1、第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程专题2直线的方程(2015河北衡水中学高三一调,直线的方程,选择题,理10)设直线l与曲线f(x)=x3+2x+1有三个不同的交点A,B,C,且|AB|=|BC|=,则直线l的方程为()A.y=5x+1B.y=4x+1C.y=x+1D.y=3x+1解析:由题意,曲线f(x)=x3+2x+1是由g(x)=x3+2x向上平移1个单位得到的,函数g(x)=x3+2x是奇函数,对称中心为(0,0),故函数f(x)=x3+2x+1的对称中心为B(0,1).设直线l的方程为y=kx+1,代入y=x3+2x+1,可得x3=(k-2)x,x=0或x=.不妨设A
2、(,k+1)(k2).|AB|=|BC|=,(-0)2+(k+1-1)2=10.k3-2k2+k-12=0.(k-3)(k2+k+4)=0.k=3.直线l的方程为y=3x+1.答案:D9.3圆的方程专题3与圆有关的最值问题(2015河北衡水中学高三一调,与圆有关的最值问题,填空题,理15)若实数a,b,c成等差数列,点P(-1,0)在动直线l:ax+by+c=0上的射影为M,点N(0,3),则线段MN长度的最小值是.解析:因为a,b,c成等差数列,故有2b=a+c,即a-2b+c=0,对比方程ax+by+c=0可知,动直线恒过定点Q(1,-2).由于点P(-1,0)在动直线ax+by+c=0上
3、的射影为M,即PMQ=90,所以点M在以PQ为直径的圆上,该圆的圆心为PQ的中点C(0,-1),且半径为,再由点N到圆心C的距离为NC=4,所以线段MN的最小值为NC-r=4-.答案:4-9.4直线与圆、圆与圆的位置关系专题1直线与圆的位置关系(2015河北保定二模,直线与圆的位置关系,填空题,理15)已知圆C:(x-3)2+(y-5)2=5,过圆心C作直线l交圆于A,B两点,交y轴于点P,且2,则直线l的方程为.解析:过圆心C作直线l交圆于A、B两点,交y轴于点P,且2,|=|,即|=3|=3.设P点坐标为(0,b),则=3.解得b=11,或b=-1.故直线l的方程为,即2x-y-1=0或2
4、x+y-11=0.答案:2x-y-1=0或2x+y-11=0(2015辽宁锦州一模,直线与圆的位置关系,填空题,理16)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是.解析:圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,整理得(x-4)2+y2=1,即圆C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,只需圆C:(x-4)2+y2=1与直线y=kx-2有公共点即可.设圆心C(4,0)到直线y=kx-2的距离为d,则d=2
5、,即3k2-4k0,0k.k的最大值是.答案:9.5椭圆专题2椭圆的几何性质(2015江西宜春奉新一中高考模拟,椭圆的几何性质,选择题,理9)已知椭圆=1(ab0)的左右焦点为F1,F2,P为椭圆上一点,且|PF1|PF2|的最大值的取值范围是2c2,3c2,其中c=,则椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析:|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|PF2|a2,(|PF1|PF2|)max=a2.由题意知2c2a23c2.cac.e.故椭圆的离心率e的取值范围为.答案:D(2015江西南昌三模,椭圆的几何性质,选择题,理8)能够把椭圆+y2=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数
6、称为椭圆的“可分函数”,下列函数不是椭圆的“可分函数”的为()A.f(x)=4x3+xB.f(x)=lnC.f(x)=sinD.f(x)=ex+e-x答案:D专题3直线与椭圆的位置关系(2015江西宜春奉新一中高考模拟,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)如图,F1,F2为椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,D,E是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率e=1-.若点M(x0,y0)在椭圆C上,则点N称为点M的一个“椭点”.直线l与椭圆交于A,B两点,A,B两点的“椭点”分别为P,Q,已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O.(1)求椭圆C的标准方程;(2)AOB的面积是否为定值?若为定值,试求出该定值;若
7、不为定值,请说明理由.解:(1)椭圆C:=1(ab0)的离心率e=1-,(a-c)b=1-,又a2=b2+c2,由组成方程组,解得a2=4,b2=1.椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则P,Q.,+y1y2=0.(*)设直线l的方程为my+t=x,联立化为(4+m2)y2+2mty+t2-4=0.直线l与椭圆相交于两点,=4m2t2-4(4+m2)(t2-4)0,化为m2+4t2.(*)y1+y2=-,y1y2=,x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+mt(y1+y2)+t2,代入(*)可得(m2+4)y1y2+mt(y1+y2)+t2=
8、0.t2-4-+t2=0,t2=,代入(*)知成立.|AB|=.点O到直线AB的距离d=.SAOB=|AB|d=1为定值.(2015江西南昌三模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知抛物线C:x2=y,直线l与抛物线C交于不同两点A,B,且=(p,6).(1)设直线m为线段AB的中垂线,请判断直线m是否恒过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由.(2)记点A,B在x轴上的射影分别为A1,B1,记曲线E是以A1B1为直径的圆,当直线l与曲线E相离时,求p的取值范围.解:(1)设A(xA,),B(xB,),因为A,B是不同的两点,所以xAxB且l不与x轴垂直.=(p,6),xA+xB
9、=p,=6.AB的中点坐标为.kl=kAB=xA+xB=p,当p0时,直线m的斜率km=-=-.直线m的方程为y-3=-,即y=-x+.令x=0得y=.即直线m恒过定点.当p=0时,直线m的方程为x=0,也过点.故m恒过定点.(2)由第(1)问可设直线AB的方程为y-3=p,即y=px+3-,联立消去y得x2-px+-3=0.所以所以|A1B1|=|x1-x2|=.所以以A1B1为直径的圆的方程为+y2=.当直线l与曲线E相离时,圆心到直线l的距离dr,即.所以6,即36(12-p2)(p2+1).所以p4-11p2+240(p2-3)(p2-8)0,即p28或p2b0)的左、右焦点分别为F1
10、,F2,离心率为,点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)过F1的直线与椭圆相交于P,Q两点,设PQF2内切圆的面积为S,求S最大时圆的方程.解:(1)由题意,椭圆=1(ab0)的离心率为,故设椭圆方程为=1.将代入上式,得m2=1.所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)设直线PF1的方程为x=ny-1,与椭圆联立得,(n2+2)y2-2ny-1=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,|y1-y2|=2.令t=n2+1,则|y1-y2|=2=2,当且仅当n=0时等号成立.由题意,因为PQF2的周长为定值,因此当PQF2面积取最大值时,它的内切圆面积S也取得最大值,而|F1F2
11、|y1-y2|=|y1-y2|.所以,当n=0时,S取得最大值.此时,PQF2的内切圆圆心一定在x轴上,设其坐标为(x0,0),取点P的坐标为,则PF2的方程为x+4y-=0.|x0+1|=r,得x0=-(x0=-2舍去).r=,圆心为,此时圆的方程为+y2=.(2015河北衡水中学高三一调,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1:=1(ab0)的长轴长是4,椭圆C2:=1(mn0)短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点,(1)求椭圆C1,C2的方程
12、;(2)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求F2MN面积的最大值.解:(1)设椭圆C1的半焦距为c,椭圆C2的半焦距为c.由已知a=2,b=m,n=.椭圆C1与椭圆C2的离心率相等,即,即.,即bm=b2=an=1,b=m=1.椭圆C1的方程是+y2=1,椭圆C2的方程是y2+=1.(2)显然直线的斜率不为0,故可设直线的方程为:x=my-.联立得y2+4(my-)2-1=0,即(1+4m2)y2-8my+11=0,=192m2-44(1+4m2)=16m2-440.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,|MN|=2,F2MN的高即为点F2到直线l:x-my+=0的
13、距离h=.F2MN的面积S=|MN|h=2,2=4,当且仅当,即m=时等号成立,S,即F2MN的面积的最大值为.(2015辽宁丹东二模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)平面直角坐标系xOy中,经过椭圆C:=1(ab0)的一个焦点的直线x-y-=0与C相交于M,N两点,P为MN的中点,且OP斜率是-.(1)求椭圆C的方程;(2)直线l分别与椭圆C和圆D:x2+y2=r2(brb0)的右焦点为F2(1,0),点H在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点,求证:PF2Q的周长是定值.(1)解:根据已知,椭圆
14、的左右焦点分别是F1(-1,0),F2(1,0),c=1,H在椭圆上,2a=|HF1|+|HF2|=,a=3,b2=a2-c2=8,椭圆的方程是=1.(2)证明:方法1:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=1.|PF2|=,0x13,|PF2|=3-.在圆中,M是切点,|PM|=x1,|PF2|+|PM|=3-x1+x1=3.同理|QF2|+|QM|=3.|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6.因此PF2Q的周长是定值6.方法2:设PQ的方程为y=kx+m(k0),由得(8+9k2)x2+18kmx+9m2-72=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=
15、,|PQ|=|x1-x2|=.PQ与圆x2+y2=8相切,=2,即m=2.|PQ|=-.|PF2|=.0x1b0)的左右焦点,A1,A2分别为其左、右顶点,过F2且与x轴垂直的直线l与椭圆相交于M,N两点.若四边形A1MA2N的面积等于2,且满足|=|+|.(1)求此椭圆的方程;(2)设O的直径为F1F2,直线l:y=kx+m与O相切,并与椭圆交于不同的两点P,Q,若=,且,求POQ的面积S的取值范围.解:(1)l与x轴垂直,l的方程为x=c,代入椭圆方程得y=.四边形A1MA2N面积:22a=2b2=2,即b2=1.易知:|=a+c,|=,|=a-c.|=|+|,a+c=+a-c,即ac=.
16、又a2=b2+c2,联立解得a=,b=1.椭圆的方程为+y2=1.(2)由(1)可知O的方程为x2+y2=1.直线l:y=kx+m与O相切,=1,即m2=k2+1.联立方程组消元整理得:(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1,x2是方程的两个解,由韦达定理得:x1+x2=-,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=.=x1x2+y1y2=.将m2=k2+1代入得:=,解得k21.|PQ|=,d=1,SPOQ=|PQ|d=.令t=2k2+1,则k2=,代入得:SPOQ=.k21,2t3,SPOQ,即POQ的面积S的取值范围是.(20
17、15辽宁锦州一模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,其左、右焦点分别是F1,F2,过点F1的直线l交椭圆C于E,G两点,且EGF2的周长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B,设P为椭圆上一点,且满足=t(O为坐标原点),当|0,得k2.根据韦达定理得:x1+x2=,x1x2=,=t,(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x=,y=k(x1+x2)-4k=.点P在椭圆C上,16k2=t2(1+2k2),|,|x1-x2|.(1+k2)(x1+x2)2-4x1x20,k2,k2.16k2=t2(1+2k2)
18、,t2=8-,又1+2k22,t2=8-4,-2t-t0,b0)称为黄金双曲线.给出以下几个说法:(1)双曲线x2-=1是黄金双曲线;(2)若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线;(3)若MN经过右焦点F2且MNF1F2,MON=90,则该双曲线是黄金双曲线;(4)若F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b)且F1B1A2=90,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为.解析:(1)双曲线x2-=1中,e=,双曲线x2-=1是黄金双曲线,故(1)正确;对于(2),b2=ac,则e=,e2-e-1=0,解得e=或e=(舍),该双曲线是黄金双曲线,故(2)正确;
19、对于(3),如图,MN经过右焦点F2,且MNF1F2,MON=90,NF2=OF2,=c,b2=ac.由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(3)正确;对于(4),如图,F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且F1B1A2=90,B1+B1=A2,即b2+2c2=(a+c)2,整理,得b2=ac,由(2)知该双曲线是黄金双曲线,故(4)正确.答案:(1)(2)(3)(4)(2015江西南昌三模,双曲线的几何性质,选择题,理6)已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为()A.=1B.=
20、1C.=1D.=1答案:A(2015河北保定二模,双曲线的几何性质,选择题,理9)已知双曲线=1(a0,b0)的两条渐近线都与圆(x-c)2+y2=ac(其中c=)相切,则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.解析:取双曲线的渐近线y=x,即bx-ay=0.双曲线=1(a0,b0)的渐近线与(x-c)2+y2=ac相切,圆心(c,0)到渐近线的距离d=r,化为b2=ac,两边平方得ac=c2-a2,化为e2-e-1=0.e1,e=.答案:D(2015河北邯郸二模,双曲线的几何性质,选择题,理10)双曲线C:=1(a0,b0)的右焦点为F,若F关于直线y=x的对称点P在双曲线上,则C的离心率为(
21、)A.2B.C.D.+1解析:双曲线=1的右焦点F(c,0),设F(c,0)关于直线y=x的对称点为P(x0,y0),则解得即P.代入双曲线=1得e2=4-2(舍),或e2=4+2.e=+1.答案:D(2015辽宁丹东二模,双曲线的几何性质,填空题,理14)双曲线=1的渐近线方程为y=x,则它的离心率为.解析:双曲线=1的渐近线方程为y=x,又已知双曲线=1的渐近线方程为y=x,即有,即b=2a.故c=a,因此,e=.答案:(2015辽宁丹东一模,双曲线的几何性质,选择题,理11)经过双曲线=1(ab0)的右焦点F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线相交于M,N两点,若O是坐标原点,OMN的
22、面积是a2,则该双曲线的离心率是()A.2B.C.D.解析:双曲线=1(ab0)的渐近线方程为y=x.设两条渐近线的夹角为,则tan=tanMON=,设FNON,则F到渐近线y=x的距离为d=b,即有|ON|=a,则OMN的面积可以表示为aatan=,解得a=2b,则e=.答案:C(2015辽宁锦州二模,双曲线的几何性质,选择题,理11)过双曲线=1(a0,b0)的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l,垂足为A,l与另一条渐近线交于B点,若=2,则双曲线的离心率为()A.2B.C.D.解析:如图,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为A,延长FA与另一条渐近线交于点B.所以FBOA,又=2,A为
23、线段FB的中点,2=4,又1=3,2+3=90,1=2+4=22=3.故2+3=90=322=301=60.=3,e2=4e=2.答案:A9.7抛物线专题1抛物线的定义与标准方程(2015辽宁葫芦岛二模,抛物线的定义与标准方程,选择题,理4)若双曲线=1(a0,b0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则a+b的最大值为()A.B.1C.D.2解析:抛物线C1:y2=4x的焦点为(1,0),即有双曲线的右焦点为(1,0),即c=1,a2+b2=1,令a=cos,b=sin,则a+b=cos+sin=sin.当+时,sin取得最大值1,即有a+b取得最大值.答案:A专题2抛物线的几何性质(20
24、15辽宁丹东二模,抛物线的几何性质,选择题,理11)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点E在C的准线上,且在x轴上方,线段EF的垂直平分线经过C上一点M,且与C的准线交于点N,则|MF|=()A.5B.6C.10D.5或10解析:如图,MN与C的准线交于点N,p=2.抛物线方程为y2=4x,得F(1,0).设E(-1,m)(m0),则EF中点为G,kEF=-.又N,kNG=,则-=-1,解得m=4.kNG=,则NG所在直线方程为y-(x+1),即x-2y+4=0.联立y2=4x,得M(4,4),|MF|=4+1=5.答案:A(2015辽宁丹东一模,抛物线的几何性质,填空题,理15)
25、已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点是F,点M(0,2),线段MF与C的交点是N,过N作C准线的垂线,垂足是Q,若MQF=90,则p=.解析:如图所示,MQF=90,|NF|=|NQ|,点N是RtMQF的中点,N,|NQ|=|MF|.,p2=2.解得p=.答案:(2015辽宁锦州一模,抛物线的几何性质,选择题,理10)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a0,b0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为()A.=1B.y2-=1C.-x2=1D.=1解析:抛物线y2=8x
26、的焦点F(2,0),双曲线C:=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为ax-by=0.抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:=1(a0,b0)渐近线的距离为,.b=2a.P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,|FF1|=3.c2+4=9.c=.c2=a2+b2,b=2a,a=1,b=2.双曲线的方程为y2-=1.答案:B专题3直线与抛物线的位置关系(2015河北保定二模,直线与抛物线的位置关系,解答题,理20)如图,已知M:(x-4)2+y2=1和抛物线C:y2=2px(p0,其焦点为F),且,过抛物线C上一点H(x0,y0)(y01)作两条直线分别与M相
27、切于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)求直线AB在y轴上的截距的最小值.解:(1)由题意知M的圆心M的坐标为(4,0),抛物线C的焦点为.由,圆心M到抛物线C的焦点的距离为,即4-,解得p=.从而抛物线C的方程为y2=x.(2)由(1)知,设点H(,y0),则HM的中点.以HM为直径的圆为.M:(x-4)2+y2=1.-得:直线AB的方程为(4-)x-y0y+4-15=0.令x=0,得直线AB在y轴上的截距为d=4y0-(y01).函数f(y0)=4y0-在1,+)上单调递增,直线AB在y轴上的截距的最小值为41-=-11.(2015河北邯郸二模,直线与抛物线的位置关系,选择题,理5)
28、已知抛物线y2=4x,过抛物线焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,则|AB|=()A.B.C.5D.解析:根据抛物线y2=4x方程得:焦点坐标F(1,0),直线AB的斜率为k=tan.由直线方程的点斜式方程,可设AB:y=(x-1).将直线方程代入到抛物线方程当中,得3(x-1)2=4x,整理得3x2-10x+3=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=1,所以弦长|AB|=|x1-x2|=.答案:D(2015辽宁锦州二模,直线与抛物线的位置关系,填空题,理16)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过点F的倾斜角为60的直线l与抛物线C在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2,|AB|=x1+x2+p=p,即有x1+x2=p,由直线l的倾斜角为60,则直线l的方程为y-0=,即y=x-p,联立抛物线方程,消去y并整理,得12x2-20px+3p2=0,则x1x2=,可得x1=p,x2=p.则=3.答案:320
