新课标的要求，教材的编排以及高考的趋势几方面对函数单调性与奇偶性进行分析，准确把握该知识的在新课标中，在教材中以及在高考中的地位和意义。从而，对这部分知识有一个全面的认识。三，通过访谈和案例分析，深入了解函数单调性与奇偶性的教学现状，发现其中的有点与不足；结合相
33、关教学理论进行研究，分析其中的问题所在，并给出具体的优化建议。1.4研究的意义及创新点1.4.1研究意义本文研究函数单调性与奇偶性的概念教学，单调性与奇偶性是函数的两大基本性质。单调性的学习是学习函数性质的开始，其教学方式与学习方式对后续有关函数的学习具有示范作用。教材中对奇偶函数的编排略显简洁，但函数奇偶性的教学过程蕴含着大量的教育价值与教育意义。因此，可以将本文研究的意义概括为以下几点：一，本文对数学概念教学的相关理论进行了研究，其结果可为中学教师在概念教学时提供参考。二，本文以很多教育理论作为理论支撑，结合学生认知特点，综合考虑新课标的要求，教材的编排意图以及历年高考的趋势进行分析研究，
34、全面剖析函数单调性与奇偶性的概念教学，能够为中学教师的教学提供理论指导。三，本文针对教学现状提出了相应的教学思路和优化建议，在教师进行函数单调性与奇偶性的概念教学时具有一定的参考意义。1.4.2研究的创新点本次研究的创新点在于，本文对概念教学的三种方式（形成式，同化式，问题引申式）分别进行了详细的深层次的研究与分析，结合相关的实例进行实践操作；并总结整理出三种不同教学方式的优缺点以及它们之间的区别和联系，对其中出现的问题给出了针对性的建议。本次研究的创新点可以概括为以下三点：一，从概念教学的角度展开了对函数单调性与奇偶性概念教学的研究。二，从学生认知的特点，大纲与新课程标准的差异，高考的形式变
35、化等方面对函数的单调性与奇偶性的概念教学进行分析，其结果可以为实践提供方向性的指导。三，通过访谈研究和案例研究对函数单调性与奇偶性的教学现状进行研究，对其中所反映出来的问题进行分析总结，并提出改进建议。第二章 数学概念教学的相关理论研究2.1数学概念的相关研究2.1.1数学概念的含义和特点2.1.1.1数学概念的含义客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性。人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性。人们对客观事物的认识，一般是通过感觉，知觉形成表象，这就是感性认识阶段。在感性认识的基础上，经过比较，分析，综合，概括，抽象出一种事物所一种事物所独有而其他事物所不具有的属性，于是便称其为这
36、种事物的本质属性。这是理性认识阶段。概念就是反应事物本质属性的思维产物。7从心理学的角度来看，“概念是不断发展的，随着知识结构的不断完善，学生对概念的理解也会出现从具体水平向概念水平的发展，从不科学的甚至错误的日常概念向科学概念的发展”。89根据这种观点可以看出，数学概念不但具有科学概念和日常概念的双重特点，在此同时数学概念也具有发展性。数学概念是数学科学知识体系的基础，同时，数学概念又表现为数学思维的一种形式。数学概念的学习与学生对数学知识的掌握，合理的数学认知结构的形成以及数学能力的提高都有密切联系。数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，反应数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念
37、。7例如，“正方形”这个数学概念，它具有很多属性，例如方位，大小，形状等各个方面的很多属性。首先只要抓住四条边这一属性就可以将正方形与其他的一般的多边形相互区分开来；进一步抓住“每个角都是90”这条属性，就可以把它与一般的四边形进行区分。“四条边”，“两组对边分别平行且相等”，“每个角都是90”就是正方形这个概念的本质属性。只要从众多的属性中将本质属性分离出来，并把这些本质属性当做一个整体，就可以归纳得到“正方形”这个准确清晰的概念。任何概念都有许多属性，但只有本质属性决定了一个数学概念的“独特性”。2.1.1.2数学概念的内涵和外延（1）内涵与外延的含义概念的内涵是概念所反应的对象的本质属性
38、。概念的外延是指具有概念内涵的一切对象的集合。7概念的内涵与外延，是概念的基本特征，是准确把握概念和系统掌握知识的基础。概念的内涵就是概念所反应的事物的本质属性的总和，概念的外延就是概念所反应的事物的总和（或范围）。概念的内涵与外延是分别对事物的质和量的规定。例如，“质数”这个概念的内涵是“除了1和它本身外没有其它因数”这个性质，它的外延是所有的质数的全体。“圆”这个概念的内涵是“到定点（圆心）的距离等于定长的点”这个性质，其外延是所有到定点（圆心）的距离等于定长的点的集合。只有概念的内涵与外延明确了，就可以深刻的认识概念，全面理解和把握一个概念。如果不能理解一个概念的内涵与外延，则会出现错误
39、。要对概念加深认识，要充分理解它的实质所在。（2）内涵与外延之间的关系概念的内涵与外延这两个方面是相互联系，互相制约的。当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。内涵与外延之间的这种关系，称为反变关系。7例如，“等腰三角形”这个概念的内涵比“三角形”这个概念的内涵大，而“等腰三角形”这个概念的外延比“三角形”这个概念的外延小，缺少了那些任意两边不相等的三角形。再如，“方程”这个概念的内涵比“整式方程”这个概念的内涵小，缺少了“两边都是关于未知数的整式”；但“方程”这个概念的外延比“整式方程”这个概念的外延大，多出了那些两边不都是整式的方程。（3）概念的限定与概括概
